第五章 弯曲应力[课堂课资]

1、第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 截面面积截面面积 A A() N F A 极惯性矩极惯性矩 2 p IdA () p T I 惯性矩惯性矩 Iz（弯曲应力弯曲应力) 5-1 平面图形的几何性质平面图形的几何性质 为什么要研究平面图形的几何性质？为什么要研究平面图形的几何性质？ 因为我们对一维构件横截面的某些几何量很感兴趣！因为我们对一维构件横截面的某些几何量很感兴趣！! ! 1. 静矩静矩 (static moment of an area) A z ydAS对对z轴轴 A y zdAS对对y轴轴 静矩静矩: : 可为正、负、零。量纲：长度3。 z A o y dA y z 静矩静矩 面积面积

2、距离距离 静矩和形心静矩和形心 2. 形心形心 (centroid of an area)（yc , zc） 对任意截面：对任意截面： A c yAydA A c zAzdA A ydA y A c A zdA z A c z dA A o y y z yc zc c 形心坐标形心坐标： 推论：推论：图形对形心轴的静矩为零。图形对形心轴的静矩为零。 0 0 cc AA yzydAzdA 当时 组合截面：组合截面：（由几个形心已知的简单图形组成）（由几个形心已知的简单图形组成） 1 1 n iic i cn i i A y y A 1 1 n iic i cn i i Az z A ( yic、

3、 、zic 各截面形心的坐标 各截面形心的坐标 ) z o y 12 3 123123 123123 AAAAAA A c ydAydAydAydA ydA y AAAAAAA 112233 123 ccc A yA yA y AAA 对对n个简单图形情形，个简单图形情形， 例例1 求图示平面图形的形心坐标。求图示平面图形的形心坐标。 解解：矩形矩形I I： )mm(A 2 1 120010120 矩形矩形IIII： )mm(A 2 2 7001070 单位单位:mm y1 z1I 120 10 10 z y 80 （yc，zc） y2 II y2 IIz2 )mmz)mm(y( 605 c1

4、c1 )mmz )mm(y ( 5 45 2 70 10 c2 c2 1122 12 1200 5700 45 1200700 19.7() cc c A yA y y AA mm 1122 12 1200 60700 5 39.7() 1200700 cc c AzA z zmm AA 形心：形心： 单位单位:mm y1 z1I 120 10 10 z y 80 （yc，zc） y2 II y2 IIz2 例例2 求图示求图示T形截面的形心坐标。形截面的形心坐标。 解：建参考坐标系，解：建参考坐标系，y轴为对称轴。轴为对称轴。 将将T形截面看成由两个矩形组成。形截面看成由两个矩形组成。 zc

5、=0 100 100 20 20 z y 1 1 2 2 * yc c 矩形矩形I I： 2 1 20 100()Amm 1 110() c ymm 2 2 20 100()Amm 2 50() c ymm 矩形矩形IIII： 1122 12 80() cc c A yA y y AA mm 例例3 计算图示平面图形的形心位置。计算图示平面图形的形心位置。 解：用负面积法解：用负面积法 z y D c z c 大圆大圆： 2 1 4 AD 1 0 c z 小圆小圆： 2 2 D 42 A 2 D 4 c z 1122 12 cc c AzA z z AA 12 D 图形关于图形关于z轴对称，则

6、轴对称，则yc=0=0 1. 1. 惯性矩惯性矩 (moment of inertia of an area) z dA A o y y z A y A z dAzI,dAyI 22 2 P IdA 对原点对原点o的的极惯性矩极惯性矩(polar moment of inertia) : : 对对z、y轴惯性矩轴惯性矩 (moment of inertia about z、y axis)： 222 () Pzy IIIyz 量纲：量纲： 长度长度 4 4；符号：符号：正正 ( (不能为零不能为零) )。 惯性矩和惯性半径惯性矩和惯性半径 对对z轴轴 dA=bdy 2 2 3 22 12 /h

7、/hA z bh dybydAyI 同理对同理对y轴轴hdzdA A /b /b y hb dzhzdAzI 2 2 3 22 12 12 3 高宽 轴 I矩形截面对形心轴惯性矩矩形截面对形心轴惯性矩: : dy y b/2b/2 h/2 h/2 y z 解：解： dzz b/2b/2 h/2 h/2 y z 例例4 计算矩形截面对其形心轴的惯性矩计算矩形截面对其形心轴的惯性矩。 例例5 计算圆形对形心轴的惯性矩。计算圆形对形心轴的惯性矩。 解：解： z o y y z dA d 32 d 4 2 p d AI A 32 ddd 4 222 p d IIAzAyAI yz AAA 4 p 26

8、4 zy I d II 根据对称性可知，原截面对于形心轴根据对称性可知，原截面对于形心轴z和和y的惯性矩的惯性矩Iz 和和Iy是相等的是相等的，Iz= Iy，于是得于是得 圆形与圆环截面圆形与圆环截面 实心圆实心圆 4 264 P zy ID II 空心圆空心圆 44 642 dD I II P yz 4 4 1 642 DI II P yz d D 其中： 2. 惯性半径惯性半径 (radius of gyration of an area) 在材料力学计算中，为方便起见，可以把惯性在材料力学计算中，为方便起见，可以把惯性 矩写成图形的面积矩写成图形的面积A与某长度与某长度i的平方的乘积形式

9、：的平方的乘积形式： 2 IA i 注意：一般地，注意：一般地，惯性半径并无明确的几何解释。特殊地，惯性半径并无明确的几何解释。特殊地， 圆形截面的惯性半径圆形截面的惯性半径等于等于四分之一圆的直径值四分之一圆的直径值。 惯性半径惯性半径 I i A 称：称： 惯性积惯性积 (product of inertia of an area) A yz yzdAI 量纲: 长度4； 符号：可正、可负(可为零)。 z dA A o y y z 惯性积惯性积 特点：特点：图形关于对称轴的惯性积为零图形关于对称轴的惯性积为零。 dA o y y z z A A z dAyI 2 0 zc S ( (对形心

10、轴的静矩对形心轴的静矩) ) AaII zcz 2 AbII ycy 2 同理有：同理有： AA c A c dAadAyadAy 22 2 AaaSI zczc 2 2 A c dA)ay( 2 zc yc b a c yc zc 平行移轴公式平行移轴公式 (parallel-axis formula) 1、 两轴中必有一根通过形心的轴，才能应用平行移轴公式；两轴中必有一根通过形心的轴，才能应用平行移轴公式； 2、 对所有平行轴来说，平面图形对其形心轴的惯性矩最小。对所有平行轴来说，平面图形对其形心轴的惯性矩最小。 注意：注意： 解：解： bh h II zcz 2 1 ) 3 ( 2 32

11、 1 12 7 ) 2 1 (bhhbhII zz ？ （1 1）先求过形心轴的轴惯矩）先求过形心轴的轴惯矩 333 36 1 18 1 12 1 bhbhbhI zc （2 2）再次利用平行移轴公式）再次利用平行移轴公式 例例6 图示三角形截面图示三角形截面 ? 1 z I求：求： b h z z1 32 1 4 1 ) 2 1 () 3 2 (bhhbhII zcz zc * 3 12 1 bhI z 已知：已知： 例例7 计算图示平面图形对形心轴计算图示平面图形对形心轴z和和yc的惯性矩。的惯性矩。 解：解： 444 4 1515 () 6464 264161024 z DDDD I 2

12、2 1122 () (4) ) ycycyc IIAzIA Dz 42 2422 () )()()() ) 64412642423 DDDDDD 9216 119 4 D z y D 由例由例3知，知，yc轴轴y轴的距离为轴的距离为zc= =D/12. c y c zc=D/12 横力弯曲横力弯曲(bending by transverse force) 纯弯曲纯弯曲(pure bending) 梁横截面上的应力梁横截面上的应力 切应力切应力 与剪力对应与剪力对应 正应力正应力 与弯矩对应与弯矩对应 0,0 s FM 0,0 s FM 5-2 梁纯弯曲时的正应力梁纯弯曲时的正应力 实验观察实验

13、观察梁表面变形特征梁表面变形特征 q 横线仍是直线，但发生横线仍是直线，但发生 相对转动，仍与纵线正交；相对转动，仍与纵线正交； q 纵线弯成曲线，且梁的纵线弯成曲线，且梁的 下侧伸长，上侧缩短。下侧伸长，上侧缩短。 梁弯曲假设梁弯曲假设( (由外部去想象内部由外部去想象内部) )： q横截面保持为平面横截面保持为平面 变形后，仍为平面，且垂直于变形后，仍为平面，且垂直于 变形后梁的轴线，只是绕梁上某一轴转过一个角度；变形后梁的轴线，只是绕梁上某一轴转过一个角度； q 纵向各水平面间无挤压纵向各水平面间无挤压 均为单向拉、压状态。均为单向拉、压状态。 1、几何关系、几何关系 梁的梁的中性层中性

14、层(neutral layer) 既不伸长又不缩短的纵面既不伸长又不缩短的纵面 截面的截面的中性轴中性轴(neutral axis) 中性层与横截面的交线中性层与横截面的交线 纤维纤维aa变形前变形前的长度的长度 aaooood 纤维纤维aa变形后变形后的长度的长度 ()aay d 纤维纤维aa的线应变的线应变 (1) - y d dd)y( 中性层曲率半径中性层曲率半径 ( ( 与与y成正比成正比) ) 根据根据虎克定律虎克定律 (2) - y E ( (中轴性尚未确定中轴性尚未确定, , y、 未知未知) ) 由由(2)可知应力分布可知应力分布: : 假设假设: : 各层纤维之间无挤压作用

15、各层纤维之间无挤压作用, ,各条纤维仅受单向拉压受各条纤维仅受单向拉压受 力力, , 应此可以使用简单虎克定律。应此可以使用简单虎克定律。 2、物理关系、物理关系 x z Mz Mz y ( (确定微观应力与宏观弯矩的等效关系确定微观应力与宏观弯矩的等效关系) ) ( (中性轴中性轴) ) ( (对称轴对称轴) ) z y dA 微内力的合力及微内力的合力及等效关系等效关系 0 A dAN - (3)- (3) A y dAzM0 - (4)- (4) MdAyM A z - (5)- (5) 3、静力学关系、静力学关系 讨论：讨论： 将将(2)代入代入(3) z 0 S =0 AA y Ed

16、AydA 中性轴通过截面形心中性轴通过截面形心 将将(2)代入代入(4) AA zydAdA y zE00 当截面具有对称轴时当截面具有对称轴时, ,自然满足自然满足. . 0 A dAN -(3) y E -(2) A y dAzM0 -(4) z y ( (对称轴对称轴) ) x z y dA ( (中性轴中性轴) ) M SZ称为称为静矩静矩, ,当通过当通过截截 面形心面形心时为时为0 (2)代入代入(5)式：式： A MdA y yE z EI M 1 - (6)- (6) EIz抗弯刚度抗弯刚度 (6)代入代入(2)式式 y I M z - (7)- (7) z y ( (对称轴对

17、称轴) ) x z y dA ( (中性轴中性轴) ) M y E -(2)-(2)MdAyM A z -(5)-(5) 2 z A Iy dA 惯性矩惯性矩定义定义: : 按变形方式：按变形方式：M为正：下拉上压为正：下拉上压； M为负：上拉下压。为负：上拉下压。 单位单位：)Pa(m/Nm m mN 2 4 y zO dA y z h b 若如图中那样取若如图中那样取y轴向下为正的坐标系来定轴向下为正的坐标系来定 义式中义式中y 的正负，则在弯矩的正负，则在弯矩M 按以前的规定确按以前的规定确 定其正负的情况下，所得正应力的正负自动表定其正负的情况下，所得正应力的正负自动表 示拉应力或压应

18、力。示拉应力或压应力。 4、正应力符号判定、正应力符号判定 y I M z z y h b o 中性轴中性轴z不是横截面的对称轴时，不是横截面的对称轴时， 其横截面上最大拉应力值和其横截面上最大拉应力值和 最大压应力值不等。最大压应力值不等。 中性轴中性轴z是横截面的对称轴时，是横截面的对称轴时， 其横截面上最大拉应力值和其横截面上最大拉应力值和 最大压应力值相等。最大压应力值相等。 5、正应力的分布、正应力的分布 1、纯弯曲正应力可以推广到横力弯曲、纯弯曲正应力可以推广到横力弯曲 5-3 弯曲正应力的强度准则弯曲正应力的强度准则 (2) 以上有关纯弯曲的正应力的公式，以上有关纯弯曲的正应力的

19、公式，对于横力弯曲的情对于横力弯曲的情 形，如果是细长杆形，如果是细长杆( (l/h5) )，也是近似适用，也是近似适用。 (1) 理论与实验结果都表明，由于剪应力的存在，梁的横截面理论与实验结果都表明，由于剪应力的存在，梁的横截面 在必须之后将在必须之后将不再保持平面不再保持平面，而是要发生，而是要发生翘曲翘曲，对于细长梁，对于细长梁， 这种翘曲对正应力的影响是很小的，通常都可以这种翘曲对正应力的影响是很小的，通常都可以忽略不计忽略不计。 (Strength criterion of normal stress in bending) 2、截面最大正应力截面最大正应力 max z max y

20、 I M （在距中性轴最远点）（在距中性轴最远点） 中性轴为对称轴：中性轴为对称轴：( (拉拉) )max = = ( (压压) )max 中性轴为非对称轴中性轴为非对称轴: :( (拉拉) )max ( (压压) )max 其中：其中： max z z y I W 抗弯截面模量抗弯截面模量（m3） (section modulus in bending) 又可写成又可写成： max z M W 抗弯截面模量抗弯截面模量Wz的计算的计算 矩形截面矩形截面 z b h 6 bh W 2 Z 实心圆截面实心圆截面 Z d 32 d W 3 Z d D 空心圆截面空心圆截面 33 32 z WDd

21、？ 3 444 1 64232 z DD WDd d D 注意：抗弯截面模量注意：抗弯截面模量Wz 的计算不可以用负面积法的计算不可以用负面积法! ! 3、等截面全梁最大正应力：等截面全梁最大正应力： z max max W M 4、 强度条件强度条件： max 应用：应用： 强度校核：强度校核： z max W M 设计截面：设计截面： max z M W 计算承载力计算承载力： zmax WM 解解: :（1）C截面弯矩大小：截面弯矩大小： 33 1.5 1023 10 () c MP aN m 例例1 求如下悬臂梁求如下悬臂梁C截面截面k点正应力点正应力。 已知已知： m.y,m.b,m

22、.h060120180 ,ma,kN.P251 y b h/2 h/2 k z P a C （2）惯性矩）惯性矩： )(10583. 0 12 18. 012. 0 12 44 33 m bh Iz （3）k点应力点应力： )( 拉MPa.)m/N(. . . y I M z c k 09310093 060 105830 103 26 4 3 y b h/2 h/2 k z P a c 解：解： 先画梁的弯矩图先画梁的弯矩图。 例例2 一矩形截面简支木梁如图所示，已知一矩形截面简支木梁如图所示，已知l=4m，b=140mm，h=210mm， q=2kN/m，弯曲时木材的许用正应力，弯曲时木材

23、的许用正应力 =10Mpa，校核该梁的强度。，校核该梁的强度。 由梁的弯矩图可以看出，梁中由梁的弯矩图可以看出，梁中 最大弯矩应发生在跨中截面上，最大弯矩应发生在跨中截面上， 其值为其值为 N.m1044102 8 1 8 1 3232 max qlM 弯曲截面系数为弯曲截面系数为 322 2 m10103. 021. 014. 0 6 1 6 bh Wz 由于最大正应力应发生在最大由于最大正应力应发生在最大 弯矩所在截面上，所以有弯矩所在截面上，所以有 3.88MPaPa1088. 3 10103. 0 104 6 2 3 max max z W M 所以满足正应力强度要求。所以满足正应力强

24、度要求。 例例3 如下简支如下简支梁的横截面为工字钢，试按要求选择工字钢型号。梁的横截面为工字钢，试按要求选择工字钢型号。 已知：已知： MPaml kNP,kNP 1706 2115 21 （2）画弯矩图，确定画弯矩图，确定 max M （3）Wz 解：解： 3 -333 max 6 38 10 0.223 10 ()223() 170 10 z M Wmcm 19kN17kN (1) 计算约束反力计算约束反力 （4）查表：查表： P.329 3 237cmWz 计算值计算值选选20a, P2P1 l/3l/3l/3 38 34 M 单位：单位：kNm 例例4 一一形截面的外伸梁如图所示。已

25、知：形截面的外伸梁如图所示。已知：l=600mm，a=110mm，b=30mm， c=80mm，F1=24kN，F2=9kN，材料的许用拉应力材料的许用拉应力 t t=30MPa，许用压应，许用压应 力力c c=90Mpa, ,试校核梁的强度。试校核梁的强度。 解：（解：（1 1）先画出弯矩图（图）先画出弯矩图（图b） （2 2）确定截面形心）确定截面形心C的位置的位置 1 0.110.0380.072ym 2 0.11 0.03 0.0150.03 0.08 0.07 0.11 0.030.03 0.08 0.038 y m （3 3）截面对中性轴的惯性矩）截面对中性轴的惯性矩 33 22

26、54 0.11 0.030.03 0.08 (0.11 0.03 0.023 )(0.03 0.08 0.032 ) 1212 0.573 10 z I m (4) (4) 强度校核强度校核 校核最大拉压力校核最大拉压力。由于截面对中性轴不对称，而正、负弯矩又都存在，由于截面对中性轴不对称，而正、负弯矩又都存在， 因此，最大拉应力不一定发生在弯矩绝对值最大的截面上。应该对最大正因此，最大拉应力不一定发生在弯矩绝对值最大的截面上。应该对最大正 弯矩和最大负弯矩两个截面上的拉应力进行分析比较。弯矩和最大负弯矩两个截面上的拉应力进行分析比较。 MPa91.17Pa1091.17 10573. 0 0

27、38. 0107 . 2 t 6 5 3 2maxt, y I M z C 在最大负弯矩的在最大负弯矩的B截面上，最大拉应力发生在截面的上边缘，其值为截面上，最大拉应力发生在截面的上边缘，其值为 MPa5 .22Pa105 .22 10573. 0 072. 0108 . 1 t 6 5 3 1maxt, y I M z B 在最大正弯矩的在最大正弯矩的C截面上，最大拉应力发生在截面的下边缘，其值为截面上，最大拉应力发生在截面的下边缘，其值为 校核最大压应力校核最大压应力。首先确定最大压应力发生在哪里。与分析最大拉应首先确定最大压应力发生在哪里。与分析最大拉应 力一样，要比较力一样，要比较C、

28、B两个截面。两个截面。C截面上最大压应力发生在上边缘，截面上最大压应力发生在上边缘，B 截面上的最大压应力发生在下边缘。因截面上的最大压应力发生在下边缘。因MC 和和y1分别大于分别大于MB与与y2，所以最，所以最 大压应力应发生在大压应力应发生在C截面上，即截面上，即: MPa9 .33Pa109 .33 10573. 0 072. 0107 . 2 c 6 5 3 1max, c y I M z C 由以上分析知该梁满足强度要求。由以上分析知该梁满足强度要求。 . . 合理配置梁的荷载和支座合理配置梁的荷载和支座 5-4 梁的合理设计梁的合理设计 2 max 125. 0 0 qlMM a

29、 C 时当 2 max 0214. 0 207. 0 ql MMM la CB 时当 . . 合理选取截面形状合理选取截面形状 (1) 尽可能使横截面上的面积分布在距中性轴较远处， 以使弯曲截面系数Wz增大。 由四根100 mm80 mm10 mm不等边角钢按四种不 同方式焊成的梁(角钢的长肢均平放，故四种截面的高度 均为160 mm)，他们在竖直平面内弯曲时横截面对于中性 轴的惯性矩Iz和弯曲截面系数Wz如下： 图a所示截面 34 cm343 cm7452 zz WI， 图b所示截面 34 cm215 cm7171 zz WI， 图c所示截面 34 cm86 cm690 zz WI， 图d所

30、示截面 43 2 745 cm 343 cm zz IW， (2) 对于由拉伸和压缩许用应力值相等的材料(例如建 筑用钢)制成的梁，其横截面应以中性轴为对称轴。对于在 压缩强度远高于拉伸强度的材料(例如铸铁)制成的梁，宜 采用T形等对中性轴不对称的截面，并将其翼缘置于受拉一 侧，如下图。 d z y O (b) yc,max yt,max y z b d1 h O d2 (c) h b z y O (a) . . 合理设计梁的外形合理设计梁的外形 可将梁的截面高度设计成 考虑各截面弯矩大小变化的变 截面梁；若使梁的各横截面上 的最大正应力都相等，并均达 到材料的许用应力，则这种变 截面梁称为等

31、强度梁等强度梁(beam of constant strength)。 . 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力 (1) 矩形截面梁矩形截面梁 5-5 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力 y z y h b s F 两点假设： 1. 各点处的切应力与剪力Fs方向一致； 2. 各点处的切应力沿界面宽度均布。 s F dx 从发生横力弯曲的梁中取出长为dx的微段，如图所示。 a1b1 d c d1c1 a1 Fs M Fs+ dFs M+ dM x y z dx ba ba b h 取隔离体： 列平衡方程： 0: x F N1 N2 1dA b h z x y y y1 dx A* dT 21

32、0NNdT dTbdx A*对对z轴的静矩轴的静矩 N1 N2 1dA b h z x y y y1 dx A* dT * * 1 11 * 1 Ndd d AA z z A zz My AA I MM yAS II * * 221 * 1 (d) Ndd dd d AA z z A zz MM AyA I MMMM yAS II 其中： * d 1 * A z AyS 将以上各式代入平衡方程 bI SF bI S x M z z z z * S * d d 得 bI SF z z * S 根据切应力互等定理可知，梁的横截面上距中性轴z 的距离为y处的切应力 必与 互等，从而亦有 bI SF

33、z z * S 矩形截面梁横力弯曲时切应力计算公式矩形截面梁横力弯曲时切应力计算公式 z y y y1 Ad 式中，FS为横截面上的剪力；Iz 为整个横 截面对于中性轴的惯性矩；b为矩形截面 的宽度(与剪力FS垂直的截面尺寸)；Sz* 为横截面上求切应力 的点处横线以外部 分面积对中性轴的静矩， 。 * d 1 * A z AyS 上式就是矩形截面等直梁在对称弯曲时横截面上任一点处 切应力的计算公式。 2 2 2 111 * 42 dd * y hb ybyAyS A h y z 2 2 S 2 2 S 4242 y h I F y hb bI F zz b h dy1 y y z O y1

34、2 *22 ()() 2224 z h y hb h Sbyyy 或者： A F bh F bh hF I hF z 2 3 2 3 1288 SS 3 2 S 2 S max 可见： 1. 沿截面高度系按二次 抛物线规律变化； 2. 同一横截面上的最大切 应力max在中性轴处(y=0): 平均切应力的1.5倍。 2 2 S 42 y h I F z (2) 工字形截面梁工字形截面梁 1. 腹板上的切应力 dI SF z z * S 2 2 * 222 2 2 222 y hd h b y y h dy hh bSz dd d d d d d 其中 可见腹板上的切应力在与中性轴z垂直的方向按二

35、次 抛物线规律变化。 2. 在腹板与翼缘交界处： 在中性轴处： d d h b dI F z 2 S min 对于轧制的工字钢，上式中的 就是型钢表中给 出的比值 ，此值已把工字钢截面的翼缘厚度变化和圆 角等考虑在内。 * max, z z S I x x S I 2 S * max,S max 222 dd d hd h b dI F dI SF z z z 3. 翼缘上的切应力(推导过程可略） 翼缘横截面上平行于剪力 FS的切应力在其上、下边缘处 为零(因为翼缘的上、下表面 无切应力)，可见翼缘横截面 上其它各处平行于FS的切应力 不可能大，故不予考虑。分析 表明，工字形截面梁的腹板承 担

36、了整个横截面上剪力FS的 90%以上。 (3) 薄壁环形截面梁薄壁环形截面梁 薄壁环形截面梁在竖直平面内弯 曲时，其横截面上切应力的特征如 图a所示： 1. 由于d r0，故认为切应力 的 大小和方向沿壁厚d 无变化； 2. 由于梁的内、外壁上无切应力， 故根据切应力互等定理知，横截面 上切应力的方向与圆周相切；(a) 3. 根据与y轴的对称关系可知： (a) 横截面上与y轴相交的各点 处切应力为零； (b) y轴两侧各点处的切应力其 大小及指向均与y轴对称。 从而有 A F r F r rF I SF z zSS 0 S 3 0 2 0S * max 2 2 2 2 ddd d d 式中， A=2r0d为整个环形截面的面积。 (4) 圆截面梁 圆截面梁在竖直平面内弯曲 时，其横截面上切应力的特征如 图a所示：认为离中性轴z为任意 距离y的水平直线kk上各点处的切 应力均汇交于k点和k点处切线的 交点O ，且这些切应力沿y方向的 分量y相等。 (a) 因此可先利用公式 求出kk上各点的切应力竖向分 量y ，然后求出