勾股定理典型题型

1、新人教版八年级下册勾股定理典型例习题、 经典例题精讲 题型一：直接考查勾股定理 例 .在 ABC 中， C 90 已知 AC 6， BC 8求 AB 的长已知 AB 17， AC 15，求 BC 的长分析：直接应用勾股定理a2 b2 c2解： AB AC2 BC2 10 BCAB2 AC 2 8题型二：利用勾股定理测量长度例题 1 如果梯子的底端离建筑物 9 米，那么 15 米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少 米？解析： 这是一道大家熟知的典型的 “知二求一” 的题。把实物模型转化为数学模型后， . 已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！根据勾股定理 AC2

2、+BC2=AB2, 即 AC2+92=152, 所以 AC2=144, 所以 AC=12.例题2 如图（ 8），水池中离岸边 D点1.5米的 C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是 0.5 米，把芦苇拉到岸边，它的顶端 B 恰好落到 D 点，并求水池的深度 AC.解析： 同例题 1 一样，先将实物模型转化为数学模型，如图 2. 由题意可知 ACD中 , ACD=90, 在 Rt ACD中，只知道 CD=1.5，这是典型的利用勾 股定理“知二求一”的类型。标准解题步骤如下（仅供参考）解： 如图 2，根据勾股定理， AC2+CD2=AD2设水深 AC= x 米，那么 AD=AB=AC+CBx

3、=+0.5x +1.5 =（ x+0.5 ）解之得 x=2.故水深为 2 米.题型三 ： 勾股定理和逆定理并用例题 3 如图 3，正方形 ABCD中， E是 BC边上的中点， F是 AB上一点，且 FB 1AB那么 DEF是直角三角形吗？为什么？解析： 这道题把很多条件都隐藏了， 乍一看有点摸不着头脑。 仔细读题会意可以发现规律， 没1有任何条件，我们也可以开创条件，由 FB AB 可以设 AB=4a，那么 BE=CE=2 a,AF=3 a,4BF= a, 那么在 Rt AFD 、Rt BEF和 Rt CDE中，分别利用勾股定理求出 DF,EF和 DE的长，反过来再利用勾股定理逆定理去判断DE

4、F是否是直角三角形。详细解题步骤如下：解： 设正方形 ABCD的边长为 4a, 则 BE=CE=2a,AF=3 a,BF= a 在 RtCDE中，DE2=CD2+CE2=(4a) 2+(2 a)2=20 a2同理 EF2=5a2, DF 2=25a2在 DEF中， EF2+ DE2=5a2+ 20a2=25a2=DF2 DEF是直角三角形，且 DEF=90 .注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。题型四 ： 利用勾股定理求线段长度例题 4 如图 4，已知长方形 ABCD中 AB=8cm,BC=10cm在, 边 CD 上取一点 E，将 ADE折叠使点 D 恰好落在 BC边上的点

5、F，求 CE 的长.解析： 解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。注：本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直例题 5 如图 5，王师傅想要检测桌子的表面 AD边是否垂直与 AB 边和 CD边，他测得 AD =80cm，AB=60cm， BD=100cm，AD边与 AB边垂直吗？怎样去验证 AD边与 CD边是否垂直？ 解析： 由于实物一般比较大， 长度不容易用直尺来方便测量。 我们通常截取部分长度来 验证。如图 4，矩形 ABCD表示桌面形状，在 AB上截取 AM=12cm,在 AD 上截取 AN=9cm(想想 为什么要设为这两个长度？ ) ，

6、连结 MN，测量 MN的长度。2 2 2如果 MN=15,则 AM2+AN2=MN2, 所以 AD边与 AB边垂直；如果 MN=a15,则 92+122=81+144=225, a2225, 即 92+122 a2，所以 A不是直角。 利用勾股定理解决实际问题例题 6 有一个传感器控制的灯， 安装在门上方， 离地高 4.5 米的墙上， 任何东西只要移至 5米以内，灯就自动打开， 一个身高 1.5 米的学生， 要走到离门多远的地方灯刚好打开？解析：首先要弄清楚人走过去， 是头先距离灯 5米还是脚先距离灯 5 米，可想而知应该 是头先距离灯 5 米。转化为数学模型，如图 6 所示， A 点表示控制

7、灯， BM表示人的高度， B CMN,BCAN当头（ B点）距离 A有 5 米时，求 BC的长度。已知 AN=4.5 米,所以 AC=3米， 由勾股定理，可计算 BC=4米. 即使要走到离门 4米的时候灯刚好打开。题型六 ：旋转问题：例 1、如图， ABC 是直角三角形， BC 是斜边， 将 ABP 绕点 A 逆时针旋转后， 能与 AC P重合， 若 AP=3，求 PP的长。变式 1：如图， P是等边三角形 ABC内一点， PA=2,PB=2 3 ,PC=4,求 ABC的边长 . 分析：利用旋转变换，将 BPA绕点 B逆时针选择 60，将三条线段集中到同一个三角形中， 根据它们的数量关系，由勾

8、股定理可知这是一个直角三角形 .变式2、如图， ABC为等腰直角三角形， BAC=90， E、 F是BC上的点，且 EAF=45，试探究 BE 2、CF 2、 EF 2 间的关系，并说明理由题型七 ： 关于翻折问题例 1、如图，矩形纸片 ABCD的边 AB=10cm，BC=6cm，E 为 BC上一点，将矩形纸片沿 AE 折 叠，点 B恰好落在 CD边上的点 G处，求 BE的长 .C 落在点 C变式：如图， AD是 ABC的中线， ADC=45，把 ADC沿直线 AD 翻折，点 的 位 置 ，BC=4,求 BC的长 .题型八 ： 关于勾股定理在实际中的应用 ：例1、如图，公路 MN 和公路 PQ

9、在P点处交汇，点 A处有一所中学， AP=160 米，点 A 到公路 MN 的距离为 80 米，假使拖拉机行驶时， 周围 100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知 拖拉机的速度是 18千米 /小时，那么学校受到影响的时间为多少？A题型九 ： 关于最短性问题 例 5、如右图 119，壁虎在一座底面半径为 2 米， 高为 4 米的油罐的下底边沿 处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的 B 处有一只害虫， 便决定捕捉这只害虫， 为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从 背后对害虫进行突然袭

10、击结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐请问 壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（取 3.14，结果保留 1 位小数，可以用计算器计算）变式：如图为一棱长为 3cm 的正方体，把所有面都分为 9 个小正方形，其边长都是 1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm，则它从下地面 A 点沿表面爬行至右侧面的 B 点， 最少要花几秒钟？CEOABAB1)23)45A450a 元ABCC20 米处的池塘的 则这棵树高)25)169AD=9cm，将此长方形折叠，使点7已知， 的面积为B 、225a 元D 、300a 元)C、 150a元6 售价已知这种草皮每平方米E DA 处。另一只爬到树顶 D 后F 第

11、 7 题图B与点 D 重合，折痕为 EF，则 ABEC、10cm2B、8cm2D、12cm2级的长宽和高分别为20dm、 3dm、A 点有一只蚂蚁，想到 BB 点最短路程是 如图长方形 ABCD中， AB=3cm， )26cmODBC，OEAC ，OFABO 到三边 AB ， AC 和 BC 的距离分别等则第三边长的平方是(C、 7D、7 或11，另两边为自然数，则 Rt 的周长为(121B、120C、 132D、不能确定Rt两直角边的比为 5 12，则斜边上的高与斜边的比为( A、60 13B、512C、12 13D、60已知 RtABC中， C=90，若 a+b=14cm，c=10cm，则

12、 Rt ABC的面积是( 2 2 2 2A、24cmB、 36cmC、 48cmD 、 60cm等腰三角形底边上的高为 8，周长为 32，则三角形的面积为()A、56B、48C、 40D、32某市在旧城改造中， 计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境 a 元，则购买这种草皮至少需要A 20cm4在一棵树的 10 米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树 直接跃到 A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等 米。5. 如图是一个三级台阶，它的每 2dm，A 和 B是这个台阶两个相对的端点， 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到选择题 已知一个 Rt的两边长分别为 3 和 4A 、 25B 、14Rt一直角边的长为A 、 121B、如果A8在 ABC 中， AB=15，AC=13，高 AD =12，则 ABC 的周长为A42B32C 42或32D37或 339. 如图，正方形网格中的 ABC，若小方格边长为 1，则 ABC是 ( )20m 30m 150第 6 题图种盛饮料的圆柱形杯(如图) ，测得内部底面半径为 2.5 ，高为 12 ，吸管放进杯里，杯口外面