算法设计与分析习题答案16章

1、习题1图1.7 七桥问题北区东区岛区南区1. 图论诞生于七桥问题。出生于瑞士的伟大数学家欧拉（leonhard euler，17071783）提出并解决了该问题。七桥问题是这样描述的：一个人是否能在一次步行中穿越哥尼斯堡（现在叫加里宁格勒，在波罗的海南岸）城中全部的七座桥后回到起点，且每座桥只经过一次，图1.7是这条河以及河上的两个岛和七座桥的草图。请将该问题的数据模型抽象出来，并判断此问题是否有解。 七桥问题属于一笔画问题。 输入：一个起点输出：相同的点1， 一次步行2， 经过七座桥，且每次只经历过一次3， 回到起点该问题无解：能一笔画的图形只有两类：一类是所有的点都是偶点。另一类是只有二个

2、奇点的图形。2在欧几里德提出的欧几里德算法中（即最初的欧几里德算法）用的不是除法而是减法。请用伪代码描述这个版本的欧几里德算法1.r=m-n2.循环直到r=02.1m=n2.2n=r2.3r=m-n3输出m 3设计算法求数组中相差最小的两个元素（称为最接近数）的差。要求分别给出伪代码和c+描述。/采用分治法/对数组先进行快速排序/在依次比较相邻的差#include using namespace std;int partions(int b,int low,int high)int prvotkey=blow;b0=blow;while (lowhigh) while (low=prvotke

3、y) -high; blow=bhigh; while (lowhigh&blow=prvotkey) +low; bhigh=blow;blow=b0;return low;void qsort(int l,int low,int high)int prvotloc;if(lowhigh) prvotloc=partions(l,low,high); /将第一次排序的结果作为枢轴 qsort(l,low,prvotloc-1); /递归调用排序 由low 到prvotloc-1 qsort(l,prvotloc+1,high); /递归调用排序 由 prvotloc+1到 highvoid

4、quicksort(int l,int n)qsort(l,1,n); /第一个作为枢轴 ，从第一个排到第n个int main()int a11=0,2,32,43,23,45,36,57,14,27,39;int value=0;/将最小差的值赋值给valuefor (int b=1;b11;b+)coutab ;coutendl;quicksort(a,11);for(int i=0;i!=9;+i) if( (ai+1-ai)=(ai+2-ai+1) ) value=ai+1-ai; else value=ai+2-ai+1;coutvalueendl;return 0;4 设数组an中

5、的元素均不相等，设计算法找出an中一个既不是最大也不是最小的元素，并说明最坏情况下的比较次数。要求分别给出伪代码和c+描述。#includeusing namespace std; int main() int a=1,2,3,6,4,9,0; int mid_value=0;/将“既不是最大也不是最小的元素”的值赋值给它 for(int i=0;i!=4;+i) if(ai+1ai&ai+1ai+2) mid_value=ai+1; coutmid_valueendl;break;else if(ai+1ai+2) mid_value=ai+1;coutmid_valueendl;break

6、; /for return 0;5. 编写程序，求n至少为多大时，n个“1”组成的整数能被2013整除。#includeusing namespace std;int main() double value=0; for(int n=1;n=10000 ;+n) value=value*10+1; if(value%2013=0) coutn至少为:nendl; break; /for return 0;6. 计算值的问题能精确求解吗？编写程序，求解满足给定精度要求的值#include using namespace std;int main () double a,b; double arc

7、tan(double x);/声明a = 16.0*arctan(1/5.0); b = 4.0*arctan(1/239); cout pi= a-b 1e-15)/定义精度范围 f = e/i;/f是每次r需要叠加的方程 r = (i%4=1)?r+f:r-f; e = e*sqr;/e每次乘于x的平方 i+=2;/i每次加2 /while return r;7. 圣经上说：神6天创造天地万有，第7日安歇。为什么是6天呢？任何一个自然数的因数中都有1和它本身，所有小于它本身的因数称为这个数的真因数，如果一个自然数的真因数之和等于它本身，这个自然数称为完美数。例如，6=1+2+3，因此6是完

8、美数。神6天创造世界，暗示着该创造是完美的。设计算法，判断给定的自然数是否是完美数#includeusing namespace std;int main() int value, k=1; cinvalue; for (int i = 2;i!=value;+i) while (value % i = 0 ) k+=i;/k为该自然数所有因子之和 value = value/ i;/for if(k=value) cout该自然数是完美数endl; else cout该自然数不是完美数endl;return 0;8. 有4个人打算过桥，这个桥每次最多只能有两个人同时通过。他们都在桥的某一端，

9、并且是在晚上，过桥需要一只手电筒，而他们只有一只手电筒。这就意味着两个人过桥后必须有一个人将手电筒带回来。每个人走路的速度是不同的：甲过桥要用1分钟，乙过桥要用2分钟，丙过桥要用5分钟，丁过桥要用10分钟，显然，两个人走路的速度等于其中较慢那个人的速度，问题是他们全部过桥最少要用多长时间？由于甲过桥时间最短，那么每次传递手电的工作应有甲完成甲每次分别带着乙丙丁过桥例如：第一趟：甲，乙过桥且甲回来第二趟：甲，丙过桥且甲回来第一趟：甲，丁过桥一共用时19小时9欧几里德游戏：开始的时候，白板上有两个不相等的正整数，两个玩家交替行动，每次行动时，当前玩家都必须在白板上写出任意两个已经出现在板上的数字的

10、差，而且这个数字必须是新的，也就是说，和白板上的任何一个已有的数字都不相同，当一方再也写不出新数字时，他就输了。请问，你是选择先行动还是后行动？为什么？设最初两个数较大的为a, 较小的为b，两个数的最大公约数为factor。则最终能出现的数包括: factor, factor*2, factor*3, ., factor*(a/factor)=a. 一共a/factor个。如果a/factor 是奇数，就选择先行动；否则就后行动。习题21如果t1(n)=o(f (n)，t2(n)=o(g(n)，解答下列问题：（1）证明加法定理：t1(n)t2(n)=maxo(f (n), o(g(n)；（2）

11、证明乘法定理：t1(n)t2(n)=o(f (n)o(g(n)；（3）举例说明在什么情况下应用加法定理和乘法定理。,（1）（2）（3）比如在 for（f(n)）for(g(n)中应该用乘法定理如果在“讲两个数组合并成一个数组时”，应当用加法定理（1）int stery(int n) int s = 0; for (int i = 1; i = n; i+) s = s + i * i; return s;（2）int q(int n) if (n = 1) return 1; else return q(n-1) + 2 * n - 1;2考虑下面的算法，回答下列问题：算法完成什么功能？算法的

12、基本语句是什么？基本语句执行了多少次？算法的时间复杂性是多少？（1） 完成的是1-n的平方和基本语句：s+=i*i，执行了n次时间复杂度o（n）（2） （2）完成的是n的平方基本语句：return q(n-1) + 2 * n 1，执行了n次时间复杂度o（n）3. 分析以下程序段中基本语句的执行次数是多少，要求列出计算公式。（1）for (i = 1; i = n; i+)if (2*i = n) for (j = 2*i; j = n; j+) y = y + i * j；（2）m = 0;for (i = 1; i = n; i+) for (j = 1; j = 2*i; j+) m=m

13、+1; （1） 基本语句2*i1)return 3*t(n-1);(2)int t(int n) if(n=1)return 1;else if(n1)return 2*t(n/3)+n;5. 求下列问题的平凡下界，并指出其下界是否紧密。（1）求数组中的最大元素； （2）判断邻接矩阵表示的无向图是不是完全图；（3）确定数组中的元素是否都是惟一的；（4）生成一个具有n个元素集合的所有子集(1) (n) 紧密？(2) (n*n)(3) (logn+n)（先进行快排，然后进行比较查找）(4) (2n)7画出在三个数a, b, c中求中值问题的判定树。ababc是是是否否否acbcbacbccbabc

14、aaccabacb否否是是8国际象棋是很久以前由一个印度人shashi发明的，当他把该发明献给国王时，国王很高兴，就许诺可以给这个发明人任何他想要的奖赏。shashi要求以这种方式给他一些粮食：棋盘的第1个方格内只放1粒麦粒，第2格2粒，第3格4粒，第4格8粒，以此类推，直到64个方格全部放满。这个奖赏的最终结果会是什么样呢？#includeusing namespace std;int main() long double result=1; double j=1; for(int i=1;i=64;+i) j=j*2; result+=j; j+; coutresultendl; retu

15、rn 0;习题31 假设在文本ababcabccabccacbab中查找模式abccac，写出分别采用bf算法和kmp算法的串匹配过/bf算法#includeusing namespace std;int bf(char s, char t) int index = 0; int i = 0, j = 0; while (si != 0) & (tj != 0) if (si = tj) i+; j+; else +index; i = index; j = 0; if (tj = 0) return index + 1; else return 0;int main()char s119=a

16、babcabccabccacbab;char s27=abccac; cout bf( s1, s2) endl;return 0;/kmp算法#includeusing namespace std;void getnext(char t , int next ) /求模式t的next值int i, j, len;next0 = -1; for (j = 1; tj!=0; j+) /依次求nextjfor (len = j - 1; len = 1; len-) /相等子串的最大长度为j-1 for (i = 0; i len; i+) /依次比较t0tlen-1与tj-lentj-1 if

17、 (ti != tj-len+i) break; if (i = len) nextj = len; break;/forif (len 1) nextj = 0; /其他情况，无相等子串/forint kmp(char s , char t ) /求t在s中的序号int i = 0, j = 0;int next80; /假定模式最长为80个字符 getnext(t, next); while (si != 0 & tj != 0) if (si = tj) i+; j+; else j = nextj; if (j = -1) i+; j+; if (tj = 0) return (i -

18、 strlen(t) +1); /返回本趟匹配的开始位置else return 0;int main()char s1=ababcabccabccacbab;char s2=abccac;coutkmp(s1,s2)endl; return 0; 2.分式化简。设计算法，将一个给定的真分数化简为最简分数形式。例如，将6/8化简为3/4。#includeusing namespace std;int main() int n;/分子 int m;/分母 int factor;/最大公因子 int factor1; cout输入一个真分数的分子与分母： nm; int r = m % n;/因为是

19、真分数 所以分母一定大于分子 factor1=m;factor=n;while (r != 0) factor1 =factor; factor = r; r = factor1% factor;cout输出该真分数的最简分数： (n/factor)/(m/factor)endl;return 0;3. 设计算法，判断一个大整数能否被11整除。可以通过以下方法：将该数的十进制表示从右端开始，每两位一组构成一个整数，然后将这些数相加，判断其和能否被11整除。例如，将562843748分割成5,62,84,37,48，然后判断(5+62+84+37+48)能否被11整除/将一个大整数看成一个数组/

20、数组的奇数位对应数的10倍加上数组偶数对应数的本身/验证结果能否被11整除 #includeusing namespace std;int main()int a9=5,6,2,8,4,3,7,4,8;int result=0; /result为题目要求的各位之和for(int i=0;i!=9;+i) if(i%2=0) result+=ai; /i 为偶数位时，结果加上其对应数组数的本身 else result+=ai*10; /i 为奇数位时，结果加上对应数组数的10倍 if(result%11=0)cout该整数能被11整除endl;else cout该整数不能被11整除endl;re

21、turn 0;4. 数字游戏。把数字 1,2,9这9个数字填入以下含有加、减、乘、除的四则运算式中，使得该等式成立。要求9个数字均出现一次且仅出现一次，且数字1不能出现在乘和除的一位数中（即排除运算式中一位数为1的平凡情形）。 = 05. 设计算法求解an mod m，其中a、n和m均为大于1的整数。（提示：为了避免an超出int型的表示范围，应该每做一次乘法之后对n取模）#includeusing namespace std;int square(int x) return x*x;/用递归思想int resultmod(int a, int n) if(n= 0)return 1; if(

22、n%2 = 0)return square(resultmod(a, n/2);/n为偶数的时，取n的一半防止溢出 else return a*resultmod(a, n-1);/n为奇数时，取n-1；int main() int a, n, m; cout请输入a，n, m: anm;coutendl; int result = resultmod(a, n); coutan mod m的结果为： result % mendl; return 0; 6. 设计算法，在数组rn中删除所有元素值为x的元素，要求时间复杂性为o(n)，空间复杂性为o(1)。7. 设计算法，在数组rn中删除重复的元

23、素，要求移动元素的次数较少并使剩余元素间的相对次序保持不变。#include using namespace std;void deletere(int a,int n)int b100=0;int i,k;k=0;static int j=0;for(i=0;in;i+)bai+;for(i=0;i100;i+) if(bi!=0)if(bi=2)k+;aj=i;j+;for(i=0;in-k;i+)coutaiendl;int main()int a=1,2,1,3,2,4;deletere(a,6);return 0;/在数组查找相同的元素/把其中一个相同的数值的元素位置设成一个“特殊数

24、值”/输出所求函数#includeusing namespace std;int main() int a=1,2,1,5,3,2,9,4,5,5,3,5;int i,j; for( i=0;i12;i+) for(j=0;ji;j+)if(aj=ai) ai=64787250;/设一个数组不存在的数值/for for(i=0;i12;i+)if(ai!=64787250) coutai ; coutendl; return 0;8. 设表a=a1, a2, , an，将a拆成b和c两个表，使a中值大于等于0的元素存入表b，值小于0的元素存入表c，要求表b和c不另外设置存储空间而利用表a的空间

25、。 /先对a进行快排/将大于0的元素给b，小于0的元素给c#include using namespace std;int partions(int l,int low,int high)int prvotkey=llow;l0=llow;while (lowhigh) while (low=prvotkey) -high; llow=lhigh; while (lowhigh&llow=prvotkey) +low; lhigh=llow;llow=l0;return low;void qsort(int l,int low,int high)int prvotloc;if(lowhigh)

26、 prvotloc=partions(l,low,high); /将第一次排序的结果作为枢轴 qsort(l,low,prvotloc-1); /递归调用排序 由low 到prvotloc-1 qsort(l,prvotloc+1,high); /递归调用排序 由 prvotloc+1到 highvoid quicksort(int l,int n)qsort(l,1,n); /第一个作为枢轴 ，从第一个排到第n个int main()int a11=-2,2,32,43,-23,45,36,-57,14,27,-39;quicksort(a,11);for(int i=1;i11;i+)if(

27、ai0) coutc: ai ;elsecoutb: ai ; coutendl;return 0;9. 荷兰国旗问题。要求重新排列一个由字符r, w, b（r代表红色，w代表白色，b代表兰色，这都是荷兰国旗的颜色）构成的数组，使得所有的r都排在最前面，w排在其次，b排在最后。为荷兰国旗问题设计一个算法，其时间性能是o(n)。/0代表红；1代表白；2代表蓝#include using namespace std; const int n = 20; void swap_ab ( int *p , int *q ) int tmp = *p; *p = *q; *q = tmp; void pr

28、ocess ( int a, int n ) int *p, *q; p = q = a; while ( p != a+n-1 ) /p向前遍历，直到便利完毕 if ( *(p+1) *p ) q = p+1; while ( *q *(q-1) ) swap_ab ( q, q-1 ); -q; /q指针后移 /if+p; /while int main() int an = 0, 2, 1, 2, 0, 1, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 2, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 2; /待处理的数组 cout 处理后的数组序列: endl; process ( a, n ); f

29、or (int i=0; i n; +i ) cout ai ; cout endl; return 0; 10. 设最近对问题以k维空间的形式出现，k维空间的两个点p1=(x1, x2, , xk)和p2=(y1, y2, , yk)的欧几里德距离定义为：。对k维空间的最近对问题设计蛮力算法，并分析其时间性能。11设计蛮力算法求解小规模的线性规划问题。假设约束条件为：（1）x+y4；（2）x+3y6；（3）x0且y0；使目标函数3x+5y取得极大值。#includeusing namespace std;int main() int x,y,x0,y0; int summax=0,temp=

30、0; for(x0=0;x0=4;+x0) for(y0=0;(x0+y0=4)&(x0+3*y0=summax) summax=temp; x=x0;/符合sum最大值的x y=y0;/符合sum最大值得y /for coutx= x y= y summax= summax0的元素进行判断 1.1 循环变量i从1n重复进行下述操作： 1.1.1计算矩阵i次方，如果矩阵对角线上有0的元素，则跳转到1.2 1.1.2否则+i; 1.2 如果矩阵对角线有0的元素，则输出该回路2 输出无解信息；13找词游戏。要求游戏者从一张填满字符的正方形表中，找出包含在一个给定集合中的所有单词。这些词在正方形表中

31、可以横着读、竖着读、或者斜着读。为这个游戏设计一个蛮力算法14. 变位词。给定两个单词，判断这两个单词是否是变位词。如果两个单词的字母完全相同，只是位置有所不同，则这两个单词称为变位词。例如，eat和tea是变位词。/判断qwer和rewq是否是变位词#include#includeusing namespace std;int main()char s5=qwer;char t5=rewq;for(int i=0;i!=4;+i)if(si!=t3-i)coutqwer和rewq不是变位词endl; return 0; break; coutqwer和rewq是变位词endl; return

32、 0;15在美国有一个连锁店叫7-11店，因为这个商店以前是早晨7点开门，晚上11点关门。有一天，一个顾客在这个店挑选了四样东西，然后到付款处去交钱。营业员拿起计算器，按了一些键，然后说：“总共是$7.11。”这个顾客开了个玩笑说：“哦？难道因为你们的店名叫7-11，所以我就要付$7.11吗？”营业员没有听出这是个玩笑，回答说：“当然不是，我已经把这四样东西的价格相乘才得出这个结果的！”顾客一听非常吃惊，“你怎么把他们相乘呢？你应该把他们相加才对！”营业员答道：“噢，对不起，我今天非常头疼，所以把键按错了。”然后，营业员将结果重算了一遍，将这四样东西的价格加在一起，然而，令他俩更为吃惊的是总和

33、也是$7.11。设计蛮力算法找出这四样东西的价格各是多少？该算法为：int $7.11(float a,float b,float c,float d,int n) for(int i=0;i!=n;+i) for(int j=0;j!=n;+j) for(int k=0;k!=n;+k) for(int m=0;m!=n;+m) if(ai+bj+ck+dm)=7.11 & a i*bj*ck*dm=7.11) coutaibjckdmendl; return 0; return 0;习题41. 分治法的时间性能与直接计算最小问题的时间、合并子问题解的时间以及子问题的个数有关，试说明这几个参

34、数与分治法时间复杂性之间的关系。2. 证明：如果分治法的合并可以在线性时间内完成，则当子问题的规模之和小于原问题的规模时，算法的时间复杂性可达到o(n)。o(n)=2*o(n/2)+xo(n)+x=2*o(n/2)+2*xa*o(n)+x=a*(2*o(n/2)+x)+x=2*a *o(n/2)+(a+1)*x由此可知，时间复杂度可达到o(n);3.分治策略一定导致递归吗？如果是，请解释原因。如果不是，给出一个不包含递归的分治例子，并阐述这种分治和包含递归的分治的主要不同。不一定导致递归。如非递归的二叉树中序遍历。 这种分治方法与递归的二叉树中序遍历主要区别是：应用了栈这个数据结构。4. 对于

35、待排序序列(5, 3, 1, 9)，分别画出归并排序和快速排序的递归运行轨迹。 归并排序： 第一趟：（5,3）（1,9）；第二趟：（3,5,1,9）；第三趟：（1,3,5,9）；快速排序： 第一趟：5（ ,3,1,9）；/5为哨兵，比较9和5 第二趟：5（1,3, ,9）；/比较1和5，将1挪到相应位置； 第三趟：5（1,3, ,9）;/比较3和5； 第四趟：（1,3,5,9）; 5. 设计分治算法求一个数组中的最大元素，并分析时间性能。/简单的分治问题/将数组均衡的分为“前”，“后”两部分/分别求出这两部分最大值，然后再比较这两个最大值#includeusing namespace std;

36、extern const int n=6;/声明int main()int an=0,6,1,2,3,5;/初始化int mid=n/2;int num_max1=0,num_max2=0;for(int i=0;inum_max1) num_max1=ai;for(int j=n/2+1;jnum_max2) num_max2=aj;if(num_max1=num_max2)cout数组中的最大元素： num_max1endl;else cout数组中的最大元素： num_max2endl;return 0;时间复杂度：o（n）6. 设计分治算法，实现将数组an中所有元素循环左移k个位置,

37、要求时间复杂性为o(n)，空间复杂性为o(1)。例如，对abcdefgh循环左移3位得到defghabc。 /采用分治法/将数组分为0-k-1和k-n-1两块/将这两块分别左移/然后再合并左移#include using namespace std;void leftreverse(char *a, int begin, int end)for(int i=0;i(end-begin+1)/2;i+)/交换移动int temp=abegin+i;abegin+i=aend-i;aend-i=temp;void converse(char *a,int n,int k) leftreverse(

38、a, 0, k-1);leftreverse(a, k, n-1);leftreverse(a, 0, n-1);for(int i=0;in;i+)coutai ;coutendl;int main()char a7=a,b,c,d,e,f,g;converse(a,7,3);return 0;7. 设计递归算法生成n个元素的所有排列对象。#include using namespace std;int data100;/在m个数中输出n个排列数（n=m）void dppl(int num,int m,int n,int depth) if(depth=n) for(int i=0;in;i

39、+) coutdatai ; coutendl; for(int j=0;jm;j+) if(num&(1j)=0) datadepth=j+1; dppl(num+(1j),m,n,depth+1); /forint main() dppl(0,5,1,0); dppl(0,5,2,0); dppl(0,5,3,0);dppl(0,5,4,0); dppl(0,5,5,0); return 0;8. 设计分治算法求解一维空间上n个点的最近对问题。参见4.4.1最近对问题的算法分析及算法实现9. 在有序序列(r1, r2, , rn)中，存在序号i（1in），使得ri=i。请设计一个分治算法找

40、到这个元素，要求算法在最坏情况下的时间性能为o(log2n)。/在有序数组中/采用二分法查找符合条件的元素#includeusing namespace std;void findnum(int *a,int n) int low=0; int high=n-1; while(low=high) int mid=(low+high)/2;if(amid=mid)cout这个数是： amidmid)high=mid-1;elselow=mid+1; int main()int a7=1,0,2,5,6,7,9; findnum(a,7);return 0;时间复杂度为o(log2n)。10. 在

41、一个序列中出现次数最多的元素称为众数。请设计算法寻找众数并分析算法的时间复杂性。 /先对序列进行快速排序/再进行一次遍历/输出众数的重复次数#include using namespace std;int partions(int b,int low,int high)int prvotkey=blow;b0=blow;while (lowhigh) while (low=prvotkey) -high; blow=bhigh; while (lowhigh&blow=prvotkey) +low; bhigh=blow;blow=b0;return low;void qsort(int l,int low,int high)int prvotloc;if(lowhigh) prvotloc=partions(l,low,high); /将第一次排序的结果作为枢轴 qsort(l,low,prvotloc-1); /递归调用排序 由low 到prvotloc-1 qsort(l,prvotloc+1,high); /递归调用排序 由 prvotloc+1到 highvoid quicksort(int l,int n)qsort(l,1,n); /第一个作为枢轴 ，从第一个排到第n个int main()int