2018-2019学年福建省福州市福清市华侨中学高二(下)期中数学试卷(文科)

1、2018-2019 学年福建省福州市福清市华侨中学高二（下）期中数学试卷（文科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共60.0 分）1.已知（a+i）（1+bi）=1+3i，其中a，b均为实数，i为虚数单位，则|a+bi|=）（A.B.C. 5D.22.在曲线上的点是（）A.B.C.D.3.设 P， Q 分别为直线（ t 为参数）和曲线C：（ 为参数）上的点，则 |PQ|的最小值为（）A.B.C.D.4.极坐标系中，点A1B3，）之间的距离是（）（，），（A.B.C.D.5.设 nN，-与-的大小关系是（）A.-B.-C.-=-D. 不能确定6.已知椭圆的离心率为椭圆 C

2、上的一个动点， 则 P 与定点 B（ -1，0）连线距离的最大值为（）A.B.C.D. 37. 在平面直角坐标系中， 经伸缩变换后曲线方程22变换为椭圆方程，x +y =9此伸缩变换公式是（）A.B.C.D.8. 已知函数 f（ x）的导函数为 f（ x），且满足 f（ x） =2xf（ 1） +ln x，则 f（ 1）=（）A. -eB. -1C. 1D. e9. 设函数 f（ x）在 R 上可导，其导函数为 f （ x），且函数 y=（ 1-x） f（ x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）第1页，共 15页A. 函数 f（ x）有极大值f（ 2）和极小值f（ 1）B. 函数 f

3、（ x）有极大值 f（ -2）和极小值 f（ 1）C. 函数 f（x）有极大值 f（ 2）和极小值 f（ -2）D. 函数 f（ x）有极大值 f（ -2）和极小值 f（ 2）10.若函数 f（ x） =2x2-lnx 在其定义域内的一个子区间（k-1， k+1）内不是单调函数，则实数 k 的取值范围是（）A. 1， +）B. 1， ）C. 1 ，2）D. ，2）11.若不等式 |2x-a| x+3 对任意 x0， 2恒成立，则实数a 的取值范围是（）A. （ -1， 3）B. -1， 3C. （1，3）D. 1，312.若不等式 2xlnx-x2+ax-3 对 x（ 0， +）恒成立，则实数

4、a 的取值范围是（）A. （ -， 0）B. （ 0， +）C. （ -，4D. 4， +）二、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分）2 213. 若实数 x， y 满足 x +y =1，则 2x-y 的最小值为 _14.若复数 z 满足 z（ 1+ i） =2-2i（其中 i 为虚数单位），则=_15.2a 的取值范围为 _不等式 |x+3|-|x- 1| a-3a 对任意实数 x 恒成立，则实数16. 已知函数 f（ x） =ex-2x+a 有零点，则 a 的取值范围是 _三、解答题（本大题共6 小题，共70.0 分）17.在直角坐标系xOy 中，曲线C1：x+y=4，曲线为参数），以

5、坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（ 1）求曲线C1， C2 的极坐标方程；（ 2）若射线l ： =（ p 0）分别交 C1， C2 于 A， B 两点，求的最大值18.已知在直角坐标系xOy 中，圆 C 的参数方程为（ 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为（ ）求圆 C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（ ）设 M 是直线 l 上任意一点， 过 M 做圆 C 切线，切点为 A、B，求四边形 AMBC第2页，共 15页面积的最小值19. 已知函数f x）=x3 2在点（ -1，f（ -1）处的切线方程为 3x+y+2=0

6、 （+ax -1（ 1）求函数 f（ x）的解析式；（ 2）求函数 f（ x）在区间 -1， 2上的最大值与最小值20. 已知 f （ x） =|2x-1|+|x+1|（ 1）求不等式 f （x） 3的解集；（ 2）若关于x 的不等式在 R 上恒成立，求实数a 的取值范围21. 某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校 200 名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）平均每天锻炼10， 20） 20 ， 30） 30 ， 40）40 ， 50） 50 ， 60）的时间0， 10）/分钟总人数203644504010将学生日均体育锻炼时间在40

7、 ， 60）的学生评价为“锻炼达标”（ ）请根据上述表格中的统计数据填写下面22列联表；锻炼不达标锻炼达标合计男女20110合计并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025 的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？（ ）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽取5 人，进行体育锻炼体会交流，再从这 5 人中选出2 人作重点发言，求作重点发言的2人中，至少有 1人是女生的概率第3页，共 15页参考公式： K2=，其中 n=a+b+c+d临界值表P（K 2k0）0.100.050.0250.010k2.7063.8415.0246.635022. 设 f（ x）=a（ x-5） 2+6l

8、n x，其中 aR，曲线 y=f（ x）在点（ 1， f （1）处的切线与 y 轴相交于点（ 0， 6）（ 1）确定 a 的值；（ 2）求函数 f（ x）的单调区间与极值第4页，共 15页答案和解析1.【答案】 A【解析】【分析】本题考查了复数的四 则运算，复数相等的充要条件和复数的模，是基础题根据复数相等列方程 组求出 a、b 的值，再求对应 |a+bi|的值【解答】解：（a+i）（1+bi）=1+3i ，则（a-b）+（1+ab）i=1+3i ，即，解得或，当 a=-1、b=-2时，|a+bi|=|-1-2i|=，当 a=2、b=1 时，|a+bi|=|2+i|= ，综上知，|a+bi|=

9、故选：A【答案】 B2.【解析】线的普通方程为2=1+x解：曲yx=sin2 1结合选项可得时，满足条件故选：B先找曲线的普通方程 y2=1+x，结合选项可找出符合条件的点本题目主要考 查了参数方程化 为普通方程，解题的关键是灵活利用三角函数的二倍角公式及同角平方关系，属于基础试题3.【答案】 B【解析】解：P，Q 分别为直线（t为线C：（参数）和曲为参数）上的点，第5页，共 15页直线的普通方程 为，曲线为222x+y-15=0C 的普通方程+（y+2）=5，（x-1 ）曲线为圆心，以 r=为半径的圆，C 是以 C（1，-2）圆线=3，心 C（1，-2）到直 的距离 d=|PQ|的最小值为：

10、d=r=3=2故选：B直线的普通方程为 2x+y-15=0线 C的普通方程为 x-122=5线C，曲（）+ y+2）（，曲为圆心，以 r=为半径的圆，由此能求出圆线是以 C（1，-2）心 C（1，-2）到直的距离本题考查两点间距离的最小 值的求法，考查参数方程、直角坐 标方程的互化、点到直线的距离公式等基 础知识，考查运算求解能力，是基 础题4.【答案】 C【解析】解：AOB= |AB|=故选：C利用余弦定理即可得出本题考查了极坐标的应用、余弦定理的应用，考查了推理能力与 计算能力，属于基础题 5.【答案】 B【解析】解：当 nN 时，-=0，故选：B由，-0 可得结论本题考查了利用作差法比

11、较不等式的大小，属基 础题第6页，共 15页6.【答案】 D【解析】解：由题意可得： =，b=2，a2=b2+c2，联立解得 a=，b=2，椭圆的标准方程为：+=1设 P（2sin ，cos），0，2）222 +4sin2 +7=-2（sin -1）则 |PB|= 2sin +1+=2cos +5=-2sin +4sin（）2+99当sin =1时取等号|PB| 3故选：D由题意可得： =，b=2，a2=b2+c2，联立解得 a，b，可得椭圆的标准方程，利用椭圆的参数方程、三角函数的 单调性即可得出本题考查了椭圆的标准方程与性 质及参数方程、三角函数的 单调性，考查了推理能力与 计算能力，属于

12、中档题7.【答案】 B【解析】设缩变换的关系式代入曲线方程 x22，解：（ 0，0），把伸+y =9得到：，即：，利用对应关系式：，解得：，=1，故选：B直接利用伸 缩变换关系式的 应用求出结果本题考查的知识要点：伸缩变换关系式的 应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型8.【答案】 B【解析】第7页，共 15页导为满）=2xf（1）+ln x ，（x 0）解：函数 f（x）的 函数f （x），且 足 f （xf （x）=2f （1）+，把x=1 代入 f （x）可得f （1）=2f （1）+1，解得 f （1）=-1，故选：B已知函数 f（x）的导函数为 f （x），利用求导公式

13、对 f （x）进行求导，再把 x=1 代入，即可求解；此题主要考查导数的加法与减法的法 则，解决此题的关键是对 f（x）进行正确求导，把 f （1）看成一个常数，就比较简单了；9.【答案】 D【解析】解：由函数的图象可知，f （-2）=0，f （2）=0，并且当 x-2 时，f （x ）0，当-2x 1，f （x）0，函数 f（x）有极大值 f（-2）又当 1x2 时，f （x）0，当x2 时，f （x）0，故函数 f （x）有极小值 f（2）故选：D利用函数的 图象，判断导函数值为 0 时，左右两侧的导数的符号，即可判断极值本题考查函数与导数的应用，考查分析问题解决问题的能力，函数的图象的应

14、用10.【答案】 B【解析】为义为（0，+），又，解：因f （x）定 域由 f（x）=0，得当 x（0， ）时，f（x）0，当 x（ ，+）时，f（x）0据题意，解得故选：B第8页，共 15页先确定函数的定 义域然后求 导数 f （x），在函数的定义域内解方程 f （x）=0，使方程的解在定 义域内的一个子区 间（k-1，k+1）内，建立不等关系，解之即可本题主要考查了对数函数的 导数，以及利用导数研究函数的 单调性等基础知识，考查计算能力，属于基础题11.【答案】 B【解析】解：由不等式|2x-a| x+3对任意x0，2上恒成立，可得 f （x）=|2x-a|的图象在 x0，2上恒位于直 线

15、 y=x+3 的下方或在直线 y=x+3 上，如图所示： ，或 ，由 可得 -1a 0，由 可得 0a3，故实数 a的取值范围为：-1 ，3 故选：B由题意可得 f （x）=|2x-a|的图象在 x0，2上恒位于直 线 y=x+3 的下方或在直线 y=x+3 上，数形结合可得 ，或 ，分别求得 、 的解集，再取并集，即得所求本题主要考查绝对值 不等式的解法，函数的恒成立 问题，体现了数形结合、分类讨论的数学思想，属中档 题12.【答案】 C【解析】第9页，共 15页解：2xlnx -x2+ax-3 对 x（0，+）恒成立，a x+2lnx+，x0，令 y=x+2lnx+ ，则=，由 y=0，得

16、x1=-3，x2=1，x（0，1）时，y 0；x（1，+）时，y 0x=1 时，ymin =1+0+3=4a4实数 a 的取值范围是（-，4 故选：C由已知条件推 导出 ax+2lnx+ ，x0，令y=x+2lnx+，利用导数性质求出x=1 时，y 取最小值 4，由此能求出实数 a 的取值范围 本题考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用13.【答案】【解析】解：实数 x，y 满足 x2+y2=1，设 x=cos，y=sin ，所以：2x-y=2cos-sin = sin（+）；故2x-y 的最小值为，故答案为：直接利用 换元法和三角函数关系式的 变换求出结果本题考查

17、的知识换应用，三角函数关系式的变换，正弦型函数的要点： 元法的性质的应用，主要考察学生的运算能力和 转换能力，属于基础题型14.【答案】 -2i【解析】第10 页，共 15页解：复数z 满足 z（1+i）=2-2i，则 z=-2i故答案为：-2i 根据复数的定 义与性质，计算即可本题考查了复数的定 义与运算问题，是基础题15.【答案】 （ -， -14， +）【解析】解：令y=|x+3|-|x-1|当 x1 时，y=x+3-x+1=4当 x-3 时，y=-x-3+x-1=-4当 -3x1时，y=x+3+x-1=2x+2 所以 -4y42所以要使得不等式 |x+3|-|x-1| a-3a 对任意

18、实数 x 恒成立2只要 a -3a4即可故答案为：（-，-1 4，+）先去绝对值符号确定 |x+3|-|x-1|的取值范围，然后让 a2-3a 大于它的最大 值即可本题主要考查不等式恒成立 问题大于一个函数式只需要大于它的最大 值即可16.【答案】 （ -， 2ln2-2【解析】解：f （x）=ex-2，可得 f （x）=0 的根为 x0=ln2当 xln2 时，f （x）0，可得函数在区间（-，ln2）上为减函数；当 xln2 时，f （x）0，可得函数在区间（ln2，+）上为增函数，函数 y=f （x）在x=ln2 处取得极小 值 f（ln2）=2-2ln2+a，并且这个极小值也是函数的最

19、小 值，由题设知函数 y=f （x）的最小值要小于或等于零，即 2-2ln2+a 0，可得a2ln2-2，故答案为：（-，2ln2-2 第11 页，共 15页先讨论函数的单调性，得出函数的最值，由函数的最大值大于或等于零（或函数的最小 值小于或等于零）得出 a 的取值范围 利用导数工具讨论函数的单调性，是求函数的值域和最值的常用方法，本题可以根据 单调性，结合函数的 图象与 x 轴交点，来帮助对题意的理解17.【答案】 解：（ 1） 在直角坐标系xOy 中，曲线C1： x+y=4 ，曲线 C1 的极坐标方程为：（cos+sin）=4，C2 的普通方程为（ x-1）22+y =1，所以曲线 C2

20、 的极坐标方程为：=2cos （ 4 分）（ 2）设 A（ ，1 ）， B（ ，2）， - ，则 2=2cos61=分）， ， （= = 2cos（cos +sin）= （ cos2 +sin2 ）+1= cos（ 2- ） +1 ， （ 8 分）当 =时，取得最大值（+1） （ 10 分）【解析】（1）由曲线 C1：x+y=4 可得曲线 C1 的极坐标方程；先将曲线 C2 化为普通方程，进而可得曲 线 C2 的极坐标方程；设A （，），B（，），-则则（2） ，121=， 2=2cos ，= ，进而得到答案本题考查的知识点是直线与圆的极坐标方程，圆的参数方程，三角函数的最值，难度中档18.【

21、答案】 解：（ ）圆 C 的参数方程为（ 为参数），所以圆 C 的普通方程为（ x-3） 2+（y+4 ） 2=4 （ 2 分）由得 cos+sin ，=2 cos =x， sin y=，直线 l 的直角坐标方程 x+y-2=0 （ 4 分）（ ）圆心 C（3， -4）到直线 l： x+y-2=0 的距离为 d= （6分）由于 M 是直线 l 上任意一点，则 |MC| d=，第12 页，共 15页四边形 AMBC 面积 S=2 AC?MA=AC=22四边形 AMBC 面积的最小值为 （ 10 分）【解析】（）根据参数方程和极坐标方程与普通方程的关系 进行转化求解即可（）求出圆心坐标以及圆心到直

22、线的距离，结合四边形的面积公式进行求解即可本题主要考查参数方程，极坐标方程与普通方程的 转化，考查学生的运算和转化能力19.【答案】 解：（ 1） f（ x）=3x2+2ax-（1 分）函数 f（ x）=x3+ax2-1 在点（ -1，f（ -1）处的切线的斜率k=f（ -1）=3-2a-（2分）由题意可知 3-2a=-3，得 a=3-（3 分）32 -（ 4分）函数 f（ x）的解析式为 f（ x）=x+3x -1（ 2）由（ 1）知 f（x）=3x2+6x， x-1 ， 2令 f（ x） =0，解得 x=0-（5 分）令 f（ x） 0，解得 0 x 2-（6 分）令 f（ x） 0，解得

23、 -1 x 0-（7 分）故 f（ x）在（ -1，0）递减，在（0，2）递增- （ 9 分）而 f（ -1） f（ 2），在区间 -1 ， 2上，当 x=2 时， f（ x）取得最大值 19， -（11 分）当 x=0 时， f（ x）取得最小值是 -1 -（12 分）【解析】（1）求出函数的导数，计算 f（-1），得到关于a 的方程，求出 a 的值，从而求出函数的解析式即可；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的 单调区间，从而求出函数的最 值即可本题考查了函数的 单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题20.【答案】 解： f（ x）=|2x-1|+|x

24、+1|=，（ 1） f（ x） 3，或，或，x1，或 x=-1，或 x -1，第13 页，共 15页x-1 或 x1，不等式的解集为： x|x-1，或 x 1；（ 2）由 f（ x）知， f（ x） min=f（ ） = ，不等式在 R 上恒成立，只需，a2-a -20， -1a2，a 的取值范围为：-1， 2【解析】对绝对值别解不等式即可；（1）f（x）去，然后分值2即可（2）求出f （x）的最小 ，然后使 f（x）amin-a-本题考查了绝对值不等式的解法，和不等式恒成立 问题，考查了转化思想，属基础题21.【答案】 解：（ ）列联表如下：锻炼不达标锻炼达标合计男603090女902011

25、0合计15050200K 2= 6.061 5.024，所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关（ ）”锻炼达标“的学生有50 人，男女生人数比为 3：2，故用分层抽样方法抽取 5人，有 3 人是男生，记为 a，b， c，有 2 人是女生，记为 d， e，则从这 5 人中选出2 人，选法有： ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共 10 种，设事件 A 表示“作重点发言的2 人中，至少有 1 人是女生”，则事件 A 发生的情况为：ad， bd，cd， ae， be， ce， de 共 7 种，所以所求概率为【解析】（）计算得 K2，结合临界值表可得；（）“锻