特殊四边形的辅助线

1、. 特殊四边形的辅助线一、分割面积1. （2005郴州）附加题：E是四边形ABCD中AB上一点（E不与A、B重合）（1）如图，当四边形ABCD是正方形时，ADE、BCE和CDE的面积之间有着怎样的关系？证明你的结论（2）若四边形ABCD是矩形时，（1）中的结论是否仍然成立？为什么？ABCD是平行四边形呢？（3）当四边形ABCD是梯形时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由二、补全线段补全线段，如三角形中的五线（角平分线，中线，中垂线，垂线，中位线），四边形的对角线。2. （2008山西）如图，已知ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连

2、接AF、BE和CF（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“”表示，并加以证明；（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积3. （2007常州）已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF（1）当DG=2时，求FCG的面积；（2）设DG=x，用含x的代数式表示FCG的面积；（3）判断FCG的面积能否等于1，并说明理由4. （2007莆田）在正方形ABCD中，点E是AD上一动点，MNAB分别交AB，CD于M，N，连接BE交MN于点O，过O作OPBE

3、分别交AB，CD于P，Q探究：（1）如图，当点E在边AD上时，请你动手测量三条线段AE，MP，NQ的长度，猜测AE与MP+NQ之间的数量关系，并证明你所猜测的结论；探究：（2）如图，若点E在DA的延长线上时，AE，MP，NQ之间的数量关系又是怎样请直接写出结论；再探究：（3）如图，连接并延长BN交AD的延长线DG于H，若点E分别在线段DH和射线HG上时，请在图中完成符合题意的图形，并判断AE，MP，NQ之间的数量关系又分别怎样？请直接写出结论中线5. 在ABCD中，BC=2AB，CEAB于E，F为AD的中点，AEF=54，则B= 6. （2011鞍山）已知如图，D是ABC中AB边上的中点，AC

4、E和BCF分别是以AC、BC为斜边的等腰直角三角形，连接DE、DF求证：DE=DF中位线7. （2013沙坪坝区模拟）如图，ABCD中，AC与BD相交于点O，ABD=2DBC，AEBD于点E（1）若ADB=25，求BAE的度数；（2）求证：AB=2OE垂线8. （2013宁夏）在ABCD中，P是AB边上的任意一点，过P点作PEAB，交AD于E，连结CE，CP已知A=60；（1）若BC=8，AB=6，当AP的长为多少时，CPE的面积最大，并求出面积的最大值（2）试探究当CPECPB时，ABCD的两边AB与BC应满足什么关系？角平分线9. （2007哈尔滨）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC与

5、BD相交于点E，AF平分BAC，交BD于点F（1）求证：EF+AC=AB；（2）点C1从点C出发，沿着线段CB向点B运动（不与点B重合），同时点A1从点A出发，沿着BA的延长线运动，点C1与A1的运动速度相同，当动点C1停止运动时，另一动点A1也随之停止运动如图2，A1F1平分BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E1A1C1，垂足为E1，请猜想E1F1，A1C1与AB三者之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）在（2）的条件下，当A1E1=3，C1E1=2时，求BD的长正方形对角线10. （2005湖州）如图，四边形ABCD和BEFG均为正方形，则=（结果不取近似值）11. （2009广州

6、）如图，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF与GH交于点P（1）若AG=AE，证明：AF=AH；（2）若FAH=45，证明：AG+AE=FH；（3）若RtGBF的周长为1，求矩形EPHD的面积12. （2011防城港）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H（1）求证：EB=GD；（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由；（3）若AB=2，AG=，求EB的长13. （2014安徽）如图1，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上一动点，过P作PMAB交AF于M，作PNCD交

7、DE于N（1）MPN= ；求证：PM+PN=3a；（2）如图2，点O是AD的中点，连接OM、ON，求证：OM=ON；（3）如图3，点O是AD的中点，OG平分MON，判断四边形OMGN是否为特殊四边形？并说明理由三、制造全等三角形14. （2012重庆）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作MECD于点E，1=2（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME15. （2014南平）在图1、图2、图3、图4中，点P在线段BC上移动（不与B、C重合），M在BC的延长线上（1）如图1，ABC和APE均为正三角形，连接CE求证：ABPACEECM的度

8、数为 （2）如图2，若四边形ABCD和四边形APEF均为正方形，连接CE则ECM的度数为 如图3，若五边形ABCDF和五边形APEGH均为正五边形，连接CE则ECM的度数为 （3）如图4，n边形ABC和n边形APE均为正n边形，连接CE，请你探索并猜想ECM的度数与正多边形边数n的数量关系（用含n的式子表示ECM的度数），并利用图4（放大后的局部图形）证明你的结论16. 已知：四边形ABCD是正方形，点E在CD边上，点F在AD边上，且AF=DE（1）如图1，判断AE与BF有怎样的位置关系？写出你的结果，并加以证明；（2）如图2，对角线AC与BD交于点OBD，AC分别与AE，BF交于点G，点H求

9、证：OG=OH；连接OP，若AP=4，OP=，求AB的长17. 已知RtABC和RtADE，ACB=AED=90，BAC=DAE=30，P为线段BD的中点，连接PC，PE（1）如图1，若AC=AE，C、A、E依次在同一条直线上，则CPE= ；PC与PE存在的等量关系是 ；（2）如图2，若ACAE，C、A、E依次在同一条直线上，猜想CPE的度数及PC与PE存在的等量关系，并写出你的结论；（不需要证明） ；（3）如图3，在图2的基础上，若将RtADE绕点A逆时针任意旋转一个角度，使C、A、E不在一条直线上，试探究CPE的度数及PC与PE存在的等量关系，写出你的结论并说明理由18. （2009临沂）

10、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点AEF=90，且EF交正方形外角DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证AMEECF，所以AE=EF在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，

11、结论“AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由19. （2012深圳）如图，RtABC中，C=90，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=6，则另一直角边BC的长为7四、构造四边形，等腰三角形构造平行四边形20. （2008旅顺口区）两个全等的三角形如下图所示放置，点B、A、D在同一直线上操作：在图中，在CB边上截取CM=AB，连接DM，交AC于N请探究AND的大小，并证明你的结论21. 则在ABCD中，BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F若ABC=120，FGCE，FG=CE，分

12、别连接DB、DG、BG，BDG的大小是（）A30B45C60D7522. 如图，已知ABCD中，DEBC于点E，DHAB于点H，AF平分BAD，分别交DC、DE、DH于点F、G、M，且DE=AD（1）求证：ADGFDM（2）猜想AB与DG+CE之间有何数量关系，并证明你的猜想23. （2010本溪）我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形请解答下列问题：（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60时，这对60角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论参考答案一、分割

13、面积7（2005郴州）附加题：E是四边形ABCD中AB上一点（E不与A、B重合）（1）如图，当四边形ABCD是正方形时，ADE、BCE和CDE的面积之间有着怎样的关系？证明你的结论（2）若四边形ABCD是矩形时，（1）中的结论是否仍然成立？为什么？ABCD是平行四边形呢？（3）当四边形ABCD是梯形时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由考点：正方形的性质；矩形的性质；梯形菁优网版权所有专题：压轴题；探究型分析：正方形，矩形，平行四边形图形中的三个三角形都是等高的三角形，它们的面积关系，就要看底边的关系了，由于AE+EB=CD，所以SADE+SBCE=SCDE在这三个图形中都成立；梯形不具备这一

14、特征，就不一定成立解答：解：SADE+SBCE=SCDE方法1：同底同高SADE+SBCE=方法2：因为过E作EFBC交DC于F，则四边形AEFD和EBCF是矩形所以SAED=SEFD，SEBC=SEFC，所以SADE+SBCE=SEFD+SEFC=SDEC四边形ABCD是矩形时（1）中结论成立，方法同上当四边形ABCD是平行四边形时，结论还是成立当四边形ABCD是梯形时，中结论当E点为AB中点时成立，其它情况不成立不成立理由如下：设SADE=S1，SBCE=S2，SDEC=S3，梯形ABCD上底为a，下底为b面积为S，如图则=如果SADE+SBCE=SDEC，则有，a（h1h2）=b（h1h

15、2）如果h1=h2，则E为AB中点，如果h1h2，则a=b，四边形ABCD是平行四边形点评：解答本题要充分利用正方形、矩形，平行四边形的对边相等的性质；观察图形的底与高的关系，利用等底，等高的两个三角形面积相等，确定三角形的面积关系二、补全线段补全线段，如三角形中的五线（角平分线，中线，中垂线，垂线，中位线），四边形的对角线。5（2008山西）如图，已知ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、BE和CF（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“”表示，并加以证明；（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；（3）若AB

16、=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定菁优网版权所有专题：证明题；压轴题分析：（1）从图上及已知条件容易看出BDEFEC，BCEFDC，ABEACF判定两个三角形全等时，必须有边的参与，所以此题的关键是找出相等的边（2）由（1）的结论容易证明ABDF，BDAF，两组对边分别平行的四边形是平行四边形（3）EFAB，EFAB，四边形ABEF是梯形，只要求出此梯形的面积即可解答：解：（1）（选证一）BDEFEC证明：ABC是等边三角形，BC=AC，ACB=60度CD=CE，EDC是等边三角形DE=EC，CDE=DEC=60BDE=FEC=120度又EF=A

17、E，BD=FEBDEFEC（选证二）BCEFDC证明：ABC是等边三角形，BC=AC，ACB=60度又CD=CE，EDC是等边三角形BCE=FDC=60，DE=CEEF=AE，EF+DE=AE+CEFD=AC=BCBCEFDC（选证三）ABEACF证明：ABC是等边三角形，AB=AC，ACB=BAC=60度CD=CE，EDC是等边三角形AEF=CED=60度EF=AE，AEF是等边三角形AE=AF，EAF=60度ABEACF（2）四边形ABDF是平行四边形理由：由（1）知，ABC、EDC、AEF都是等边三角形CDE=ABC=EFA=60度ABDF，BDAF四边形ABDF是平行四边形（3）由（2

18、）知，四边形ABDF是平行四边形EFAB，EFAB四边形ABEF是梯形过E作EGAB于G，则EG=S四边形ABEF=EG（AB+EF）=（6+4）=10点评：此题考查了全等三角形的判定，平行四边形的判定，及梯形面积的求解，用到的知识点比较多，较复杂22（2007常州）已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF（1）当DG=2时，求FCG的面积；（2）设DG=x，用含x的代数式表示FCG的面积；（3）判断FCG的面积能否等于1，并说明理由考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质菁优网版权所有专题

19、：计算题；压轴题；探究型分析：（1）要求FCG的面积，可以转化到面积易求的三角形中，通过证明DGHCFG得出（2）欲求FCG的面积，由已知得CG的长易求，只需求出GC边的高，通过证明AHEMFG可得；（3）若SFCG=1，由SFCG=6x，得x=5，此时，在DGH中，HG=相应地，在AHE中，AE=，即点E已经不在边AB上故不可能有SFCG=1解答：解：（1）正方形ABCD中，AH=2，DH=4，DG=2，HG=2，即菱形EFGH的边长为2在AHE和DGH中，A=D=90，AH=DG=2，EH=HG=2，AHEDGH（HL），AHE=DGH，DGH+DHG=90，DHG+AHE=90，GHE=

20、90，即菱形EFGH是正方形，同理可以证明DGHCFG，FCG=90，即点F在BC边上，同时可得CF=2，从而SFCG=42=4（2分）（2）作FMDC，M为垂足，连接GE，ABCD，AEG=MGE，HEGF，HEG=FGE，AEH=MGF在AHE和MFG中，AHEMFG（AAS），FM=HA=2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2因此SFCG=2（6x）=6x（6分）（3）若SFCG=1，由（2）知SFCG=6x，得x=5，在DGH中，HG=，在AHE中，AE=，即点E已经不在边AB上不可能有SFCG=1（9分）另法：点G在边DC上，菱形的边长至少为DH=4，当菱形

21、的边长为4时：点E在AB边上且满足AE=2，此时，当点E逐渐向右运动至点B时，HE的长（即菱形的边长）将逐渐变大，最大值为HE=2此时，DG=2，故0x2函数SFCG=6x的值随着x的增大而减小，当x=2时，SFCG取得最小值为62又62=1，FCG的面积不可能等于1（9分）点评：解答本题要充分利用正方形的特殊性质搞清楚菱形、正方形中的三角形的三边关系，同时考查了全等三角形的判定和性质24（2007莆田）在正方形ABCD中，点E是AD上一动点，MNAB分别交AB，CD于M，N，连接BE交MN于点O，过O作OPBE分别交AB，CD于P，Q探究：（1）如图，当点E在边AD上时，请你动手测量三条线段

22、AE，MP，NQ的长度，猜测AE与MP+NQ之间的数量关系，并证明你所猜测的结论；探究：（2）如图，若点E在DA的延长线上时，AE，MP，NQ之间的数量关系又是怎样请直接写出结论；再探究：（3）如图，连接并延长BN交AD的延长线DG于H，若点E分别在线段DH和射线HG上时，请在图中完成符合题意的图形，并判断AE，MP，NQ之间的数量关系又分别怎样？请直接写出结论考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：压轴题；动点型；探究型分析：（1）过Q作QQAB于Q，则MQQ=90，证明四边形AMND为矩形，然后又证明四边形MNOQ为矩形，最后可证明BAEQQP后可证得AE=MP+NQ

23、（2）画出图形可得若点E在DA的延长线上时，结论为AE=QNMP（3）画出辅助线，可得若点E1在线段DH上时，结论为AE1=MP1+NQ1；当点E2在射线HG上时，推出AE2=MP2NQ2解答：解：（1）如图结论：AE=MP+NQ（2分）证明：过Q作QQAB于Q，则MQQ=90，MNAB，AMN=90，四边形ABCD为正方形，BAD=ADC=90，四边形AMND为矩形，MN=AD=AB，QMN=QNM=90，四边形MNQQ为矩形，QQ=MN=AB，NQ=QM，（3分）在BAE和QQP中，PQBE，QQP+QPQ=90，ABE+QPQ=90，QQP=ABE，（4分）PQQ=BAE=90，QQ=A

24、B，BAEQQP（5分）QP=AE，QP=MP+QM=MP+NQ，AE=MP+NQ（6分）（2）如图，若点E在DA的延长线上时，结论AE=QNMP（8分）（3）如图，若点E1在线段DH上时，结论：AE1=MP1+NQ1（10分）若点E2在射线HG上时，结论：AE2=MP2NQ2（12分）点评：本题考查全等三角形的判定定理以及正方形的性质的综合运用中线9（重点题）在ABCD中，BC=2AB，CEAB于E，F为AD的中点，AEF=54，则B=72考点：平行四边形的性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线菁优网版权所有专题：压轴题分析：过F作AB、CD的平行线FG，由于F是AD的中点，那么G是

25、BC的中点，即RtBCE斜边上的中点，由此可得BC=2EG=2FG，即GEF、BEG都是等腰三角形，因此求B的度数，只需求得BEG的度数即可；易知四边形ABGF是平行四边形，得EFG=AEF，由此可求得FEG的度数，即可得到AEG的度数，根据邻补角的定义可得BEG的值，由此得解解答：解：过F作FGABCD，交BC于G；则四边形ABGF是平行四边形，所以AF=BG，即G是BC的中点；BC=2AB，为AD的中点，BG=AB=FG=AF，连接EG，在RtBEC中，EG是斜边上的中线，则BG=GE=FG=BC；AEFG，EFG=AEF=FEG=54，AEG=AEF+FEG=108，B=BEG=1801

26、08=72故答案为：72点评：此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定和性质，正确地构造出与所求相关的等腰三角形是解决问题的关键20（2011鞍山）已知如图，D是ABC中AB边上的中点，ACE和BCF分别是以AC、BC为斜边的等腰直角三角形，连接DE、DF求证：DE=DF考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线菁优网版权所有专题：证明题；压轴题分析：分别取AC、BC中点M、N，连接MD、ND，再连接EM、FN，利用在直角三角形中：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和已知条件证明四边形MDNC为平行四边形，再利用平行四边形的性质和

27、已知条件证明EMDDNF即可解答：证明：分别取AC、BC中点M、N，连接MD、ND，再连接EM、FN，D为AB中点，AEC=90，BFC=90，EM=AC，FN=BC，D是ABC中AB边上的中点，DN是ABC的中位线DN=AC，EM=DN=AC，FN=MD=BC，DNCM且DN=CM，四边形MDNC为平行四边形，CMD=CNDEMC=FNC=90，EMC+CMD=FNC+CND，即EMD=FND，EMDDNF（SAS）DE=DF点评：本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，题目难度中等综合性不小中位线12（2013沙坪

28、坝区模拟）如图，ABCD中，AC与BD相交于点O，ABD=2DBC，AEBD于点E（1）若ADB=25，求BAE的度数；（2）求证：AB=2OE考点：平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理菁优网版权所有专题：压轴题分析：（1）根据平行四边形的对边平行可得ADBC，再根据两直线平行，内错角相等可得DBC=ADB，然后求出ABD，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可求出BAE；（2）取AB的中点F，连接EF、OF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=BF=AB，根据等边对等角可得ABD=BEF，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OFBC，根据

29、两直线平行，内错角相等可得DBC=EOF，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出EFO=EOF，再根据等角对等边可得EF=OE，从而得证解答：（1）解：在ABCD中，ADBC，DBC=ADB，ABD=2DBC，ADB=25，ABD=225=50，AEBD，BAE=90ABD=9050=40；（2）证明：如图，取AB的中点F，连接EF、OF，AEBD，EF=BF=AB，ABD=BEF，AO=CO，OF是ABC的中位线，OFBC，DBC=EOF，根据三角形的外角性质，BEF=EFO+EOF，又ABD=2DBC，EFO=EOF，EF=OE，OE=AB，AB=2OE点评：本题考查了平

30、行四边形的对边平行，对角线互相平分的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，作辅助线是解题的关键垂线20（2013宁夏）在ABCD中，P是AB边上的任意一点，过P点作PEAB，交AD于E，连结CE，CP已知A=60；（1）若BC=8，AB=6，当AP的长为多少时，CPE的面积最大，并求出面积的最大值（2）试探究当CPECPB时，ABCD的两边AB与BC应满足什么关系？考点：四边形综合题菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：（1）延长PE交CD的延长线于F，设AP=x，CPE的面积为y，由四

31、边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的对边相等得到AB=DC，AD=BC，在直角三角形APE中，根据A的度数求出PEA的度数为30度，利用直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半表示出AE与PE，由ADAE表示出DE，再利用对顶角相等得到DEF为30度，利用30度所对的直角边等于斜边的一半表示出DF，由两直线平行内错角相等得到F为直角，表示出三角形CPE的面积，得出y与x的函数解析式，利用二次函数的性质即可得到三角形CPE面积的最大值，以及此时AP的长；（2）由CPECPB，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到BC=CE，B=PEC=120，进而得出ECD=CED，利用等角对等边

32、得到ED=CD，即三角形ECD为等腰三角形，过D作DM垂直于CE，ECD=30，利用锐角三角形函数定义表示出cos30，得出CM与CD的关系，进而得出CE与CD的关系，即可确定出AB与BC满足的关系解答：解：（1）延长PE交CD的延长线于F，设AP=x，CPE的面积为y，四边形ABCD为平行四边形，AB=DC=6，AD=BC=8，RtAPE，A=60，PEA=30，AE=2x，PE=x，在RtDEF中，DEF=PEA=30，DE=ADAE=82x，DF=DE=4x，ABCD，PFAB，PFCD，SCPE=PECF，即y=x（10x）=x2+5x，配方得：y=（x5）2+（0x4），当x=4时，

33、y有最大值为12，即AP的长为5时，CPE的面积最大，最大面积是12；（2）当CPECPB时，有BC=CE，B=PEC=120，CED=180AEPPEC=30，ADC=120，ECD=CED=18012030=30，DE=CD，即EDC是等腰三角形，过D作DMCE于M，则CM=CE，在RtCMD中，ECD=30，cos30=，CM=CD，CE=CD，BC=CE，AB=CD，BC=AB，则当CPECPB时，BC与AB满足的关系为BC=AB点评：此题考查了四边形的综合题，涉及的知识有：平行四边形的性质，含30度直角三角形的性质，平行线的判定与性质，以及二次函数的性质，是一道多知识点综合的探究题角

34、平分线25（2007哈尔滨）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分BAC，交BD于点F（1）求证：EF+AC=AB；（2）点C1从点C出发，沿着线段CB向点B运动（不与点B重合），同时点A1从点A出发，沿着BA的延长线运动，点C1与A1的运动速度相同，当动点C1停止运动时，另一动点A1也随之停止运动如图2，A1F1平分BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E1A1C1，垂足为E1，请猜想E1F1，A1C1与AB三者之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）在（2）的条件下，当A1E1=3，C1E1=2时，求BD的长考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理菁

35、优网版权所有专题：证明题；压轴题；动点型；探究型分析：（1）过F作FMAB于点M，首先证明AMFAEF，求出MF=MB，即可知道EF+AE=AB（2）连接F1C1，过点F1作F1PA1B于点P，F1QBC于点Q，证明RtA1E1F1RtA1PF1，RtQF1C1RtE1F1C1后推出A1B+BC1=A1P+PB+QB+C1Q=A1P+C1Q+2E1F1化简为E1F1+A1C1=AB（3）设PB=x，QB=x，PB=1，E1F1=1，又推出E1F1+A1C1=AB，得出BD=解答：（1）证明：如图1，过点F作FMAB于点M，在正方形ABCD中，ACBD于点EAE=AC，ABD=CBD=45，AF

36、平分BAC，EF=MF，又AF=AF，RtAMFRtAEF，AE=AM，MFB=ABF=45，MF=MB，MB=EF，EF+AC=MB+AE=MB+AM=AB（2）E1F1，A1C1与AB三者之间的数量关系：E1F1+A1C1=AB证明：如图2，连接F1C1，过点F1作F1PA1B于点P，F1QBC于点Q，A1F1平分BA1C1，E1F1=PF1；同理QF1=PF1，E1F1=PF1=QF1，又A1F1=A1F1，RtA1E1F1RtA1PF1，A1E1=A1P，同理RtQF1C1RtE1F1C1，C1Q=C1E1，由题意：A1A=C1C，A1B+BC1=AB+A1A+BCC1C=AB+BC=

37、2AB，PB=PF1=QF1=QB，A1B+BC1=A1P+PB+QB+C1Q=A1P+C1Q+2E1F1，即2AB=A1E1+C1E1+2E1F1=A1C1+2E1F1，E1F1+A1C1=AB（3）解：设PB=x，则QB=x，A1E1=3，QC1=C1E1=2，RtA1BC1中，A1B2+BC12=A1C12，即（3+x）2+（2+x）2=52，x1=1，x2=6（舍去），PB=1，E1F1=1，又A1C1=5，由（2）的结论：E1F1+A1C1=AB，AB=，BD=点评：本题考查的是勾股定理的应用，全等三角形的判定以及正方形的性质等有关知识正方形对角线5（2005湖州）如图，四边形ABC

38、D和BEFG均为正方形，则=（结果不取近似值）考点：正方形的性质；相似三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：易证ABGDBF，可得BD：AB=BF：BG=，从而得出结果解答：解：连接BD，交GF于H；连接BF四边形ABCD与BEFG是正方形，BD：AB=BF：BG=，ABD=GBF=45，ABG=DBF，ABGDBF，=点评：解答本题要充分利用正方形的特殊性质考查了相似三角形的判定和性质15（2009广州）如图，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF与GH交于点P（1）若AG=AE，证明：AF=AH；（2）若FAH=45，证明：AG+A

39、E=FH；（3）若RtGBF的周长为1，求矩形EPHD的面积考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理菁优网版权所有专题：几何综合题；压轴题分析：（1）因为AG=AEBF=DHAB=AD，ABC=ADHABFADH（SAS）（2）将ADH绕点A顺时针旋转90后，可得AFHAFM然后可求得结论（3）设BF=x，GB=y，根据线段之间的关系利用勾股定理求出xy的值解答：（1）证明：连接AH、AFABCD是正方形，AD=AB，D=B=90ADHG与ABFE都是矩形，DH=AG，AE=BF，又AG=AE，DH=BF在RtADH与RtABF中，AD=AB，D=B=90，DH=BF，RtADHR

40、tABF，AF=AH（2）证明：将ADH绕点A顺时针旋转90到ABM的位置在AMF与AHF中，AM=AH，AF=AF，MAF=MAHFAH=9045=45=FAH，AMFAHFMF=HFMF=MB+BF=HD+BF=AG+AE，AG+AE=FH（3）解：设BF=x，GB=y，则FC=1x，AG=1y，（0x1，0y1）在RtGBF中，GF2=BF2+BG2=x2+y2RtGBF的周长为1，BF+BG+GF=x+y+=1即=1（x+y）即x2+y2=12（x+y）+（x+y）2整理得2xy2x2y+1=0xyxy=，矩形EPHD的面积S=PHEP=FCAG=（1x）（1y）=xyxy+1=，矩形

41、EPHD的面积是点评：本题考查正方形的特殊性质，勾股定理以及正方形中的特殊三角形的应用29（2011防城港）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H（1）求证：EB=GD；（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由；（3）若AB=2，AG=，求EB的长考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理菁优网版权所有专题：几何综合题；压轴题分析：（1）在GAD和EAB中，GAD=90+EAD，EAB=90+EAD，得到GAD=EAB从而GADEAB，即EB=GD；（2）EBGD，由（1）得ADG=ABE则在BDH中，D

42、HB=90所以EBGD；（3）设BD与AC交于点O，由AB=AD=2在RtABD中求得DB，所以得到结果解答：（1）证明：在GAD和EAB中，GAD=90+EAD，EAB=90+EADGAD=EAB，四边形EFGA和四边形ABCD是正方形，AG=AE，AB=AD，在GAD和EAB中，GADEAB（SAS），EB=GD；（2）解：EBGD理由如下：四边形ABCD是正方形，DAB=90，AMB+ABM=90，又AEBAGD，GDA=EBA，HMD=AMB（对顶角相等），HDM+DMH=AMB+ABM=90，DHM=180（HDM+DMH）=18090=90，EBGD（3）解：连接AC、BD，BD与

43、AC交于点O，AB=AD=2，在RtABD中，DB=，在RtAOB中，OA=OB，AB=2，由勾股定理得：2AO2=22，OA=，即OG=OA+AG=+=2，EB=GD=点评：本题考查了正方形的性质，考查了利用其性质证得三角形全等，并利用证得的条件求得边长8（2014安徽）如图1，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上一动点，过P作PMAB交AF于M，作PNCD交DE于N（1）MPN=60；求证：PM+PN=3a；（2）如图2，点O是AD的中点，连接OM、ON，求证：OM=ON；（3）如图3，点O是AD的中点，OG平分MON，判断四边形OMGN是否为特殊四边形？并说明理由考点：四边形综合

44、题菁优网版权所有专题：几何综合题；压轴题分析：（1）运用MPN=180BPMNPC求解，作AGMP交MP于点G，BHMP于点H，CLPN于点L，DKPN于点K，利用MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN求解，（2）连接OE，由OMAONE证明，（3）连接OE，由OMAONE，再证出GOENOD，由ONG是等边三角形和MOG是等边三角形求出四边形MONG是菱形，解答：解：（1）六边形ABCDEF是正六边形，A=B=C=D=E=F=120又PMAB，PNCD，BPM=60，NPC=60，MPN=180BPMNPC=1806060=60，故答案为；60如图1，作AGMP交MP于点G，BHMP

45、于点H，CLPN于点L，DKPN于点K，MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN正六边形ABCDEF中，PMAB，作PNCD，AMG=BPH=CPL=DNK=60，GM=AM，HP=BP，PL=PC，NK=ND，AM=BP，PC=DN，MG+HP+PL+KN=a，GH=LK=a，MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN=3a（2）如图2，连接OE，六边形ABCDEF是正六边形，ABMP，PNDC，AM=BP=EN，MAO=OEN=60，OA=OE，在ONE和OMA中，OMAONE（SAS）OM=ON（3）如图3，连接OE，由（2）得，OMAONEMOA=EON，EFAO，AFOE，

46、四边形AOEF是平行四边形，AFE=AOE=120，MON=120，GON=60，GOE=60EON，DON=60EON，GOE=DON，OD=OE，ODN=OEG，在GOE和DON中，GOENOD（ASA），ON=OG，又GON=60，ONG是等边三角形，ON=NG，又OM=ON，MOG=60，MOG是等边三角形，MG=GO=MO，MO=ON=NG=MG，四边形MONG是菱形点评：本题主要考查了四边形的综合题，解题的关键是恰当的作出辅助线，根据三角形全等找出相等的线段三、制造全等三角形5（2012重庆）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作MECD于

47、点E，1=2（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：综合题；压轴题分析：（1）根据菱形的对边平行可得ABCD，再根据两直线平行，内错角相等可得1=ACD，所以ACD=2，根据等角对等边的性质可得CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE，然后求出CD的长度，即为菱形的边长BC的长度；（2）先利用“边角边”证明CEM和CFM全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=MF，延长AB交DF于点G，然后证明1=G，根据等角对等边的性质可得AM=GM，再利用“角角边”证明CDF和BGF全等，根据全等三角形对应边相等

48、可得GF=DF，最后结合图形GM=GF+MF即可得证解答：（1）解：四边形ABCD是菱形，ABCD，1=ACD，1=2，ACD=2，MC=MD，MECD，CD=2CE，CE=1，CD=2，BC=CD=2；（2）证明：如图，F为边BC的中点，BF=CF=BC，CF=CE，在菱形ABCD中，AC平分BCD，ACB=ACD，在CEM和CFM中，CEMCFM（SAS），ME=MF，延长AB交DF的延长线于点G，ABCD，G=2，1=2，1=G，AM=MG，在CDF和BGF中，CDFBGF（AAS），GF=DF，由图形可知，GM=GF+MF，AM=DF+ME点评：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键12（2014南平）在图1、图2、图3、图4中，点P在线段BC上移动（不与B、C重合），M在BC的延长线上（1）如图1，ABC和APE均为正三角形，连接CE求证：ABPACEECM的度数为60（2）如图2，若四边形ABCD和四边形APEF均为