一道三角题的发散思维

1、一道三角题的发散思维王海燕题：求证：在厶ABC中 COSAcosB cosC分析1 ：这是一道常见题，会想到应用余弦定理，把角转化为边进行证明。在厶ABC中所以 cosA cosB cosCb22bca2 c2 b2 a2 b2 c22ab2acb22C2a22bc2.2acb22ac.22abCcosA cosB cosC2ab三角形中边的大小矢系有：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。应用这个尖系之前需作一点变换，即将分子、分母同乘以2,并通分，再拆、并项，整理得22ab222ac22a3 2ba2 2bc232232b3 2ca2 2cb2 2c36abc原式4abc4abc4abc

2、4abca(b? 2bc c a(b? a a(c? a4abcb( 2ac c b(a2 b b(c? b4abc222 22 2 c(a 2 be b 丿 c(a c 丿 c(b c 丿 a(b c)2 b(c2b2) c(b2 2C)a(b2 a：a(c2a2 )b(ac)2c(a2c2) 4abc(b c)2(ab c)(ab)2(ca b) (a c)2(b4abc222 b(a2 b2) c(a b)2a c) 4abc03所以 cosA cosBcosC2分析2 :应用诱导公式、和差化积公式、二倍角公式、均值不等式、方程思想等。cosAcos BcosCcosAcosBcos(A

3、 B)c ABABc2 AB9 ecuc9 ecu222c ABABAB、2 ecuCOA222,.ABc4 naim aia121 22在厶ABC中11因此，只要证明si nA siWnB- 222 iA 观察 cosA、 cosB，cosC 与 wsin，*2 .B sin ，2csin ，可应用二倍角公式转化。2cosA cos B cosCARqC12 ai12 in2 1 9in2 22232 A.2 B.2c2(sin2Ain - ain2J2i2 ApRQ 9Qin-Qin -Qin -V2 22沁ABCt sinsinsin (t0)22 22再结合U) 式，得4t13 6t3

4、2 1 1即 2t 3t31 (t31)2& 11 1所以2t30，即t8払A.B C1故 sin sin sin2 2 2 81 所以 cosA cosB cosC 41分析3:应用一元二次函数和三角函数求最值的方法，比上面的解法简单很多。8在厶ABC中cosA cos B cosC cosAcosB cosA22一 A 夕(cce112R A RQca2B1A当2A Rme2coa2 22A .B3ecu22B 1 A2(A B)2 A2A B2 ,2 12R11 2 AB2 2即A = B = C= 60时取等号。分析4:应用向量内积的定义和单位向量的性质来证明。 在厶ABC中，设|AB

5、|eBCCAei .e2 ，e3|AB|BC|CA|AB ACABCAcosA e1 e3|AB|AC|AB|CA|同理可得cosB，cosCe2 e3cosC所以 cosA cosB由单位向量ei, e2,e3的性质及ei e2 5e2es,e3所以2(cosAcosB cos (C)32ei (?3 2ei e22e2e33(ei22ej egeg2)(ei22ei2222e2)(22e2 e3eg )222_eie2e3 Qe3)e2Ge2)22e3222e3)ej 】Qe3e2 Xeje3e2)Ge2e3 )(eje?e3)(ee3(e2e(83町2e2 e3)03所以cosAcosB cosC2这道题从四个不同方面出发从四个思路证明，其中用到了不少的定理、公式，渗透了重要的数学思想方法。所以同学们在平时解题时要考虑一题能否多解，这样可不断提高自己 的解题能力，培养思维的灵活性，做到举一反三。年级高中学科数学版本期数内容标题一道二角题的发散思维分类索引号G.622.475分类索引描述统