初中圆知识点总结与练习

1、圆一圆的认识知识点晴1圆的定义（1）在一个平面内，线段OA 绕它的一个端点O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫做圆。固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径，如右图所示。（2）圆可以看作是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，定点为圆心，定长为圆的半径。说明：圆的位置由圆心确定，圆的大小由半径确定，半径相等的两个圆为等圆。2圆的有关概念（ 1）弦：连结圆上任意两点的线段。 （如右图中的 CD）。（ 2）直径：经过圆心的弦（如右图中的 AB）。直径等于半径的 2 倍。A（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧。（如右图中的 ?CD、CAD ）C?其中大于半圆的弧叫做优弧，如C

2、AD ，小rOAOBD于半圆的弧叫做劣弧。（4）圆心角：如右图中COD 就是圆心角。3与圆相关的角（1）与圆相关的角的定义圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角圆周角：顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角。弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一连轴和圆相切的角叫做弦切角。（ 2）与圆相关的角的性质圆心角的度数等于它所对的弦的度数；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（或直径）所对的圆周角相等；弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角；两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。4圆心角、弧、弦、弦心距

3、之间的关系。（ 1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等。（ 2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等1例题精讲【例 1】 下面四个命题中正确的一个是（）A 过弦的中点的直线平分弦所对的弧B过弦的中点的直线必过圆心C弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D弦的垂线平分弦所对的弧【答案】C二与圆有关的位置知识点晴1点与圆的位置关系如果圆的半径为r ，某一点到圆心的距离为d，那么：（ 1）点在圆外 ? d r（ 2）点在圆上 ? d r（ 3）点在圆内 ? d r2直线和圆的位

4、置关系设 r 为圆的半径， d 为圆心到直线的距离（ 1）直线和圆相离?dr ，直线与圆没有交点；（ 2）直线和圆相切?dr ，直线与圆有唯一交点；（ 3）直线和圆相交?dr ，直线与圆有两个交点。3两圆的位置关系设 R、 r 为两圆的半径，d 为圆心距（ 1）两圆外离?dR + r ；（ 2）两圆外切?dR + r ；（ 3）两圆相交 ? R r d r )；（ 5）两圆内含?dR- r (R r ) 。（注意：如果为 d = 0 ，则两圆为同心圆。 ）4. 切线的性质与判定定理（ 1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即： MN

5、OA 且 MN 过半径 OA 外端MN 是 O的切线O（ 2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。MAN2推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。5. 切线长定理从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即： PA 、 PB 是的两条切线 PA PBPO 平分BPABOPA例题精讲【例 2】 已知 O 的半径为 1，点 P 到圆心 O 的距离为d，若关于x 的方程 x2 2x d=0 有实根，则点P()A 在 O 的内部B 在 O 的外部C在 O 上D 在 O 上或 O 的内部【答案】D【例 3】 已知：

6、如图， PA，PB 分别与 O 相切于 A，B 两点求证： OP 垂直平分线段AB【答案】略【例 4】 已知：如图， PA 切 O 于 A 点， PO AC， BC 是 O 的直径请问：直线PB 是否与 O 相切 ?说明你的理由【答案 】直线 PB 与 O 相切提示：连结OA，证PAO PBO3【例 5】已知：如图， O1 与 O2 外切于 A 点，直线 l 与 O1、 O2 分别切于 B，C 点，若 O1 的半径 r 1=2cm ， O2 的半径 r 2=3cm 求 BC 的长【答案 】2 6cm提示：分别连结 O11 22B，O O ，O C【例 6】如图，点 A， B 在直线 MN 上，

7、 AB=11cm ， A， B 的半径均为1cm A 以每秒2cm 的速度自左向右运动，与此同时，B 的半径也不断增大，其半径r(cm)与时间t(s)之间的关系式为r =1 t(t 0)(1) 试写出点 A，B 之间的距离 d(cm)与时间 t(s)之间的函数表达式；(2) 问点 A 出发多少秒时两圆相切 ?【答案 】 (1)当 0t 5.5 时， d 11 2t；当 t5.5 时， d 2t 11(2) 第一次外切， t3；第一次内切， t 11; 3第二次内切，t 11；第二次外切，t 13三垂径定理及推论知识点晴垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1：（ 1）平分弦（不

8、是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（ 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；AOECDB推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。CDOAB4即：在 O 中， AB CD弧 AC弧BD例题精讲【例 7】在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为 16cm，那么油面宽度 AB 是 _cm.【答案 】 4 159【例 8】如图， F 是以 O 为圆心， BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点， AD BC于 D ，求证： AD= 1 BF.2FAEB DOC【答案 】提示：连接OF，证明 VADO ,VFOE ,VBOE是全等三角形。

9、四圆周角定理知识点晴1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：AOB 和ACB 是弧 AB 所对的圆心角和圆周角 AOB 2 ACB2、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；CBOADCBO同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；A即：在 O 中，C 、D 都是所对的圆周角CD5推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在 O 中， AB 是直径或C90 C 90 AB 是直径推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在 ABC 中， OCOAOB ABC 是直角三角形或

10、C90例题精讲CBAOCBAO【例 9】已知：如图， AB 是 O 的直径，弦CD AB 于 E， ACD =30， AE=2cm 求 DB【答案 】 43cm.【例 10】已知：如图，O 的直径 AE=10cm ， B= EAC 求 AC 的长【答案 】提示：连结CE不难得出AC52cm.五与圆有关的计算6知识点晴1 圆周长： c = 2p R2 弧长： l = np R ；1803 圆面积： S = p R2 ；4 扇形面积： S扇形1np R2lR =；2360例题精讲【例 11】如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB， AC 夹角为 120， AB 的长为 30cm，贴纸部分BD 的

11、长为 20cm，则贴纸部分的面积为()24002A 100 cmB cm328002C 800 cmD cm3【答案】D【例 12】已知：如图，以线段AB 为直径作半圆O1，以线段AO 1 为直径作半圆O2，半径O1C 交半圆 O2 于 D 点试比较与的长【答案 】的长等于的长提示：连结O2D六圆幂定理7知识点晴1. 相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在 O 中，弦 AB 、 CD 相交于点 P ，DB O PPA PB PC PDAC推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。C即：在 O 中，直径 ABCD ，BO EA CE2AE

12、 BED2. 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。A即：在 O 中， PA 是切线， PB 是割线DE PA2PC PBPOCB3. 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图） 。即：在 O 中， PB 、 PE 是割线PC PB PD PE例题精讲【例 13】如图， P 是O外一点， PC切O 于点 C，PAB是O 的割线，交O 于 A、B 两点，如果 PA： PB 1： 4， PC 12cm，O 的半径为 10cm，则圆心 O到 AB的距离是 _【答案】98七正多边形与圆知识点晴1. 正

13、三角形在 O 中 ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD 中进行： OD : BD : OB1: 3:2；COBAD2. 正四边形同理，四边形的有关计算在Rt OAE 中进行， OE : AE : OA1:1:2 ：BCOAED3. 正六边形同理，六边形的有关计算在RtOAB 中进行， AB : OB :OA1:3 : 2 .OBA例题精讲【例13】已知正多边形的边长为a 与外接圆半径 R 之间满足 1a2 ，则这个多边形是R（）A.正三边形B. 正四边形C. 正五边形D. 正六边形【答案】C提示：正多边形的边数越多，则边长越小，而有Ra2R因为 a6R ， a42R ，所以 a6aa49

14、则 a6a5a4 ，是正五边形，应选C。八课后练习题【例 1】若 P 为半径长是6cm 的 O 内一点， OP 2cm，则过 P 点的最短的弦长为()A 12cmB 2 2cmC 4 2cmD 8 2cm【答案】D【例 2】若 O 的半径长是4cm，圆外一点A 与 O 上各点的最远距离是12cm，则自 A 点所引 O 的切线长为 ()A 16cmB 43cmC 42cmD 46cm【答案】B【例 3】 O 中， AOB 100，若 C 是上一点，则ACB 等于 ()A 80B 100C 120D 130【答案】A【例 4】三角形的外心是()A 三条中线的交点B 三个内角的角平分线的交点C三条边

15、的垂直平分线的交点D 三条高的交点【答案】C【例 5】如图， A 是半径为2 的 O 外的一点， OA 4，AB 是 O 的切线，点B 是切点，弦BC OA，则的长为 ()7 题图A 2 B 3C D 8 32 33【答案】A【例 6】如图，图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A 点到 B 点，甲虫沿，路线爬行，乙虫沿路线爬行，10则下列结论正确的是()8 题图A 甲先到 B 点B乙先到B 点C甲、乙同时到B 点D 无法确定【答案】C【例 7】如图，同心圆半径分别为2 和 1， AOB 120，则阴影部分的面积为()9 题图A B 4 C 2D 43【答案】C【例

16、 8】如图，在 O 中，AB 为 O 的直径， 弦 CD AB， AOC 60，则 B _【答案 】 30【例 9】如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕 AB 的长为_【答案 】 23cm.【例 10】已知：如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB 切小圆于C 点， AB 12cm11求两个圆之间的圆环面积【答案 】 36 cm2提示：连接OC,OA.【例 11】如图，在桌面上有半径为2 cm 的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少？【答案 】设三个圆的圆心为O123122 33 1、O 、 O，连结 OO、OO、OO，可得边长为4 cm 的正 O1O2O3，则正 O1O2O3 外接圆的4343436半径为cm，所以大圆的半径为3+2=33【例 12】如图，在 ABC 中， C=90，以BC 上一点O 为圆心，以