二次函数压轴题(精华版)

1、2016年10月26日二次函数压轴题1一解答题（共30小题）1如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）（1）求a，b的值；（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2x6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值2如图，已知抛物线y=x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）（1）求m的值及抛物线的顶点坐标（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标3如图，已知直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=x2+bx+c与直线交于A、E两

2、点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）（1）求该抛物线的解析式；（2）动点P在x轴上移动，当PAE是直角三角形时，求点P的坐标4如图，抛物线y=ax2+bx3a经过A（1，0）、C（0，3）两点，与x轴交于另一点B（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D（m，m1）在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D的坐标（3）在（2）的条件下，连接BD，问在x轴上是否存在点P，使PCB=CBD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由5如图，二次函数y=ax2+bx3的图象与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），一次函数y=mx+n的图象经过点B和二次函数图象上另一点A，点A

3、的坐标（4，3），（1）求二次函数和一次函数的解析式；（2）若点P在第四象限内的抛物线上，求ABP面积S的最大值并求出此时点P的坐标；（3）若点M在直线AB上，且与点A的距离是到x轴距离的倍，求点M的坐标6如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为y轴上的一个动点，当ABM为等腰三角形时，求点M的坐标7已知点A（2，a）在抛物线y=x2上（1）求A点的坐标；（2）在x轴上是否存在点P，使OAP是等腰三角形？若存在写出P点坐标；若不存在，说明理由8如图，对称轴为直线x=1的抛物

4、线y=x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（3，0），点C为抛物线与y轴的交点（1）求函数的解析式；（2）若点P在抛物线上，且SPOC=4SBOC，求点P的坐标；（3）设点Q为线段AC上的动点，作QOx轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值9如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（2，0）和点B（6，0），与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线上的点，且CDx轴，点E是抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线L，当L平移到何处时，恰好将BCD的面积分为相等的两部分？（3）点F在线段CD上，若以点C，E，F为顶点的三角形与COE相似，试求

5、点F的坐标10如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A（1，0）和B（4，0）（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点，FCx轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形OECF是平行四边形，求点C的坐标11如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴交于点A（4，0），B（1，0），与y轴交于点D（0，4），点C（2，n）也在此抛物线上（1）求此抛物线的解析式及点C的坐标；（2）设BC交y轴于点E，连接AE，AC请判断ACE的形状，并说明理由；（3）连接AD交BC于点F，试问：以A，B，F为顶点的三角形与ABC相似吗？请说明

6、理由12如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC动点P在x轴上运动，过点P作PMx轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（2）当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值；（3）当点P在线段OB上运动时，若CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，求m的值；（4）当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m的值13已知：如图所示，抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（1，0），B（3，0）（1）求抛物线的解析式；（2）设点

7、P在该抛物线上滑动，且满足条件SPAB=1的点P有几个？并求出所有点P的坐标；（3）设抛物线交y轴于点C，问该抛物线对称轴上是否存在点M，使得MAC的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由14如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（3，0）、B（1，0）、C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为抛物线在第二象限上的一点，设PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；（3）设抛物线的顶点为D，DEx轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得ADM是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由15已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）过点A（3，

8、0），B（1，0），C（0，3）三点（1）求该抛物线的函数关系式；（2）若抛物线的顶点为P，连接PA、AC、CP，求PAC的面积；（3）过点C作y轴的垂线，交抛物线于点D，连接PD、BD，BD交AC于点E，判断四边形PCED的形状，并说明理由16如图，二次函数y=x2+2x+c的图象与x轴交于点A和点B（1，0），以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，同时动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿CB匀速运动，当点Q到达终点B时，点P停止运动，设运动时间为t秒连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E（1）求点A的坐标；（2）

9、当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，并求出这个最大值；（3）在P，Q运动过程中，求当DPE与以D，C，Q为顶点的三角形相似时t的值；（4）是否存在t，使DCQ沿DQ翻折得到DCQ，点C恰好落在抛物线的对称轴上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由17如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与抛物线y=ax2+bx3（a0）交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为5点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PDAB于点D（1）求抛物线的解析式；（2）设点P的横坐标为m用含m的代数式表示线段PD

10、的长，并求出线段PD长的最大值；连结PB，线段PC把PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为1：2？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由18如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4），以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C，动点P从点A出发，以每秒个单位的速度沿线段AD向点D运动，运动时间为t秒，过点P作PEx轴交抛物线于点M，交AC于点N（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）当t为何值时，ACM的面积最大？最大值为多少？（3）点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D运动，当

11、t为何值时，在线段PE上存在点H，使以C，Q，N，H为顶点的四边形为菱形？19如图，二次函数y=x2+3（其中m是常数，且m0）的图象与x轴交于A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，作CDAB，点D在二次函数的图象上，连接BD，过点B作射线BE交二次函数的图象于点E，使得AB平分DBE（1）求点C的坐标；（2）求证：为定值；（3）二次函数y=x2+3的顶点为F，过点C、F作直线与x轴交于点G，试说明：以GF、BD、BE的长度为三边长的三角形是什么三角形？请说明理由20如图1，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（2，0）、（0，3），过点B，C的抛物线y=x2+bx+

12、c与x轴交于点D，E（D在E的左侧），直线DC与线段AB交于点F（1）求抛物线y=x2+bx+c的表达式；（2）求点F的坐标；（3）如图2，设动点P从点E出发，以每秒1个单位的速度沿射线ED运动，过点P作直线DC的平行线l，过点F作x轴的平行线，交直线l于点Q设点P的运动时间为t秒当点P在射线ED上运动时，四边形PQFD能否成为菱形？若能，求出相应的t的值；若不能，说明理由；当0t4时，设四边形PQFD与四边形ODBC重合部分的面积为S，直接写出S与t的函数关系式以及相应的自变量t的取值范围21如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx4a与直线y=x+4交两坐标轴于点B，C，且与x轴交

13、另一点A（1）求抛物线的解析式；（2）已知点D（m，m+1）在第一象限抛物线的图象上，求点D关于直线BC对称的点D坐标；（3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且DBP=45，求ABP的面积22如图，点P是直线l：y=2x2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y=x2于A，B两点（1）若直线m的解析式为y=x+2，求P，A，B三点的坐标；（2）若点P的坐标为（2，2），当PA=PB时，求点A的坐标；（3）求证：对于直线l上任意一点P，在抛物线上都能找到两个不同位置的点A，使得PA=PB成立？23已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点A（3，0）、B（1，0），且与y轴交于点

14、C，设抛物线的顶点为D（1）求点C、D的坐标（用含a的式子表示）；（2）当a变化时，ACD能否为直角三角形？若能？求出所有符合条件的a的值；若不能，请说明理由24如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若AEF=90，且EF交正方形的外角DCM的平分线CF于点F（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）AE=EF是否一定成立？说出你的理由；在如图2所示的直角坐标系中抛物线y=ax2+x+c经过A、D两点，当点E滑动到某处时，点

15、F恰好落在此抛物线上，求此时点F的坐标25如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C（0，2），过A、C画直线（1）求二次函数的解析式；（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；（3）若M为线段OB上的一个动点，过点M做MN平行于y轴交抛物线于点N，当点M运动到何处时，四边形ACNB的面积最大？求出此时点M的坐标及四边形ACNB面积的最大值？26如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x23x的图象与x轴相交于O、A两点（1）求A点和顶点C的坐标；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使AOB的面积等于6，求点B的坐标；（3

16、）对于（2）中的点B，在直线OB下方的抛物线上是否存在点P，使得POB的面积最大？若存在，求出POB的最大面积；若不存在，请说明理由27如图，抛物线的对称轴是直线x=1，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是（1，0）、（0，3）（1）求此抛物线对应的函数解析式；（2）若点P是抛物线上位于x轴上方的一个动点，求ABP面积的最大值；（3）若过点A（1，0）的直线AD与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形的面积为6，求此直线的解析式28如图，抛物线y=x2+2x+3与x轴交于点AB，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，连接BC、BD（1）点A的坐标是，点B的坐标是，点D的坐标是；

17、（2）若点E是x轴上一点，连接CE，且满足ECB=CBD，求点E坐标；（3）若点P在x轴上且位于点B右侧，点A、Q关于点P中心对称，连接QD，且BDQ=45，求点P的坐标（请利用备用图解决问题）29如图（1），在平面直角坐标系xOy中，OABC的顶点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（2，2），点P在射线OA上沿OA方向以2个单位长度/s的速度向右运动，点Q在线段AB上沿AB方向以个单位长度/s的速度从点A向点B运动，设点Q运动的时间为t s（0t2），射线PQ交射线CB于点D，连接CP（1）求出过O、A、B三点的抛物线的函数关系式；（2）当0t1时，求出PAQ的面积 S与t的函数关系式，并求

18、出当t取何值时，S有最大值；（3）在点P运动的过程中，CPD是一个定值，这个定值是；并求出当PCD为等腰三角形时t的值；（4）当1t2时，线段DP的中点M运动的总路程为30如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PEx轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与DEH相似

19、？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由2016年10月26日二次函数压轴题1参考答案与试题解析一解答题（共30小题）1（2016安徽）如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）（1）求a，b的值；（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2x6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的最值菁优网版权所有【专题】计算题；二次函数图象及其性质【分析】（1）把A与B坐标代入二次函数解析式求出a与b的值即可；（2）如图，过A作x轴的垂直，垂足为D（2，0），连接CD，

20、过C作CEAD，CFx轴，垂足分别为E，F，分别表示出三角形OAD，三角形ACD，以及三角形BCD的面积，之和即为S，确定出S关于x的函数解析式，并求出x的范围，利用二次函数性质即可确定出S的最大值，以及此时x的值【解答】解：（1）将A（2，4）与B（6，0）代入y=ax2+bx，得，解得：；（2）如图，过A作x轴的垂直，垂足为D（2，0），连接CD，过C作CEAD，CFx轴，垂足分别为E，F，SOAD=ODAD=24=4；SACD=ADCE=4（x2）=2x4；SBCD=BDCF=4（x2+3x）=x2+6x，则S=SOAD+SACD+SBCD=4+2x4x2+6x=x2+8x，S关于x的函

21、数表达式为S=x2+8x（2x6），S=x2+8x=（x4）2+16，当x=4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键2（2016宁波）如图，已知抛物线y=x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）（1）求m的值及抛物线的顶点坐标（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标【考点】二次函数的性质菁优网版权所有【专题】动点型【分析】（1）首先把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=x2+mx+3，利用待定系数法即可求得m的值，

22、继而求得抛物线的顶点坐标；（2）首先连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，然后利用待定系数法求得直线BC的解析式，继而求得答案【解答】解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=x2+mx+3得：0=32+3m+3，解得：m=2，y=x2+2x+3=（x1）2+4，顶点坐标为：（1，4）（2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，设直线BC的解析式为：y=kx+b，点C（0，3），点B（3，0），解得：，直线BC的解析式为：y=x+3，当x=1时，y=1+3=2，当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2）【点评】此题考查了二次函数的性质、待定系

23、数法求解析式以及距离最短问题注意找到点P的位置是解此题的关键3（2016湘潭模拟）如图，已知直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）（1）求该抛物线的解析式；（2）动点P在x轴上移动，当PAE是直角三角形时，求点P的坐标【考点】二次函数的性质菁优网版权所有【分析】（1）根据直线的解析式求得点A（0，1），那么把A，B坐标代入y=x2+bx+c即可求得函数解析式；（2）让直线解析式与抛物线的解析式结合即可求得点E的坐标PAE是直角三角形，应分点P为直角顶点，点A是直角顶点，点E是直角顶点三种情况探讨【

24、解答】解：（1）直线y=x+1与y轴交于点A，A（0，1），y=x2+bx+c过（1，0）和（0，1），则，解得抛物线的解析式为y=x2x+1；（2）设点E的横坐标为m，则它的纵坐标为m2m+1即E点的坐标（m，m2m+1），又点E在直线y=x+1上，m2m+1=m+1解得m1=0（舍去），m2=4，E的坐标为（4，3）（）当A为直角顶点时，过A作AP1DE交x轴于P1点，设P1（a，0）易知D点坐标为（2，0），由RtAODRtP1OA得=，即 =，a=，P1（，0）（）同理，当E为直角顶点时，过E作EP2DE交x轴于P2点，由RtAODRtP2ED得，=，即 =，EP2=，DP2=，a=2

25、=，P2点坐标为（，0）（）当P为直角顶点时，过E作EFx轴于F，设P3（b、0），由OPA+FPE=90，得OPA=FEP，RtAOPRtPFE，由 =得 =，解得b1=3，b2=1，此时的点P3的坐标为（1，0）或（3，0），综上所述，满足条件的点P的坐标为（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，直线和抛物线的交点等；分类讨论的思想是解题的关键4（2016株洲模拟）如图，抛物线y=ax2+bx3a经过A（1，0）、C（0，3）两点，与x轴交于另一点B（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D（m，m1）在第四象限的抛物线上，求

26、点D关于直线BC对称的点D的坐标（3）在（2）的条件下，连接BD，问在x轴上是否存在点P，使PCB=CBD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【分析】（1）将A（1，0）、C（0，3）两点坐标代入抛物线y=ax2+bx3a中，列方程组求a、b的值即可；（2）将点D（m，m1）代入（1）中的抛物线解析式，求m的值，再根据对称性求点D关于直线BC对称的点D的坐标；（3）分两种情形过点C作CPBD，交x轴于P，则PCB=CBD，连接BD，过点C作CPBD，交x轴于P，分别求出直线CP和直线CP的解析式即可解决问题【解答】解：（1）将A（1，0）、C（0

27、，3）代入抛物线y=ax2+bx3a中，得，解得，y=x22x3；（2）将点D（m，m1）代入y=x22x3中，得m22m3=m1，解得m=2或1，点D（m，m1）在第四象限，D（2，3），直线BC解析式为y=x3，BCD=BCO=45，CD=CD=2，OD=32=1，点D关于直线BC对称的点D（0，1）；（3）存在满足条件的点P有两个过点C作CPBD，交x轴于P，则PCB=CBD，直线BD解析式为y=3x9，直线CP过点C，直线CP的解析式为y=3x3，点P坐标（1，0），连接BD，过点C作CPBD，交x轴于P，PCB=DBC，根据对称性可知DBC=CBD，PCB=CBD，直线BD的解析式为

28、y=x1，直线CP过点C，直线CP解析式为y=x3，P坐标为（9，0），综上所述，满足条件的点P坐标为（1，0）或（9，0）【点评】本题考查了二次函数的综合运用关键是由已知条件求抛物线解析式，根据抛物线的对称性，直线BC的特殊性求点的坐标，学会分类讨论，不能漏解5（2016东平县一模）如图，二次函数y=ax2+bx3的图象与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），一次函数y=mx+n的图象经过点B和二次函数图象上另一点A，点A的坐标（4，3），（1）求二次函数和一次函数的解析式；（2）若点P在第四象限内的抛物线上，求ABP面积S的最大值并求出此时点P的坐标；（3）若点M在直线AB上，且与点A的

29、距离是到x轴距离的倍，求点M的坐标【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【分析】（1）过点A作ADx轴于点D，则D（4，0），ADB=90，在RtADB中，根据正切函数的定义求出BD=6，则B点坐标为（2，0），再将B，A两点的坐标代入y=ax2+bx3，运用待定系数法求出二次函数的解析式；将B，A两点的坐标代入y=mx+n，运用待定系数法求出一次函数的解析式；（2）根据（1）中求出的抛物线的解析式可设点P的坐标为（t，t2t3），过点P作PH垂直于x轴交AB于H点，则H（t，t+1），用含t的代数式表示PH的长度，再根据SABP=PHBD，求出SABP=t2+3t+12，配方后根据二次函数的性

30、质即可求解；（3）根据（1）中求出的直线AB的解析式可设点M的坐标为（p，p+1），由点M与点A的距离是它到x轴距离的倍，列出关于p的方程，解方程即可【解答】解：（1）过点A（4，3）作ADx轴于点D，则D（4，0），ADB=90在RtADB中，tanABD=，BD=6，B点坐标为（2，0）将B（2，0），A（4，3）代入y=ax2+bx3，得，解得：，二次函数的解析式为y=x2x3；将B（2，0），A（4，3）代入y=mx+n，得，解得，一次函数解析式为y=x+1；（2）设点P的坐标为（t，t2t3），过点P作PH垂直于x轴交AB于H点，则H（t，t+1），PH=（t+1）（t2t3）=t2

31、+t+4，SABP=SAHP+SBHP=PHDM+PHBM=PHBD=（t2+t+4）6=t2+3t+12=（t1）2+，当t=1即P点坐标为（1，3）时，ABP的面积S最大，此时SABP=；（3）设点M的坐标为（p，p+1），由题意，得=|p+1|，化简整理，得p212p+20=0，解得p=2或10，当p=2时，p+1=2+1=2；当p=10时，p+1=10+1=6故所求点M的坐标为（2，2）或（10，6）【点评】本题综合考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式，三角形的面积，两点间的距离公式，平面直角坐标系内的点到坐标轴的距离等重要知识点，难度不是很大运用

32、数形结合及方程思想是解题的关键6（2016镇江二模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为y轴上的一个动点，当ABM为等腰三角形时，求点M的坐标【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式菁优网版权所有【分析】（1）直接根据题意列出关于a、b、c的方程组，解方程组即可解决问题（2）运用分类讨论的数学思想，根据等腰三角形的定义，分类讨论，数形结合，即可解决问题【解答】解：（1）由题意得：，解该方程组得：a=1，b=2，c=3，抛物线的解

33、析式为y=x2+2x+3（2）由题意得：OA=3，OB=3；由勾股定理得：AB2=32+32，AB=3当ABM为等腰三角形时，若AB为底，OA=OB，此时点O即为所求的点M，故点M的坐标为M（0，0）；若AB为腰，以点B为圆心，以长为半径画弧，交y轴于两点，此时两点坐标为M（0，33）或M（0，3+3），以点A为圆心，以长为半径画弧，交y轴于点（0，3）；综上所述，当ABM为等腰三角形时，点M的坐标分别为（0，0）、（0，33）、（0，3+3）、（0，3）【点评】该题主要考查了抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数的解析式等知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用、大胆猜测、科学解答7（20

34、16丹阳市校级模拟）已知点A（2，a）在抛物线y=x2上（1）求A点的坐标；（2）在x轴上是否存在点P，使OAP是等腰三角形？若存在写出P点坐标；若不存在，说明理由【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【分析】（1）直接将A点代入解析式求出即可A点坐标即可；（2）分别根据以O为顶点时，以A为顶点时，以P为顶点时求出符合题意的点的坐标即可【解答】解：（1）点A（2，a）在抛物线y=x2上，a=22=4，A点的坐标为：（2，4）；（2）如图所示：以O为顶点时，AO=P1O=2或AO=AP2=2点P坐标：（2，0），（2，0），以A为顶点时，AO=OP，点P坐标：（4，0）；以P为顶点时，OP=AP，

35、AE2+PE2=PA2，设AP=x，则42+（x2）2=x2，解得：x=5，点P坐标：（5，0），综上所述：使OAP是等腰三角形则P点坐标为：（2，0），（2，0），（4，0），（5，0）【点评】此题主要考查了二次函数图象上点的性质以及等腰三角形的判定，利用分类讨论得出是解题关键8（2016宁津县二模）如图，对称轴为直线x=1的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（3，0），点C为抛物线与y轴的交点（1）求函数的解析式；（2）若点P在抛物线上，且SPOC=4SBOC，求点P的坐标；（3）设点Q为线段AC上的动点，作QOx轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值【考点

36、】二次函数综合题菁优网版权所有【分析】（1）由抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=1，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为（3，0），根据二次函数的对称性，即可求得B点的坐标；（2）a=1时，先由对称轴为直线x=1，求出b的值，再将B（1，0）代入，求出二次函数的解析式为y=x2+2x3，得到C点坐标，然后设P点坐标为（x，x2+2x3），根据SPOC=4SBOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；（3）先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x3，再设Q点坐标为（x，x3），则D点坐标为（x，x2+2x3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线

37、段QD长度的最大值【解答】解：（1）对称轴为直线x=1的抛物线y=x2+bx+c（a0）与x轴相交于A、B两点，A、B两点关于直线x=1对称，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（1，0）；（2）抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=1，=1，解得b=2将B（1，0）代入y=x2+2x+c，得1+2+c=0，解得c=3则二次函数的解析式为y=x2+2x3，抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，3），OC=3设P点坐标为（x，x2+2x3），SPOC=4SBOC，3|x|=431，|x|=4，x=4当x=4时，x2+2x3=16+83=21；当x=4时，x2+2x3=1683=5点P的坐标为（4

38、，21）或（4，5）；（3）设直线AC的解析式为y=kx+t （k0）将A（3，0），C（0，3）代入，得 ，解得 ，即直线AC的解析式为y=x3设Q点坐标为（x，x3）（3x0），则D点坐标为（x，x2+2x3），QD=（x3）（x2+2x3）=x23x=（x+）2+，当x=时，QD有最大值 【点评】此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型9（2016丹东模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（2，0）和点B（6，0），与y轴交

39、于点C（0，3），点D是抛物线上的点，且CDx轴，点E是抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线L，当L平移到何处时，恰好将BCD的面积分为相等的两部分？（3）点F在线段CD上，若以点C，E，F为顶点的三角形与COE相似，试求点F的坐标【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）首先求得D的坐标，则CD的长即可求得，进而求得BCD的面积，当l平移至l1，l1与CD、BC分别交于点M、N，易证CMNBOC，求得CM和MN的关系，利用三角形的面积公式即可求解；（3）分成COEECF和COEFCE两种情况，利用相似三角形

40、的对应边的比相等即可求解【解答】解：（1）根据题意得：，解得：则抛物线的解析式是y=x2+x+3；（2）抛物线y=x2+x+3的对称轴是x=2CDx轴，C的坐标是（0，3），D的坐标是（4，3），SBCD=CDOC=43=6如图，当l平移至l1，l1与CD、BC分别交于点M、NMCN=CBO，CMN=BOC=90，CMNBOC，=2，CM=2MN，SCMN=CMMN=CM2SCMN=SBCD，CM2=3，CM=2当l平移到直线x=2处时，恰好将BCD的面积分成面积相等的两部分；（3）设对称轴l交CD于点P，过点E作EQy轴，垂足为点QE（2，4），C（0，3），CDx轴，=，又EQO=EPC=

41、90，EQCEPC，COE=ECDC（0，3），E（2，4），CE=，OE=2分成两种情况：当COEECF是，=，CF=，F的坐标是（，3）；当COEFCE时，=，CF=F的坐标是（，3）则满足条件的F的坐标是（，3）或（，3）【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及相似三角形的判定与性质，正确分成COEECF和COEFCE两种情况进行讨论是关键10（2016曲靖模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A（1，0）和B（4，0）（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点，FCx轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形OE

42、CF是平行四边形，求点C的坐标【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【分析】（1）由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再由抛物线的对称轴为x=，代入数据即可得出结论；（2）由平行四边形的性质即可得出点C的横坐标，代入抛物线解析式中即可得出点C的坐标【解答】解：（1）将点A（1，0）、B（4，0）代入y=ax2+bx+2中，得：，解得：，抛物线的解析式为y=抛物线的对称轴为x=（2）OECF是平行四边形，OE=，FC=，C点横坐标x=OE+FC=5，令y=中x=5，则y=2，点C的坐标为（5，2）【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）利

43、用待定系数法求出函数解析式；（2）根据平行四边形找出点C的横坐标本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键11（2016邵阳模拟）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴交于点A（4，0），B（1，0），与y轴交于点D（0，4），点C（2，n）也在此抛物线上（1）求此抛物线的解析式及点C的坐标；（2）设BC交y轴于点E，连接AE，AC请判断ACE的形状，并说明理由；（3）连接AD交BC于点F，试问：以A，B，F为顶点的三角形与ABC相似吗？请说明理由【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【分析】（1）由A、B、D三点坐标，利用待定系数法可

44、求得抛物线解析式，把C点坐标代入解析式可求得n的值，可求得C点坐标；（2）把C点坐标代入抛物线解析式可求得n，可得C点坐标，利用待定系数法可求得直线BC的解析式，则可求得E点坐标，利用勾股定理可求得AC、AE、CE的长，则可判断ACE的形状；（3）由A、D坐标可先求得直线AD解析式，联立直线BC、AD解析式可求得F点坐标，又可求得BF、BC和AB的长，由题意可知ABF=CAB，若以A，B，F为顶点的三角形与ABC相似只有BFA=CAB，则判定和是否相等即可【解答】解：（1）抛物线经过A、B、D三点，代入抛物线解析式可得，解得，抛物线y=x23x+4，点C（2，n）也在此抛物线上，n=4+6+4

45、=6，C点坐标为（2，6）；（2）ACE为等腰直角三角形，理由如下：设直线BC解析式为y=kx+s，把B、C两点坐标代入可得，解得，直线BC解析式为y=2x+2，令x=0可得y=2，E点坐标为（0，2），A（4，0），C（2，6），AC=2，AE=2，CE=2，AE2+CE2=20+20=40=AC2，且AE=CE，ACE为等腰直角三角形；（3）相似，理由如下：设直线AD解析式为y=px+q，把A、D坐标代入可得，解得，直线AD解析式为y=x+4，联立直线AD、BC解析式可得，解得，F点坐标为（，），BF=，BC=3，且AB=1（4）=5，=，=，=，且BFA=CAB，ABFCBA【点评】本题

46、为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、勾股定理及其逆定理、相似三角形的判定和性质等知识点在（1）中注意待定系数法的应用步骤是解题的关键，在（2）中求得E点坐标是解题的关键，在（3）中求得F点的坐标是解题的关键，注意勾股定理的应用本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中12（2016长春校级一模）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC动点P在x轴上运动，过点P作PMx轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（2）当点P在线段OB上运动时，求线段M

47、N的最大值；（3）当点P在线段OB上运动时，若CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，求m的值；（4）当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m的值【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【分析】（1）由A、C两点的坐标利用待定系数法可求得抛物线解析式，则可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得直线BC的解析式；（2）用m可分别表示出N、M的坐标，则可表示出MN的长，再利用二次函数的最值可求得MN的最大值；（3）由题意可得当CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时则有MN=MC，且MCMN，则可求表示出M点坐标，代入抛物线解析式可求得m的值；（4）由条件可得出MN=OC，结合（2）可得到关

48、于m的方程，可求得m的值【解答】解：（1）抛物线过A、C两点，代入抛物线解析式可得，解得，抛物线解析式为y=x2+2x+3，令y=0可得，x2+2x+3=0，解x1=1，x2=3，B点在A点右侧，B点坐标为（3，0），设直线BC解析式为y=kx+s，把B、C坐标代入可得，解得，直线BC解析式为y=x+3；（2）PMx轴，点P的横坐标为m，M（m，m2+2m+3），N（m，m+3），P在线段OB上运动，M点在N点上方，MN=m2+2m+3（m+3）=m2+3m=（m）2+，当m=时，MN有最大值，MN的最大值为；（3）PMx轴，当CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，则有CMMN，M点纵坐标为3

49、，m2+2m+3=3，解得m=0或m=2，当m=0时，则M、C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去，m=2；（4）PMx轴，MNOC，当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，则有OC=MN，当点P在线段OB上时，则有MN=m2+3m，m2+3m=3，此方程无实数根，当点P线段OB的延长线上时，则有MN=m+3（m2+2m+3）=m23m，m23m=3，解得m=或m=（不合题意，舍去），综上可知当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，m的值为【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质及分类讨论思想等知识点在（2

50、）中用m表示出MN的长是解题的关键，在（3）中确定出CMMN是解题的关键，在（4）中由平行四边形的性质得到OC=MN是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大13（2016南海区校级模拟）已知：如图所示，抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（1，0），B（3，0）（1）求抛物线的解析式；（2）设点P在该抛物线上滑动，且满足条件SPAB=1的点P有几个？并求出所有点P的坐标；（3）设抛物线交y轴于点C，问该抛物线对称轴上是否存在点M，使得MAC的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【分析】（1）结合点A、B的坐标，利用待

51、定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）设点P的坐标为（x，y）结合三角形的面积公式求出y=1，将其代入抛物线解析式中求出x值，由此即可得出结论；（3）假设存在，过点C作抛物线的对称轴的对称点C，连接AC交抛物线对称轴于点M，连接MC，任取抛物线对称轴上除M外的任意一点N，连接NA，NC、NC，利用三角形两边之和大于第三边得出点A、M、C三点共线时，MAC的周长最小由抛物线的解析式找出点C的坐标以及抛物线的对称轴，利用对称的性质找出点C的坐标，结合点A、C的坐标利用待定系数法求出直线AC的解析式，再联立直线AC的解析式与抛物线的对称轴成方程组，解方程组即可求出点M的坐标【解答】解：（1）将点A（

52、1，0）、B（3，0）代入y=x2+bx+c中，得：，解得：，该抛物线的解析式为y=x2+4x3（2）设点P的坐标为（x，y）AB=2，SPAB=AB|y|=1，y=1当y=1时，有1=x2+4x3，即x24x+4=（x2）2=0，解得：x1=x2=2；当y=1时，有1=x2+4x3，即x24x+2=0，解得：x3=2，x4=2+满足条件的点P有三个坐标分别为（2，1），（2+，1），（2，1）（3）假设存在过点C作抛物线的对称轴的对称点C，连接AC交抛物线对称轴于点M，连接MC，任取抛物线对称轴上除M外的任意一点N，连接NA，NC、NC，如图所示NA+NC=NA+NCAC=MA+MC=MA+MC，当点A、M、C三点共线时，MAC的周长最小抛物线的解析式为y=x2+4x3，点C的坐标为（0，3），抛物线的对称轴为x=2，C（4，3）设直线AC的解析式为y=mx+n，点A（1，0）、C（4，3）在直线AC上，解得：，直线AC的解析式为y=x+1联立直线AC的解析式和抛物线的对称轴