23.3.4相似三角形的应用(1[教资优择]

1、1教资借鉴 2. 的比，的比， 的比，的比， 的的 比都等于相似比。（相似形中的对应线段）比都等于相似比。（相似形中的对应线段） 4.面积的比面积的比 。 1. 相等，相等， 成比例。成比例。 3.周长的比周长的比 。 3. 对应成比例的两个三角形相似。对应成比例的两个三角形相似。 1.两角两角 两个三角形相似。两个三角形相似。 2.两边两边 且且 相等的两个三角形相似。相等的两个三角形相似。 一一.相似三角形的判定方法相似三角形的判定方法 对应相等对应相等 对应成比例对应成比例夹角夹角 三边三边 二二.相似三角形的性质相似三角形的性质 对应角对应角对应边对应边 对应高对应高对应中线对应中线对

2、应角平分线对应角平分线 等于相似比等于相似比 等于相似比的平方等于相似比的平方 2教资借鉴 1.1.如图如图, ,铁道口的栏杆短臂长铁道口的栏杆短臂长1m,1m,长臂长长臂长16m,16m,当短臂端当短臂端 点下降点下降0.5m0.5m时时, ,长臂端点升高长臂端点升高 m?m? o B D C A (第第1题题) 1m 16m 0.5m 8 给我一个支点我可以撬起整个地球给我一个支点我可以撬起整个地球! ! -阿基米德阿基米德 3教资借鉴 我们主要是应用相似三角形的性质来解我们主要是应用相似三角形的性质来解 决实际问题。决实际问题。 在实际生活中，请举出哪些地方用到了在实际生活中，请举出哪些

3、地方用到了 相似三角形？相似三角形？ 例如：在同一时刻人与树和各自的影子作为两条边例如：在同一时刻人与树和各自的影子作为两条边 形成的三角形。形成的三角形。 例如：物理学的小孔呈像实验中，实物与影子同通例如：物理学的小孔呈像实验中，实物与影子同通 过小孔的光线所连成的三角形。过小孔的光线所连成的三角形。 4教资借鉴 在同一时刻物体的高度与它在同一时刻物体的高度与它 的影长成正比例的影长成正比例.在某一时刻在某一时刻, 有人测得一高为有人测得一高为1.8米的竹竿米的竹竿 的影长为的影长为3米米,某一高楼的影某一高楼的影 长为长为60米米,那么高楼的高度是那么高楼的高度是 多少米多少米? 5教资借

4、鉴 解：设楼的高度为解：设楼的高度为x米，米， 由题意得；由题意得； 解得解得x=36（米）（米） 答：楼的高度是答：楼的高度是36米。米。 3 60 8 . 1 x 6教资借鉴 测量学校旗杆的高度。测量学校旗杆的高度。 7教资借鉴 例：如图，例：如图，B、C、E、F是在同一直线上，是在同一直线上， ABBF，DEBF，ACDF， （1） DEF与与ABC相似吗？为什么？相似吗？为什么？ （2）若）若DE=1，EF=2，BC=10，那么，那么AB等等 于多少？于多少？ 8教资借鉴 解：（解：（1） ABBF ，DEBF ABC=DEF=90 ACDF ACB=DFE ABCDEF （2） AB

5、CDEF DE=1，EF=2，BC=10 AB=5 EF BC DE AB 2 10 1 AB 9教资借鉴 A C B D E 借太阳的光辉助我们解题借太阳的光辉助我们解题,你想到了吗你想到了吗? 10教资借鉴 数学史话：数学史话： 泰勒斯是古希腊的科学家、哲学家，历史上称其为泰勒斯是古希腊的科学家、哲学家，历史上称其为“科学之祖科学之祖”，他尤其，他尤其 善于把现实中的许多问题转化为数学问题来解决。善于把现实中的许多问题转化为数学问题来解决。 位于埃及开罗西南位于埃及开罗西南1515千米处，有一金字塔，被称为千米处，有一金字塔，被称为“第一金字塔第一金字塔”或或“ 大金字塔大金字塔”，其高，

6、其高146.5146.5米，底面呈正方形。埃及人是如何堆成金字塔的，至米，底面呈正方形。埃及人是如何堆成金字塔的，至 今仍是个谜，而泰勒斯能测量金字塔的高度，在当时算是个了不起的贡献。今仍是个谜，而泰勒斯能测量金字塔的高度，在当时算是个了不起的贡献。 B A O O B A 他先竖一根已知长度的他先竖一根已知长度的 木棒木棒O OB B，比较棒子的影长，比较棒子的影长 A AB B与金字塔的影长与金字塔的影长ABAB，即，即 可算出金字塔的高可算出金字塔的高OBOB。 11教资借鉴 泰勒斯所用的这种比例法测物体的高度，当时非常有名。泰勒斯所用的这种比例法测物体的高度，当时非常有名。 除此之外，

7、他还能间接求出两点间的距离，其测量方法一直延除此之外，他还能间接求出两点间的距离，其测量方法一直延 用至今。用至今。 BA A B O 在AOB和AOB中 OA=OA AOB=AOB OB=OB AOBAOB AB=AB 如如图图，在在测测量量中中间间有有障障碍碍A、B两两点点的的距距离离时时，他他 先先确确定定一一点点O，使使OA=OA,OB=OB,再再测测出出A B 的的长长度度，即即知知A、B两两点点间间的的距距离离了了 在当时的条件下，泰勒斯能想出这种测量方法，简在当时的条件下，泰勒斯能想出这种测量方法，简 直就是惊世骇俗的了。直就是惊世骇俗的了。 12教资借鉴 阅读完上面材料后，如果

8、让你用相阅读完上面材料后，如果让你用相 似的知识去尝试测量上图中似的知识去尝试测量上图中A A、B B两两 点间的距离你会吗？点间的距离你会吗？ 13教资借鉴 例例1. 如图如图18.3.12所示，为了测量金字塔的所示，为了测量金字塔的 高度高度OB，先竖一根已知长度的木棒，先竖一根已知长度的木棒OB， 比较棒子的影长比较棒子的影长AB与金字塔的影长与金字塔的影长AB，即，即 可近似算出金字塔的高度可近似算出金字塔的高度OB如果如果OB1， AB2，AB274，求金字塔的高度，求金字塔的高度OB. 图18.3.12 14教资借鉴 解解 由于太阳光是平行光线，因此由于太阳光是平行光线，因此 OA

9、BOAB 又因为又因为 ABOABO90 所以所以 OABOAB， OB OBAB AB， OB （米）（米） 答答:该金字塔高为该金字塔高为137米米 137 2 1274 BA BOAB 15教资借鉴 例例2:2:如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选 定一个目标作为点定一个目标作为点A A，再在河的这一边选点，再在河的这一边选点B B和和C C，使，使 ABBCABBC，然后，再选点，然后，再选点E E，使，使ECBCECBC，用视线确定，用视线确定BCBC和和 AEAE的交点的交点D D 此时如果测得此时如果测得BD120米，米，DC60米

10、，米，EC50米，求米，求 两岸间的大致距离两岸间的大致距离AB A D C E B 16教资借鉴 解：解： （方法一）因为（方法一）因为 ADBEDC, ABCECD90， 所以所以 ABDECD， 答：答： 两岸间的大致距离为两岸间的大致距离为100米米 DC BD EC AB 那么 )100( 60 50120 DC ECBD AB米解得 此时如果测得此时如果测得BD120米，米，DC60米，米，EC50米，求米，求 两岸间的大致距离两岸间的大致距离AB 例例3:3:如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选 定一个目标作为点定一个目标作为点A

11、A，再在河的这一边选点，再在河的这一边选点B B和和C C，使，使 ABBCABBC，然后，再选点，然后，再选点E E，使，使ECBCECBC，用视线确定，用视线确定BCBC和和 AEAE的交点的交点D D A D C E B 17教资借鉴 (方法二方法二) 我们在河对岸选定一目标点我们在河对岸选定一目标点A，在河的一边选，在河的一边选 点点D和和 E，使，使DEAD，然后选点，然后选点B，作，作BCDE，与视，与视 线线EA相交于点相交于点C。此时，测得。此时，测得DE , BC, BD, 就可以求两就可以求两 岸间的大致距离岸间的大致距离AB了。了。A D E B C 此时如果测得此时如果

12、测得DE120米，米， BC60米，米，BD50米，求米，求 两岸间的大致距离两岸间的大致距离AB 请同学们自已解答请同学们自已解答 并进行交流并进行交流 18教资借鉴 u怎样利用相似三角形的有关知怎样利用相似三角形的有关知 识测量旗杆的高度识测量旗杆的高度? 想一想想一想 19教资借鉴 A B C D EF 20教资借鉴 A B C D EF 测量数据：身高测量数据：身高AC、影长、影长BC、旗杆影长、旗杆影长EF. 找相似：找相似：ABCABCDEF.DEF. EF BC DF AC 找比例： 21教资借鉴 AC F E B D G 22教资借鉴 AC F E B D G 测量数据：身高测

13、量数据：身高AD、标杆、标杆BE、旗杆与标杆、旗杆与标杆 之间距离之间距离BC、人与标杆间距离、人与标杆间距离AB. 找相似：找相似：AGDAGDBGE. BGE. AGDCGF CG AG BG AG BE AD CF AD , 找比例： 23教资借鉴 E C B D A 24教资借鉴 测量数据：身高测量数据：身高DE、人与镜子间的距离、人与镜子间的距离AE、 旗杆与镜子间距离旗杆与镜子间距离AC. 找相似：找相似：ADEADEABC.ABC. . AC AE BC DE 找比例： E C B D A 25教资借鉴 小结：小结： 现实生活中还有许多问题我们可以利用相现实生活中还有许多问题我们

14、可以利用相 似三角形的知识去解决，上述题目只能算是沧似三角形的知识去解决，上述题目只能算是沧 海一粟，这就需要我们做个有心人，从数学角海一粟，这就需要我们做个有心人，从数学角 度学会发现问题，提出问题，并且尝试从不同度学会发现问题，提出问题，并且尝试从不同 的角度、不同的途径去分析问题和解决问题，的角度、不同的途径去分析问题和解决问题， 不断锻炼我们的思维能力。不断锻炼我们的思维能力。 26教资借鉴 概 括 1、在运用相似三角形的有关知识解、在运用相似三角形的有关知识解 实际问题时，要读懂题意，实际问题时，要读懂题意， 2、画出从实际问题中抽象出来的几、画出从实际问题中抽象出来的几 何图形，构

15、建简单的数学模型，何图形，构建简单的数学模型， 3、然后运用已学的相似三角形的有、然后运用已学的相似三角形的有 关知识（相似三角形的识别、相似关知识（相似三角形的识别、相似 三角形的性质等）列出有关未知数三角形的性质等）列出有关未知数 的比例式，求出所求的结论的比例式，求出所求的结论. 27教资借鉴 1. 1. 在实际生活中在实际生活中, , 我们面对不能直接测量物我们面对不能直接测量物 体的高度和宽度时体的高度和宽度时. . 可以把它们转化为数学可以把它们转化为数学 问题问题, ,建立相似三角形模型建立相似三角形模型, ,再利用对应边成再利用对应边成 比例来达到求解的目的比例来达到求解的目的

16、! ! 2. 2. 能掌握并应用一些简单的相似三角形模型能掌握并应用一些简单的相似三角形模型. . 中考 28教资借鉴 生活实践生活实践 1、如图，是一池塘的平面图，、如图，是一池塘的平面图， 请你利用相似三角形的知识，请你利用相似三角形的知识， 设计出一种测量设计出一种测量A、B两点间两点间 距离的方案，并对这种方案作距离的方案，并对这种方案作 出简要的说明。出简要的说明。 29教资借鉴 解：如图在池塘外选一点解：如图在池塘外选一点P，连，连AP并延长，并延长， 连连BP并延长使并延长使 （或其他值），（或其他值）， 则则ABPCDP得得 ，量出，量出CD的长就可算的长就可算 出出 AB的长

17、。的长。 2 PD PB PC PA PC PA CD AB 30教资借鉴 2.如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网， 而且落在离网而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高米的位置上，求球拍击球的高 度度h. A B C D E （分析：由于（分析：由于AB、CD都垂直于地面都垂直于地面, C是公共角，是公共角， 所以所以ABCDEC,由此可得对应边成比例：由此可得对应边成比例： ） DC AC DE AB ) 2.4( 5 0.85)(10 DC EDAC AB米 解：解： ABCDEC, 得：得： AB、CD都垂直于地面都垂直于地面, 又又C是公共

18、角，是公共角，BAC=EDC DC AC DE AB 31教资借鉴 3. 如图如图. 有一路灯杆有一路灯杆AB，小明在灯光下看到，小明在灯光下看到 自己的影子自己的影子DF，那么，那么 （1）在图中有相似三角形吗？如有，请写出）在图中有相似三角形吗？如有，请写出. （2）如果已知）如果已知BD=3m,DF=1m,小明身高为小明身高为 1.6m,你能求得路灯杆的高吗？你能求得路灯杆的高吗？ A B DF C 32教资借鉴 有一路灯杆有一路灯杆AB(底部底部B不能直接到达不能直接到达),在灯光在灯光 下下,小明在点小明在点D处测得自己的影长处测得自己的影长DF=3m,沿沿 BD方向到达点方向到达点F处再测得自己的影长处再测得自己的影长FG=4m, 如果小明的身高为如果小明的身高为1.6m,求路灯杆求路灯杆AB的高度的高度. A B G DF C E 33教资借鉴 如图，有一路灯杆如图，有一路灯杆AB（底部（底部B不能直接不能直接 到达），在灯光下，小明在点到达），在灯光下，小明在点D处测得自己的处测得自