含答案参数方程练习题

1、、选择题： 参数方程练习题 1直线 l 的参数方程为 x a t （t为参数），l上的点P1对应的参数是 t1，则点 P1与P（a,b）之间的 ybt 距离是( C ) 2 A t1 B 2 t1 C 2 t1 D 2 t1 2参数方程为 1 t （t为参数 ） 表示的曲线是（ A一条直线 B 两条直线 C 一条射线 D 两条射线 1 x 1 t 3直线2 y 3 3 （t为参数 ） 和圆 3t 2 2 y2 16交于 A, B两点，则 AB 的中点坐标为 （ D ） A (3, 3) B ( 3,3) C ( 3, 3) 4把方程 xy 1化为以 t 参数的参数方程是（ D ） 1 x t

2、2 x sint x cost x tant A1 B y t 2 1 C 1 D 1 y sint y cost y tant 5若点 P（3,m） 在以点 F 为焦点的抛物线 4t （t为参数） 上，则 4t PF 等于（ C A 2 B 3 C 4 D 5 6. 直线 x 3 0 t sin20 (t 0 为参数 ） 的倾斜角是 （ ） y 1 t cos200 A.20 0 B.70 0 C.110 0 D.160 、填空题： 7曲线的参数方程是 1 t (t为参数 ,t t2 0) ，则它的普通方程为 _ y x(x 22)(x 1) (x 1)2 8点 P(x,y) 是椭圆 2x2

3、 3y2 12上的一个动点，则 x 2y 的最大值为 22 9 已 知 曲线 x 2pt （t为参数, p为正常数）上的两点 M,N y 2pt 对应的参数分别为t1和t2, ， 且t1 0 ，那么 MN = 4pt1 10直线 tcos tsin 与圆 x 4 2cos 相切，则 y 2sin 11. 设曲线 C 的参数方程为 x=t （ t 为参数），若以直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴 y=t2 建立极坐标系，则曲线 C的极坐标方程为 cos2 sin 0 三、解答题： 12已知点 P（x, y） 是圆 x2 2y 上的动点， 1）求 2x y 的取值范围； 2） a 0恒

4、成立，求实数 a 的取值范围。 解：（1）设圆的参数方程为 cos 1 sin 2x y 2cos sin 5sin( ) 1 5 1 2x y 5 1 2) x y a cos sin (cos sin ) 2sin( ) 13. 分别在下列两种情况下， 把参数方程 12(et 12(et e t ）cos 化为普通方程： e t ）sin 1） 为参数， t为常数；（2） t为参数， 为常数； 1解：（ 1）当 t 0 时， y 0, x cos ，即 x 1,且y 0 ； 当t 0 时， cos x 1 ,sin 1 t t 2(et e t ) y 12(et e t) 而x2 2）当

5、 Z 时， y 0 ， ,k Z时， x 2 0， 1 t t 2(e e ) ， 1t y2 ( et 即x et)， ,k Z 时， t e 得 t e 2x 2et 得 2et 2e ( 2x cos 1,且y 0 ； 2x 2 即 x 2 cos2 2 y 2 sin cos ，即 2y sin 2e t cos 2x cos 2y sin 2y sin 2 y 2x 2y ) sin )( sin cos 1。 14已知直线 l经过点 P（1,1）, 倾斜角，（1） 6 写出直线 l 的参数方程。 2）设 l 与圆 x2 y2 4 相交与两点 A,B ， 求点 P 到 A, B 两点

6、的距离之积。 解：（ 1）直线的参数方程为 t cos 6 t sin 6 3t 2 1 t 2 x 2）把直线 3t 2 代入 x 2 1t 2t 4得 (1 3 t)2 (1 1 t)2 4,t 2 ( 3 1)t 2 0 22 t1t22，则点 P到 A, B两点的距离之积为 10 2 15.过点 P（ 210 ,0）作倾斜角为 的直线与曲线 x 2 12y2 1交于点 M,N，求 PM PN 的最大值 及相应的 的值。 x10 t cos 解：设直线为 x2 tcos （t为参数） ，代入曲线并整理得 y t sin 22 y2 1，即 1 x 1 y 1 1 (et e t )2 1

7、 (et e t )2 44 (1 sin2 )t 2 ( 10cos )t 3 所以当 sin21时，即 2 16. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点， 3 2 2 1 sin 3 PM PN 的最大值为 ，此时 2 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 0, 则 PM PN t1t2 0。 . 已知点 A 的极坐标为 2,4 ，直线 l 的极坐标方程为 cos（ 4） a，且点 A在直线 l 上。 ）求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程； ）圆 解析】 )由点 A( 2, ) 在直线 cos( 4 ） a 上，可得 a 2 4 所以直线 l 的方程可化为 cos sin 从而直线 l 的直

8、角坐标方程为 x y 2 0 ）由已知得圆 C 的直角坐标方程为 （x 1)2 y2 1 x 1 cosa, C的参数方程为 （a为参数） ，试判断直线 l 与圆C的位置关系 . y sina 所以圆心为 （1,0） ，半径 r 以为圆心到直线的距离 d 1 ，所以直线与圆相交 17. 在直角坐标系 xOy 中， 直线 l 的方程为 x-y+4=0 ，曲线 C的参数方程为 x 3cosa y sina （I ）已知在极坐标（与直角坐标系 轴）中，点 P 的极坐标为（ 4， xOy 取相同的长度单位，且以原点 O为极点，以 x 轴正半轴为极 ），判断点 P 与直线 l 的位置关系； 2 II ）

9、设点 Q是曲线 C 上的一个动点，求它到直线 l 的距离的最小值 . 解：（）把极坐标下的点 （4, ） 化为直角坐标得： 2 P（0,4） 又点的坐标满足直线方程，所以点在 直线 l 上。 ）因为点在曲线上，故可设点的坐标为 （ 3sin ,cos ） ，从而点到直线 l 的距离为 d | 3cos sin 4| 2cos( 6) 4 d 2 2 2cos( ) 2 2 ，因此当 cos( 66 时， d 去到最小值，且最小值为2 。 x 18. 在直角坐标系 xoy 中，直线 l 的参数方程为 标系 xoy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 3 22 t, 2（ t 为参数）。在

10、极坐标系（与直角坐 2t（t 为参数）。在极坐标系（与直角坐 2 x 轴正半轴为极轴）中，圆 C 的方程为 2 5 sin 。 ）求圆 C 的直角坐标方程； （）设圆 C与直线 l 交于点 A、 B，若点 P 的坐标为 （3, 5） ， 求 |PA|+|PB| 。 解析】（）由 2 5sin 得 x2 y2 0,即 x2 (y5)2 5. （）将 l 的参数方程代入圆 C的直角坐标方程，得 （3 2 t）2 （ 2 t）2 5 ， 22 即t2 3 2t 4 0,由于 （3 2）2 4 4 2 0，故可设 t1,t2 是上述方程的两实根， 所以 t1 t2 3 2,又直线 l过点 P（3, 5

11、）,故由上式及 t 的几何意义得： t1t2 4 |PA|+|PB|= |t1|+|t2|=t1+t2= 3 2 。 x 1 t cosx cos 19. 已知直线 C1（t 为参数），C2（ 为参数）， y t siny sin （）当 = 时，求 C1与 C2 的交点坐标； 3 （）过坐标原点 O做 C1的垂线，垂足为 A，P 为 OA中点，当 变化时，求 P点的轨迹的参数方程， 并指出它是什么曲线。 （23） 解： ）当 3 时， C1 的普通方程为 y 3（x 1）， C2的普通方程为 x2 1。联立方程组 y 2 x ，解得 C1 与 C2 的交点为（ 1,0 ） 1 ， 3 22

12、） C1的普通方程为 xsiny cossin 0 。 A点坐标为 sin2 , cos sin ，故当 变化时， P 点轨迹的参数方程为： 1 x 为参数 ,P 点轨迹的普通方程为 4 1 16。 12 x sin 2 1 y sin cos 2 11 故 P 点轨迹是圆心为 1 ，0 ，半径为 1 的圆。 44 x 2cos 22.已知曲线 C1的参数方程是( 为参数) ，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴 y 3sin 为极轴建立坐标系，曲线 C2 的坐标系方程是2，正方形 ABCD 的顶点都在 C2上， 且 A,B,C,D 依逆时针次序排列，点 A的极坐标为 (2, ) 3 (1)求点

13、 A,B,C,D 的直角坐标； 2222 (2)设 P为 C1上任意一点，求 PA PB PC PD 的取值范围。 5 4 11 【解析】(1)点 A,B,C, D的极坐标为 (2, ),(2, 5 ),(2, 4 ),(2, 11 ) 3 6 3 6 点 A,B,C,D 的直角坐标为 (1, 3),( 3,1),( 1, 3),( 3, 1) x0 2cos (2)设 P(x0, y0)；则 0 ( 为参数) y0 3sin 2 2 2 2 2 2 2 t PA PB PC PD4x2 4y2 40 56 20sin 2 56,76 21. 在直角坐标系 xOy 中，以 O为极点， x 轴正

14、半轴为极轴建立极坐标系。圆 C1，直线 C2 的极坐标 方程分别为 4sin , cos( ) 2 2. 4 ( )求C1与C2的交点的极坐标； ( )设 P为C1的圆心， Q为C1与C2的交点连线的中点，已知直线 3 x t a, PQ 的参数方程为 b 3 (t R为参数 ).求 a,b 的值。 yt3 1 2 【解析】 ( ) 由x2 y2 , cos x, siny得， 圆 C1的直角坐标方程为 x2 (y 2)2 4 ，直线 C2 的直角坐标方程分别为 x y 4 0 x2(y 2)24,x10,x22, 由x(y 2)4, 解得12 xy 4 0.y14,y22, 所以圆 C1，直

15、线 C2 的交点直角坐标为 (0,4),(2,2) 再由x2 y2, cos x, sin y ，将交点的直角坐标化为极坐标 (4, ),(2 2, ) 所以 C1 24 与 C2 的交点的极坐标 (4, ),(2 2, ) 24 ( )由( )知，点 P， Q的直角坐标为 (0,2),(1,3) 故直线 PQ 的直角坐标方程为 x y 2 由于直线 PQ 的参数方程为 3 (t R为参数 ). 消去参数 ab 1 2 x t a, b3 y t 1 2 对照可得 b2 1, ab 1 2 解得 a 1,b 2. 22. 已知曲线 2. C1的参数方程为 5cos t , t 为参数)，以坐标

16、原点为极点， x 轴的正半轴为极 5sin t, 轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 2sin ()把 C1 的参数方程化为极坐标方程； ()求 C1与 C2交点的极坐标( 0,0 2)。 x 4 5cost 2 2 【解析】 将 消去参数 t ，化为普通方程 (x 4)2 (y 5)2 25, y 5 5sint 即 C1： x2 y2 8x 10y 16 0. 将 x cos 2 2 代入 x2 y2 8x 10y 16 0 得 y sin 2 8 cos 10 sin 16 0. ( ) C2 的普通方程为 x2 2 y2 2y 0. 2 x 2 x 2 0，解得 y 8x 10

17、y 16 所以 C1与 C2 交点的极坐标分别为 ( 2, 4) ， (2,2) 23. 已知动点 P， Q都在曲线 C： x 2cost y 2sint t为参数 上，对应参数分别为 t = y2 2y 0 与t =2（ 0 2）,M为 PQ的中点 . （ 1）求 M的轨迹的参数方程 . （2）将 M到坐标原点的距离 d 表示为 的函数，并判断 M的轨迹是否过坐标原点 【解析】（ 1）依题意有 P 2cos ,2sin ,Q 2cos2 ,2sin 2 , 因此 M cos cos2 ,sin sin2 x cos cos2 M的轨迹的参数方程为 为参数， 0 2 y sin sin2 （2

18、）M点到坐标原点的距离 dx2 y22 2cos , 0 2 . 当时， d 0 ，故 M的轨迹过坐标原点 P 点的 x 2cos uuuv uuuuv 24.已知曲线 C1：（ 为参数）， M 是C1上的动点， P点满足 OP 2OM y 2 2sin 轨迹为曲线 C2 （） 求C2的方程 3 与 C1 的异于极点的交点为 A， （）在以 O为极点， x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 与 C2 的异于极点的交点为 B ，求 AB . 解析】（I）设 P（ x, y） ,则由条件知 M （2x, 2y） . 由于 M 点在 C1上，所以 x x 4cos , y 4 4sin 2cos ,

19、 2即 y 2 2sin . 2 从而 C2 的参数方程为（ 为参数） y 4 4sin 射线与 C1 的交点 A的极径为 1 4sin ， 3 3 射线 与 C2的交点 B 的极径为 2 8sin . 3 2 2 3 所以 | AB| | 2 1 | 2 3. x cos 25.在平面直角坐标系 xOy中，曲线 C1的参数方程为，（ 为参数）曲线 C2的参数方程为 1 y sin 2 ）曲线 C1 的极坐标方程为 4sin ，曲线 C2 的极坐标方程为8sin x acos （a b 0, 为参数）。在以 O为极点， x轴的正半轴为极轴的极坐标系中， 射线l ： y bsin 与 C1 ，

20、C2 各有一个交点。当 0 时，这两个交点间的距离为 2，当 2 时，这两个交点重合。 1）分别说明 C1 ， C2是什么曲线，并求出 a与b 的值； （2） 设当时， l 与 C1， C2的交点分别为 A1, B1 ，当 4 求四边形 A1 A2 B2 B1的面积。 时， l 与 C1，C2 的交点为 A2,B2， 4 解：（ 1） C1是圆， C2是椭圆。当 0 ，射线 l 与 C1 ， C2的交点的直角坐标分别是 （1,0）,（a,0），这两个交点间的距离为2， a 3 ，当 2时，射线 l与C1，C2的交点的直角坐标 分别是 (0,1),(0,b) ， b 1 1，当 2 1,x2 9 22 2） C1 ，C2 的普通方程分别是 x2 y2 时，射线 l 与 C1 ，C2的交点 A1,B1 4 的横坐标分别是 x 3 10 10 时，射线 l 与 C1， C2的