小学数学基础教程

1、小学数学应用师基础教程(六年级 )第一讲百分数百分数有两种不同的定义。（ 1）分母是 100 的分数叫做百分数。这种定义着眼于形式，把百分数作为分数的一种特殊形式。（ 2）表示一个数（比较数）是另一个数（标准数）的百分之几的数叫做百分数。这种定义着眼于应用，用来表示两个数的比。所以百分数又叫百分比或百分率。百分数通常不写成分数形式，而采用符号“”来表示，叫做百分号。在第二种定义中，出现了比较数、标准数、分率（百分数），这三者的关系如下：比较数标准数=分率（百分数），标准数分率=比较数，比较数分率=标准数。根据比较数、标准数、分率三者的关系，就可以解答许多与百分数有关的应用题。例 1 纺织厂的女

2、工占全厂人数的80，一车间的男工占全厂男工的25。问：一车间的男工占全厂人数的百分之几？分析与解： 因为“女工占全厂人数的80”，所以男工占全厂人数的1-80 =20。又因为“一车间的男工占全厂男工的25”，所以一车间的男工占全厂人数的20 25 =5。例 2 育红小学四年级学生比三年级学生多25，五年级学生比四年级学生少10，六年级学生比五年级学生多 10。如果六年级学生比三年级学生多38 人，那么三至六年级共有多少名学生？分析： 以三年级学生人数为标准量，则四年级是三年级的125，五年级是三年级的125（ 1-10 ），六年级是三年级的125（ 1-10 ）（ 1+10）。因为已知六年级比

3、三年级多38 人，所以可根据六年级的人数列方程。解： 设三年级有x 名学生，根据六年级的人数可列方程：x 125（ 1-10 ）（ 1+10） =x+38，x=160 。三年级有 160 名学生。四年级有学生 160 125 =200（名）。五年级有学生 200（ 1-10 ） 180（名）六年级有学生 160+38=198 （名）。 160+200+180+198=738（名）。例 3： 运一批货物，第一次运走20%，第二次运走6 吨，第三次运的比前两次的总和少2 吨，这时还剩下这批货物的1/3 没有运走，这批货物共有多少吨？（37.5 吨）例 4：某商店同时卖出两件商品，每件各得 30 元

4、，其中一件盈利 20，另一件亏本 20。这个商店卖出这两件商品总体上是盈利还是亏本？具体是多少？分析与解： 盈利 20，即售出价是成本价的（1 + 20 ）；亏本 20，即售出价是成本价的（1 - 20）。两件商品的售出价都是30 元，可分别算出两件商品的成本价。30 （1+20 ）=25 （元）30（1-20）=37.5 （元）25 + 37.5 = 62.5（元）62.5 60 = 2.5（元）答： 这个商店卖出这两件商品总体上是亏本，亏本2.5 元。例 5：水果批发部要运进一批水果，第一次运进总量的22，第二次运进1.5 吨，两次共运进这批水果的62，这批水果一共有多少吨？分析与解： 根

5、据题意可以画出下面的线段图：62第一次 221.5吨“1”? 吨从图中可以看出：两次一共运的吨数-第一次运的吨数= 1.5吨，单位“ 1”的量是这批水果的总吨数，设这批水果一共有吨，那么两次一共运了62吨，第一次运进了22吨。第1页解： 设这批水果一共有吨。62 - 22 = 1.540 = 1.5 = 3.75在百分数应用题中有一类叫 溶液配比问题 。我们都知道，将糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。如果水的量不变，那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是说，糖水甜的程度是由糖（溶质）与糖水（溶液 =糖 +水）二者重量的比值决定的，这个比值就叫糖水的含糖量或糖含量。类似地，酒

6、精溶于水中，纯酒精与酒精溶液二者重量的比值就叫酒精含量。溶质、溶剂、溶液及溶质含量有如下基本关系：溶液重量 =溶质重量 +溶剂重量，溶质含量=溶质重量溶液重量，溶液重量 =溶质重量溶质含量，溶质重量 =溶液重量溶质含量。溶质含量通常用百分数表示。例如，10 克白糖溶于90 克水中，含糖量（溶例 6 有含糖量为7的糖水600 克，要使其含糖量加大到10，需要再加入多少克糖？分析与解： 在 600 克含糖量为7的糖水中，有糖（溶质）600 7=42（克）。设再加 x 克糖，可使其含糖量加大到10。此时溶质有（42+x）克，溶液有（600+x）克，根据溶质含量可得方程需要再加入20 克糖。练习 11

7、. 某修路队修一条路， 5 天完成了全长的 20。照此计算，完成任务还需多少天？2. 服装厂一车间人数占全厂的 25，二车间人数比一车间少 20，三车间人数比二车间多 30。已知三车间有 156 人，全厂有多少人？3. 有三块地，第二块地的面积是第一块地的80，第三块地的面积比第二块多20，三块地共69 公顷，求三块地各多少公顷。5. 有酒精含量为30的酒精溶液若干，加了一定数量的水后稀释成酒精含量为24的溶液， 如果再加入同样多的水，那么酒精含量将变为多少？6.某商品如果按现价18 元出售，则亏了25，原来成本是多少元？如果想盈利25，应按多少元出售该商品？第二讲比和比例比的概念是借助于除法

8、的概念建立的。两个数相除叫做两个数的比。例如，5 6 可记作 56。比值。表示两个比相等的式子叫做比例（式）。如，3 7=9 21。判断两个比是否成比例，就要看它们的比值是否相等。两个比的比值相等，这两个比能组成比例，否则不能组成比例。在任意一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积。即：如果a b=c d，那么 a d=bc。两个数的比叫做单比，两个以上的数的比叫做连比。例如a bc。连比中的“”不能用“”代替，不能把连比看成连除。把两个比化为连比，关键是使第一个比的后项等于第二个比的前项，方法是把这两项化成它们的最小公倍数。例如，甲乙=5 6，乙丙 =43，因为 6 ，4=12 ，所以 5

9、6=10 12 ， 4 3=12 9， 得到甲乙丙 =10 12 9。例 1 六年级一班的男、女生比例为3 2，又来了 4 名女生后，全班共有44 人。求现在的男、女生人数之比。分析与解： 原来共有学生 44-4=40 （人），由男、女生人数之比为 3 2 知，如果将人数分为 5 份，那么男生占 3 份，女生占 2 份。由此求出第2页女生增加4 人变为 16+4=20（人），男生人数不变，现在男、女生人数之比为24 20=65。在例 1 中，我们用到了按比例分配的方法。将一个总量按照一定的比分成若干个分量叫做按比例分配。按比例分配的方法是将按已知比分配变为按份数分配，把比的各项相加得到总份数，

10、各项与总份数之比就是各个分量在总量中所占的分率，由此可求得各个分量。例 2 配制一种农药，其中生石灰、硫磺粉和水的重量比是1 2 12，现在要配制这种农药2700 千克，求各种原料分别需要多少千克。分析： 总量是 2700 千克，各分量的比是1 2 12，总份数是1+2+12=15，答：生石灰、硫磺粉、水分别需要180， 360 和 2160 千克。在按比例分配的问题中，也可以先求出每份的量，再求出各个分量。如例3 中，总份数是1+2+12=15，每份的量是 2700 15=180（千克），然后用每份的量分别乘以各分量的份数，即用180 千克分别乘以1，2，12，就可以求出各个分量。例 3 师

11、徒二人共加工零件400 个，师傅加工一个零件用9 分钟，徒弟加工一个零件用15 分钟。完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？分析与解： 解法很多，这里只用按比例分配做。师傅与徒弟的工作效率练习 21. 一块长方形的地，长和宽的比是5 3，周长是 96 米，求这块地的面积。2. 一个长方体，长与宽的比是 4 3，宽与高的比是 5 4，体积是 450 分米 3。问：长方体的长、宽、高各多少厘米？3. 一把小刀售价6 元。如果小明买了这把小刀，那么小明与小强的钱数之比是3 5；如果小强买了这把小刀，那么小明与小强的钱数之比是911。问：两人原来共有多少钱？4. 甲、乙、丙三人分138 只贝壳，甲每

12、取走5 只乙就取走4 只，乙每取走5 只丙就取走6 只。问：最后三人各分到多少只贝壳？5. 一条路全长60 千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是1 2 3，某人走各段路程所用的时间之比是3 4 5。已知他走平路的速度是5 千米 / 时，他走完全程用多少时间？第三讲行程问题例 1：甲乙两辆客车上午8 时同时从两个车站出发，相向而行，经过一段时间，两车同时到达一条河的两岸。由于河上的桥正在维修，车辆禁止通行，两车需交换乘客，然后按原路返回各自出发的车站，到站时已是下午 2 点。甲车每小时行 40 千米，乙车每小时行 45 千米，两地相距多少千米？（交换乘客的时间略去不计）第3页想：

13、根据已知两车上午 8 时从两站出发，下午 2 点返回原车站，可求出两车所行驶的时间。根据两车的速度和行驶的时间可求两车行驶的总路程。解：下午2 点是 14 时。往返用的时间：14-8=6 （时）两地间路程：（40+45） 62=8562 =255（千米）例 2：学校组织两个课外兴趣小组去郊外活动。第一小组每小时走4.5 千米，第二小组每小时行3.5 千米。两组同时出发1 小时后，第一小组停下来参观一个果园，用了1 小时，再去追第二小组。多长时间能追上第二小组？想：第一小组停下来参观果园时间，第二小组多行了3.5-（4.5-3.5） 千米，也就是第一组要追赶的路程。又知第一组每小时比第二组快（4

14、.5-3.5）千米，由此便可求出追赶的时间。解：第一组追赶第二组的路程：3.5- （ 4.5-3.5 ） =3.5-1=2.5（千米）第一组追赶第二组所用时间：2.5 （4.5-3.5）=2.5 1=2.5 （小时）例 3：一列火车和一列慢车， 同时分别从甲乙两地相对开出。 快车每小时行 75 千米， 慢车每小时行 65 千米，相遇时快车比慢车多行了 40 千米，甲乙两地相距多少千米？（画图）例 4：甲、乙二人同时从相距18 千米的两地相对而行，甲每小时行走5 千米，乙每小时走4 千米。如果甲带了一只狗与甲同时出发，狗以每小时8 千米的速度向乙跑去，遇到乙立即回头向甲跑去，遇到甲又回头向飞跑去

15、，这样二人相遇时，狗跑了多少千米？想：由题意知，狗跑的时间正好是二人的相遇时间，又知狗的速度，这样就可求出狗跑了多少千米。解： 18（ 5+4） =2（小时） 82=16（千米）随堂练习：1.甲列火车长240米，每秒行 20 米；乙列火车长 264 米，每秒行 16 米，两车相向而行，从两车头相遇到两车尾相离需要几秒？2.一列火车长600米，通过一条长1150 米的隧道，已知火车的速度是每分700 米，问火车通过隧道需要几分？3.小明从家里到学校，如果每分走50 米，则正好到上课时间；如果每分走60 米，则离上课时间还有2 分。问小明从家里到学校有多远？4. 有一周长 600 米的环形跑道，

16、甲、乙二人同时、 同地、 同向而行， 甲每分钟跑 300 米，乙每分钟跑 400 米，经过几分钟二人第一次相遇？练习 3：1. 甲乙两人同时从相距 135 千米的两地相对而行， 经过 3 小时相遇。 甲的速度是乙的 2 倍，甲乙两人每小时各行多少千米？ (30)2. 甲、乙两车同时从A、 B 两站相对开出，5 小时后甲到达中点，乙车离中点还有60 千米，已知乙车速度是2/3 甲车的，求A、B 两站的距离。(360)3. 客车由甲地到乙地需行10 小时，货车从乙地到甲地需15 小时，两车同时相向开出，相遇时客车距乙地还有 192 千米，两地的距离是多少千米？4. 甲、乙两车同时从两地相对开出，经

17、过3 小时相遇，相遇时甲车行了全程的，甲车每小时比乙车少行10千米，两地相距多少千米？第四讲工程问题顾名思义， 工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。其实， 这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：工作量 =工作效率工作时间，工作时间 =工作量工作效率，工作效率 =工作量工作时间。工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数 1 表示，也可工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。第4页工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量

18、/ 天”，或“工作量/ 时”等。但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。例 1 单独干某项工程，甲队需100 天完成，乙队需150 天完成。甲、乙两队合干50 天后，剩下的工程乙队干还需多少天？分析与解： 以全部工程量为单位1。甲队单独干需100 天，甲的工作效例 2 某项工程，甲单独做需36 天完成，乙单独做需45 天完成。如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了18 天才完成任务。问：甲队干了多少天？分析： 将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干18 天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天？”这样一来，问题就简单多了。答：甲队干了12 天。例 3 单独完成某工

19、程，甲队需10 天，乙队需15 天，丙队需20 天。开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6 天完成这一工程。问：甲队实际工作了几天？分析与解： 乙、丙两队自始至终工作了 6 天，去掉乙、丙两队 6 天的工作量，剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作了随堂练习1.甲乙两根进水管，单开甲管10 小时注满水池，单开乙管15 小时注满水池，若两管齐开，几小时可注满水池？2.甲乙两根水管，单开甲进水管10 小时可把水池注满，单开乙出水管15 小时可把满池水放完，若两管齐开，几小时可注满水池？3.甲、乙两队共同修一条长60 千米的路，甲队单独修 20 天可完工，乙队单独修 15 天可完工，

20、两队共同修几天完工？4.一批零件，师傅独做要小时，徒弟独做需小时，这批零件共几个？师傅和徒弟一小时共做180 个。师傅每小时比徒弟多做180 个。若师傅先做 2 小时后因事离开，徒弟接着做4 小时，师傅比徒弟少做180 个。5. 连一连第5页练习 41. 某工程甲单独干 10 天完成，乙单独干 15 天完成，他们合干多少天才可完成工程的一半？2. 某工程甲队单独做需 48 天，乙队单独做需 36 天。甲队先干了 6 天后转交给乙队干，后来甲队重新回来与乙队一起干了 10 天，将工程做完。求乙队在中间单独工作的天数。3. 一条水渠，甲、乙两队合挖需 30 天完工。现在合挖 12 天后，剩下的乙队

21、单独又挖了 24 天挖完。这条水渠由甲队单独挖需多少天？则完成任务时乙比甲多植50 棵。这批树共有多少棵？5. 修一段公路，甲队独做要用40 天，乙队独做要用24 天。现在两队同时从两端开工，结果在距中点750 米处相遇。这段公路长多少米？6. 蓄水池有甲、乙两个进水管，单开甲管需 18 时注满，单开乙管需 24 时注满。如果要求 12 时注满水池，那么甲、乙两管至少要合开多长时间？7. 两列火车从甲、乙两地相向而行，慢车从甲地到乙地需 8 时，比快车从40 千米。求甲、乙两地的距离。答案与提示练习 11.20 天。解： 5 20 -5=20 （天）。2.600 人。解： 156 (1-20

22、) (1+30 ) 25=600（人）。3. 第一、二、三块依次为25，20 和 24 公顷。解：第一块地的面积为69 1+80 +80 (1+20 )=25 （公顷），第二块地为25 80=20（公顷），第三块地为69-25=24 （公顷）。5.20 。解：设酒精含量为30的酒精溶液有100 克，则溶质为30 克。稀释成酒精含量为24的酒精溶液需加水3024 -100=25 （克）。若再加入25 克水，则酒精含量变为30 (100+25+25)=20 。6.分析与解： 不管是亏 25，还是盈利25，单位“ 1”都是这件商品的成本。所以要先求这件商品的成本。18 元亏 25，说明18 元比成本少25，即是成本的（1 - 25）。盈利 25，说明盈利的是原来成本的 25，实际售价是原来成本的（1 + 25 ）。解答： 设原来成本是元。 - 25 = 180.75 = 18第6页 = 2424 （1+25 ） =30 （元）点评： 通常情况下，商品的盈利和亏损都是以成本作单位“1”的。解答这道题目的关键是确定好单位“1”，这也是解百分数应用题时最重要的。答案与提示练习222. 长 100 厘米，宽 75 厘米，高 60 厘米。解：长宽高=20 15 12，450000 (20 15 12)=125=5 3。长 =20 5=100