八级数学上册第13章全等三角形13.5.3角平分线教学课件新版华东师大版0712480

1、13.5 逆命题与逆定理 第13章 全等三角形 导入新课讲授新课当堂练习课堂小结 3.角平分线 1.会叙述角平分线的性质及判定;（重点） 2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和 掌握角平分线性质定理和它的逆定理能应用这两个性 质解决一些简单的实际问题;（难点） 3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理 证明意识和能力 学习目标 在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、 CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位 置,P在何处？ A BC 导入新课导入新课 问题情境 讲授新课讲授新课 角平分线的性质定理一 如图，点P是AOB的角平分线OC上的任意

2、一点，且 PDOA于点D，PEOB于点E，将AOB沿OC对折，你 发现了什么？如何表达，并简述你的证明过程. 对折后PD、PE能够完全重合，PD=PE. 角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ D P A C BE O 下面我们来证明刚才得到的结论. D P A C BE O 已知:OC平分AOB, P是OC上任意一点,PDOA,PEOB . 求证:PD=PE. 证明: OC平分AOB, P是OC上一点， DOP=BOP. PDOA,PEOB ， ODP=OEP=90. 在OPD和OPE 中， DOP=EOP ,ODP=OEP ,OP=OP, OPDOPE (A.A.S.). PDPE（全等三角

3、形的对应边相等）. 由上面证明，我们得到角平分线的性质定理: 角平分线上的点到角两边的距离相等 几何语言描述： OC平分AOB， 且PDOA， PEOB. PD= PE. 应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. 这一定理描述了角平分线的性质，那么反过来会有什 么结果呢？ 写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？ t条 件结 论 性质定理 逆命题 一个点在角的平 分线上 这个点到这个角 两边的距离相等 一个点到角两边 的距离相等 这个点在这个角 的平分线上 想想看，这个逆命题是否是一个真命题？你能证明吗？ 角平分线

4、性质定理的逆定理二 逆命题 如果一个点到角两边的距离相等，那么这 个点在这个角的平分线上. 分析：为了证明点P在AOB 的平分线上，可以先作射线OP， 然后证明RtPDORtPEO， 从而得到AOP=BOP. 已知：如图，PDOA，PEOB，垂足分别是D、E，PD=PE. 求证：点P在AOB的角平分线上. B A D O P E 证明：作射线OP， 在RtPDO和RtPEO 中， （全等三角形的对应角相等）. OP=OP（公共边）， PD= PE（已知）， PDOA,PEOB， PDO=PEO=90 ， RtPDORtPEO（ H.L.）. AOP=BOP B A D O P E 点P在AOB

5、的平分线上. 判定定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边距离相等. 定理的作用：判断点在角平分线上. 应用格式： PDOA,PEOB，PD=PE， 点点P 在AOB的平分线上. D P A C BE O 角平分线的判定定理与性质定理互为逆定理. 利用尺规作三角形的三条角平分线，你发现了什么？利用尺规作三角形的三条角平分线，你发现了什么？ 发现：三角形的三条角平分线交于一点 做一做 怎样证明这个结论呢? A B C P N M 点拨：要证明三角形的三条角平分线 相交于一点，只要证明其中两条角平 分线的

6、交点一定在第三条角平分线上 即可.思路可表示如下： 试试看，你会写出证明过程吗？ AP是BAC的平分线 BP是ABC的平分线 PI=PH PG=PI PH=PG 点P在BCA 的平分线上 A B C P F H D E I G A B C P 例 如图，ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 求证：点P也在A的平分线上. N M 典例精析 证明：过点P作PDAB，PEBC， PFAC, 垂足分别为D、E、F. BM是ABC的角平分线，点P在BM上（已知）, PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）. 同理 PE=PF. PD=PF（等量代换）. 点P在A的平分线上, 即点P到AB、BC、

7、CA三边的 距离相等. A B C P E D F M N 当堂练习当堂练习 1.如图, DEAB, DFBC, 垂足分别是E, F, DE =DF, EDB= 60, 则 EBF= ，BE= 60BF A B C D E F 2.如图, ABC中, C=90, DEAB, CBE= ABE, 且AC=6cm, 那么线段BE是ABC的 ，AE+DE= . C A B E D 角平分线 6cm 3.已知：如图，ABC中，C=90，AD是ABC的角平 分线，DEAB于E，F在AC上,BD=DF. 求证：CF=EB. 证明：AD平分CAB, DEAB，C90（已知）, CDDE (角平分线的性质). 在RtCDF和RtEDB中, CD=ED（已证）, DF=DB （已知）, RtCDFRtEDB (