高等数学2第十一章答案(修)

1、习题11-1对弧长的曲线积分1.计算下列对弧长的曲线积分:(1)?l(x2 y2)nds,其中 L 为圆周 x acost， y asint (0 t 2 )；(azcos 2 f + a%in z O1*/(asin i)2 + (acos f)2dz 0云E di = 2m 时 I J(2)?xds，其中L为由直线y x及抛物线y x2所围成的区域的整个边界;L由厶和匚两段组成，其中L.i L. ： y(0rfcdx h72xdx+ -/TdPii2 dLzJoJo= i5A + 6y2-lX(3) ? e，x y ds，其中L为圆周x2 y2 a2，直线yx及x轴在第一象限内所围成的扇形

2、的整个边界;L由线段OA： j = 0(0xfiflra= Odi + I Odf + 2tdt = 9,J (IJ QJ Q(5)l y2ds，其中 L 为摆线的一拱 x a(t si nt), y a(1 cost) (0 t 2 ).出僚+侥)5/th=(1 - cos Oa -F)cos a 4-Q(xi)cos /3jds(2)沿抛物线yx2从点(0,0)到点(1,1)；L由如下的参数方捏给岀：工二龙护山从0变到X故L的切向蛍 的方向余弦为COS CT = 一 1 cos 8 =P(x,y)dz4-Q(jy)djr 二于是1+严工)丿1 + 4工 poa十勿绘5丫)击(3)沿上半圆周

3、x2 y2 2x从点(0,0)到点(1,1).l由如下的参数方程给出:工=工寸丈从o变到1，故l的切 向量的方向余弦为1 J/2j7 J7ZyTTTOy 頁于是i尸(工*)血 +旳=V2工二d P(x,) + (1 x)Q(Xty)dj*4.设 为曲线x t , y t2, z t3上相应于t从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分l Pdx Qdy Rdz化成对弧长的曲线积分。解令=】康=氏魯=防=妙注意到参数上由小变到大购此厂的 切向鱼的方向余弦为：x (i)_Icos & =, .7卄=,.,;/珂+2/气“+*(册/ + 2 + 収-宀y()_2工尸 j尹心/1T47T&7/Cf)3co

4、s y =_ _-二”=,z .yy2(；)+y2(；)+/(； yi+44-0? P + 2jQ + 3_dPdx4-QdKdJrAT_习题11-3格林公式及其应用从而A=zdy ydx12331.利用曲线积分，求星形线 x a cos t， y asin t所围成的图形的面积。正向星形线的参数方程中的参数匕从0变到2k,因此2 k.Qacos 3 i(3asin 2 /cos ) asin 3/(3acos 2 t)( sin t)dr 0sin 3 cos z rdz=瞥L( cos * r&in 2; + sin 4 fcos2 /) dt2. 计算曲线积分？竺厂缪，其中L为圆周(x

5、1)2 y2 2 , L的方向为逆时针方向。 L2(x y )解 在L所圉的区域内的点(0,0)处，函数 P=rsin t(,t 从0变到加)位于L所围的区域内，则往由JL和 厂所圈成的同连通区域D上(图11-6),可应用格 林公式，在D上，3Q =兰二寸=apdjc 23 +/) 一于是由格林公式得團 11-6从而:ydcJtrdvl 2( +y ydz 一 jdyZX+b)(2,1) 4 2 3 3.证明曲线积分(2xy y 3)dx (x2 4xy3)dy在整个xOy面内与路径无关，并计(1,0)算积分值。函数P=2xyy + 3Q=j? 4在工Qy面这个单连通域内具有一阶连续偏导数，且

6、 4V1 =dX故曲线积分在垃y面内与路径无关取折线积分路径MRN,其中A4为 为(2)*N为(2*1),则原式=J3dx +J/4 )旳=咅 +2 = 5*4.利用格林公式，计算下列曲线积分:(1) ? (2x y 4)dx (5y 3x 6)dy，其中 L 为三顶点分别为(0,0)、(3,0)和(3,2)的三角形正向边界；设D为L所围的三角形闭区域，则由格林公式，与 丁 + 4)血 + (刃 + Xr =(豊一雾)dxtly=jj3 C l)drd =订 drdy = 4 X (D 的面积)=4 X 3 = 12.DD(2) 卫2 y)dx (x sin2 y)dy, 其中L是在圆周y 2

7、x x2上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧。由于应一卅Qh-Q+sin 2 $)在xOy面内具有一阶连续偏导数，且薯=故所给曲线积分与路径无关.于是将原积分路径L取为折线 路径ORN*其中 O为(D.O)tR为(ia)图 11 一8),得5.验证下列P(x, y)dx Q(x, y)dy在整个xOy平面内是某一函数 u(x, y)的全微分，并求这 样的一个u(x, y):(1) 2xydx x dy ；在整个My面内，函数Py和Q = 2具有一阶连续偏导数，且故所给表达式是某一函数的全微分.取伽以)=(0,0),则有讥工曲)=2rc * OdLcH- jdy =护yJ 0J 的全微分.取(

8、如,) = (0#0.则有 u(x, jj) =J 2xdj? + J (Ssin jc sin=* 吕in x + cos yr注 在已经证明了所给表达式PGr)dT十QGrQ)iy是某一函数讥工小 的全微分后；为了求讥工心人除了采用上面题解中的曲线积分方法外，还可用 以下蘭种方祛；方法二(偏积分袪)因函数满足导=血GOg + bcOS 工,AruCxy J C2ji：xjs y + y3 T)dr=t2 cos y + yJsin jc + 巒， 其中炭刃是y的某个可导函数,由此得竽 =#sin y d-2j；sin 工 +护(y毙=Q(工,y= x jJsin从而得/(jf)=O(jr)

9、 = C(C为任意常数h因此址(工，y) = Jt3cos jr + ysin j + Ct取C=0T就得到满足要欢的一个址QqL 方法三 利用微分运算法则直接凑出捉Qq).原式=(2cos ydx jc2 sin .ydj?) + (.y2 cos 工dz + 2ysin 工4y) = (cos ydx2 dcos + (j2dsin 工 + sin xdj2) = d(x2 cos j*) + d(y sin x) dtcos jr-i-j/sin jc).因此可取 u(xty)=jc2cos j+ysin 工*26计算)dx(x24y )dy,其中L为由点0 0,0到点B 1,1的曲线弧

10、x sin -22严x2x原积分与路径无关,A 1,0故原式x2r OA AB1 2x dx02xydxx2y4 dydy空15习题11-4对面积的曲面积分1.计算曲面积分3zdS，其中为抛物面z 2 (x2 y2)在xOy面上方的部分。解 抛物面龙与Q 面的交线为护故E在工6面上的投影区域 dS = J + 必 + 辺 cLrHy =丿 1 十 4工十 4丿dzdy于是，3zdS= 3 2(x2y2)、14 x2y2 dxdy2- 23 d 2 oo132xy93166223166111102.计算(x2 y2)dS，其中 是锥面z2 3(x22y )被平面z 0和z 3所截得的部分。由题设

11、的方程为dS =丿1 + 務 ir 旳=71+3(J+)+3J+/) =又由分=3(护+*)利心 消去至得故衽炯 面上的投影区域 D孕为丢3于是j& +)dS= JJ X + b八2血dy极坐掾:叫:孑 说 =W巴也003. 计算下列对面积的曲面积分：4x y z(1) (z 2x y)dS，其中 为平面1在第一卦限中的部分；32 3 4在迓上，z = 4 一肚一話在初面上的投影区域“为由丈 轴辺轴和直线专+ f = l所围成的三角形闭区域因此口(皐 +2工 + 专=jj (4 _ 氐一务)+Jl +尸 + (寺=J 4 dxdy =且斜(為的面积)%欝.(*.2.3)6质(2)(x y z)

12、dS，其中 为球面x2 y2 z2 a2上z h (0 h a)的部分;柱送上小 =J走一 P孑.2在畑面上的投影区域D* = Gr,农，一卅.由于积分曲面$关于丫6面和迅:面均对称，故有JprdS = 0 JJvdS = 6于是Q + y + w)(iS = JzdS=ajj dxdy = un(az hn -: 一殆* 一引*1) -(1! ltl)*.J14.求抛物面壳z -(x2 y2) (0 z 1)的质量，此壳的面密度为口4- 3) i/l 4-X2 + y drdy解 恥 =-|aa + y)foz n在幼 面上的投影区域 !(Hy) I护+b E 代 N=卡 RJ； (sinJ

13、 t - sinT i)di= 2Lrt .住 *2_辛 2.2 43753(2)f(x, y,z) xdydz 2f(x, y,z) ydzdx f(x, y,z) zdxdy，其中 f (x, y,z)在2hz = l-z+y,由于龙取上斟故在 任一点处的单位法向虽为1为连续函数，是平面x y z 1在第四卦限部分的上侧; 即一宀临=鼬 盘2的面积)=壽哼=去2.把对坐标的曲面积分P(x, y, z)dydz Q(x, y, z)dzdx R(x, y, z)dxdy化成对面积的曲面积分，其中(1) 是平面3x 2y 2.3z 6在第一卦限的部分的上侧；解 由于2：+取上侧做乞在任一点处的

14、单位法向量为fl= (cos fftcos /3,cos 7) =彩苗V32+2-F(2#)sPdydr 十 QTjeHj: + J?dzdjr(Pcos a + Qcos /3 + J?ros y)dS胡待F +寻Q +唤)d(2)是抛物面z 8 (x y )在xOy面上方的部分的上侧;ds H- Qdidx +Rdxdj = J/I 4- (2x + (- 2y)s +z)dvnJJUJ o J o Ja2=6 a a y 3a(2)O xdydz ydzdx zdxdy,其中 是界于z 0和z 3之间的圆柱体 x2 y 9的整个表面的外侧;(1 +1 +1) d v = 3dv a=3*

15、32*3 = 81 仏2(3)4xzdydz y dzdx yzdxdy,其中 为平面 xz 1所围成的立方体的全表面的外侧；原式=P(薯罐+警M=如+ 昴=f dz (2 y)dy =寻.Jo J 0Z2.计算曲面积分I z 2x dydz zdxdy,其中是曲面z x2y2 0z 1的外解添加平面1 x2y21，取上侧,1构成封闭，应用高斯公式地习题11-71 dv dxdyDxy1rdro1,dz斯托克斯公式1.利用斯托克公式，计算下列曲线积分:(1) ? ydx zdy xdz,其中 为圆周 x2z2z 0，若从x轴的正向看去，这圆周是取逆时针方向;解 取M为平面工+y + # = 0

16、的上侧被所围战的部分，则3的面积 为吨的单位法向蚩为(图 11-12),n = (cos a, cos p, cos /)=由斯托克斯公式,-r zy + xdz= JJ若从z轴正向看去,(2) ? 3ydx xzdy yz2dz，其中为圆周 x2 y2这圆周是取逆时针方向;(3) 取卫为平面z = Z的上侧披厂所围成的部分则3的单位法向最为 =(00,1)在松 面上的投影区域 必为F +亍于是由斯托克斯公式001r3jjdr _ J3：dy + yz2dz = JdS_3_3_3_tiySt3y jczyz2=-JCz + 3)dS =F (2 + 3)血旳=-5-$D寸=20tt*(3)

17、? 2ydx 3xdy z2dz ,其中 为圆周x2 y2 z2 9 , z 0 ,若从z轴正向看去,这圆周是取逆时针方向;F即为辺y面上的圆周护=9,取艺为圆域 + :詁7血= arcun 畚 * Rarcsin=/ cos 叮沪 + azJ cos tdtffi 11-14H=narctan 臣又由于被积函数关于j是偶函数，积分曲面目和爲关于zOx面对称”故J #+爭+” =f p+y+7 二如迓良由此得(2) (y2 z)dydz (z2 x)dzdx (x2 y)dxdy，其中 为锥面 z 、.y2(0 z h)的外侧； 添加辅助曲面3=左+bw/,取上侧，则在由工和為所包围的空间闭匮域q上应用高斯公式得(yliJdjrdz + x) dzdr + (xe y dxdj% =（工*） W+b W 胪hJ 3 y）dxdy =寺W +0dxdy其中在计算U心W血d*时，由对称性易知JJyelr旳=o又护djxb =从而得原式=手肚4(3)xdydz ydzdx zdxdy, 其中为半球面z, R2 x2 y2上侧; 添加辅肋曲面=