初一数学动点问题例题集

1、初一数学动点问题集锦1、如图，已知 ABC 中， ABAC10厘米， BC 8厘米，点 D 为AB 的中点（ 1）如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米 /秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动若点 Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过 1 秒后， BPD 与 CQP 是否全等，请说明理由；ADQ若点 Q 的运动速度与点P 的运动速度不相BCP等，当点 Q 的运动速度为多少时， 能够使 BPD 与 CQP 全等？（ 2）若点 Q 以中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿 ABC 三边运动，求经

2、过多长时间点 P 与点 Q 第一次在 ABC 的哪条边上相遇？解：（1） t1秒， BPCQ3 13 厘米，AB10 厘米，点 D 为 AB 的中点，BD5 厘米又厘米，PC835 厘米 PCBCBP， BC8 ，PCBD 1又 ABAC ，BC ， BPD CQP （4 分） vPvQ ， BP CQ ，又 BPD CQP ， BC ，则 BP PC4， CQBD 5 ，tBP433 秒，点 P ，点 Q 运动的时间CQ515vQ44t3厘米 /秒（7 分）（ 2）设经过 x 秒后点 P 与点 Q 第一次相遇，15 x 3x 210由题意，得 4，80解得x3 秒80803点 P 共运动了

3、3厘米 80 2 28 24，点 P 、点 Q 在 AB 边上相遇，80秒点 P 与点 Q 第一次在边 AB 上相遇 （12 分）经过 3y3 x62、直线4与坐标轴分别交于 A、 B 两点，动点 P、 Q 同时从O 点出发，同时到达 A 点，运动停止点 Q 沿线段 OA 运动，速度为每秒 1 个单位长度，点 P 沿路线 O B A 运动（ 1）直接写出 A、B 两点的坐标；2（ 2）设点 Q 的运动时间为 t 秒， OPQ 的面积为 S ，求出 S 与 t 之间的函数关系式；S48（3）当5 时，求出点 P 的坐标，并直接写出以点 O、 P、 Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点 M 的坐标y

4、BPxOQA解（ 1）A（8，0）B（0，6） 1 分（ 2）Q OA 8， OB 6 AB 1088Q 点 Q 由 O 到 A 的时间是 1（秒）610点 P 的速度是21 分8（单位 /秒）当 P 在线段 OB 上运动（或 0 t 3 ）时， OQt， OP 2tS t2 1 分当 P 在线段 BA 上运动（或 3OQt， AP 610 2t 16 2t,t 8 ）时，PDAP486t如图，作 PDOA 于点 D ，由 BOAB ，得PD，1 分5S1 OQ PD3t 224 t1 分255（自变量取值范围写对给1 分，否则不给分）8 24P ，（ 3）551 分3824122412，24

5、I1， ， M 2， ， M 33 分5555553 如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=2x8 分别与 x 轴，y 轴相交于 A ，B 两点，点 P（0，k）是 y 轴的负半轴上的一个动点，以 P 为圆心， 3 为半径作 P.（ 1）连结 PA，若 PA=PB，试判断 P 与 x 轴的位置关系，并说明理由；（ 2）当 k 为何值时，以 P 与直线 l 的两个交点和圆心 P 为顶点的三角形是正三角形？4解：（1） P 与 x 轴相切 .直线 y=2x8 与 x 轴交于 A（4，0），与 y 轴交于 B（0， 8）， OA=4，OB=8.由题意， OP=k， PB=PA=8+k.在 RtAOP

6、 中， k2+42=(8+k)2， k=3， OP 等于 P 的半径， P 与 x 轴相切 .（2）设 P 与直线 l 交于 C，D 两点，连结 PC， PD 当圆心 P 在线段 OB 上时 ,作 PECD 于 E.13 PCD 为正三角形， DE= 2 CD= 2 ，PD=3，3 3 PE= 2 . AOB= PEB=90， ABO= PBE， AOB PEB，3 3AOPE ,即4=2ABPB45PB ，PB3 15 , 253 15POBOPB82，3 15P(0,8)2 ，3158k2.3 15当圆心 P 在线段 OB 延长线上时 ,同理可得 P(0,28)，3 15 k= 2 8，3

7、15315当 k=2 8 或 k=2 8 时，以 P 与直线 l 的两个交点和圆心 P 为顶点的三角形是正三角形.4（09 哈尔滨） 如图 1，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，四边形 ABCO 是菱形，点 A 的坐标为（ 3，4），点 C 在 x 轴的正半轴上，直线 AC 交 y 轴于点 M ，AB 边交 y 轴于点 H（ 1）求直线 AC 的解析式；（ 2）连接 BM ，如图 2，动点 P 从点 A 出发，沿折线 ABC方向以 2 个单位秒的速度向终点 C 匀速运动，设 PMB 的面积为S（S0），点 P 的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 之间的函数关系式（要求写出自变量 t 的

8、取值范围）；（3）在（ 2）的条件下，当t 为何值时， MPB 与 BCO6互为余角，并求此时直线OP 与直线 AC 所夹锐角的正切值解：7B5 在 RtABC 中，C=90，AC = 3，AB =5点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长E8QDAPC图 16的速度向点 A 匀速运动，到达点 A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动伴随着 P、Q 的运动， DE 保持垂直平分 PQ，且交 PQ 于点 D ，交折线QB-BC-CP 于点 E点 P、Q 同时出发，当点 Q 到达点 B 时停止运动，点 P 也随之停

9、止设点P、Q 运动的时间是t 秒（ t0）（ 1）当 t = 2 时， AP =，点 Q 到 AC 的距离是；（ 2）在点 P 从 C 向 A 运动的过程中，求 APQ 的面积 S 与 t 的函数关系式；（不必写出 t 的取值范围）（ 3）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值若不能，请说明理由；（ 4）当 DE 经过点 C 时，请直接写出t 的值8解：（1）1， 5 ；（ 2）作 QFAC 于点 F，如图 3， AQ = CP= t， AP 3 t 由 AQF ABC ， BC 52324 ，QFtQF4 t得 45 5 S1 (3 t)4

10、 t25 ，B即S2 t 26 t55 E（ 3）能Q当 DEQB 时，如图 4DAPC图 4DEPQ， PQQB，四边形 QBED 是直角梯形此时 AQP=909AQAP由 APQ ABC ，得 ACAB ，Bt3t9即 35 解得 t8如图 5，当 PQBC 时，DEBC ，四边形 QBED 是直Q角梯形ED此时 APQ =90APCAQAP图 5由 AQP ABC ，得 ABAC ，Bt 3tt15即 53 解得8 （ 4） t545QG2 或 t 14 点 P 由 C 向 A 运动， DE 经过点 CADC(E)P连接 QC，作 QGBC 于点 G，如图 6图 6B3242QGPC t

11、 ， QC 2QG 2CG 2 5(5t)45(5 t)22t23(5t )244(5t )25D，解得t由 PCQC，得552 C(E)AP点 P 由 A 向 C 运动， DE 经过点 C，如图 7图 72324(5t )2t45(6 t ) (5t ) 414 】55，6 如图，在Rt ABCACB 90， B 60l中，EC，BC 2点 O 是 AC 的中点，过点 O 的直线 l 从与 ACOADB重合的位置开始，绕点 O 作逆时针旋转，交 AB 边于点 D 过点 C 作 CE AB 交直线 l 于点 E ，设直线COl 的旋转角为 A（备用图）B（ 1）当度时，四边形 EDBC 是等腰

12、梯形，此时AD 的长为；当度时，四边形 EDBC 是直角梯形，此时 AD 的长10为；（ 2）当90EDBC是否为菱形，并说明理由时，判断四边形解（1 ） 30 ，1 ； 60 ，1.5；4 分（2）当 =900 时，四边形 EDBC 是菱形 . =ACB=900 ， BC/ED.CE/AB, 四 边形EDBC是平行四边形.6 分在 RtABC 中， ACB=900 ， B=600,BC=2, A=300. AB=4,AC=2 3 .1 ACAO= 2= 3 .8分在 RtAOD 中， A=300 ， AD=2. BD=2. BD=BC.又四边形 EDBC 是平行四边形，四边形EDBC是菱形

13、10 分117如图，在梯形ABCD中，AD BC，AD3， DC5， AB4 2， B45 动AD点 M 从 B 点出发沿线段 BC 以每秒2 个单位长度的速度向终点 C 运动；动点 N 同时从 C 点出NCBM发沿线段 CD 以每秒1 个单位长度的速度向终点 D 运动设运动的时间为 t 秒（ 1）求 BC 的长（ 2）当 MN AB 时，求 t 的值（ 3）试探究： t 为何值时， MNC 为等腰三角形解：（1）如图，过 A 、 D 分别作 AKBC 于 K ， DHBC 于 H ，则四边形 ADHK 是矩形 KHAD 3 1 分AKABgsin 45 4 2 24在 Rt ABK 中，2B

14、KABgcos45 4 2g2422 分在 RtCDH 中，由勾股定理得， HC52423 BC BK KH HC4 3 3 10 3 分ADADNBCBCKGHM（图）（图）12（ 2）如图，过 D 作 DG AB 交 BC 于 G 点，则四边形 ADGB 是平行四边形 MN AB MN DG BG AD 3 GC 10 3 7 4 分由题意知，当M 、 N 运动到 t 秒时， CNt，CM102t DG MN NMC DGC又 C C MNC GDC即CNCMCDCG 5 分t 10 2t5750t解得，17 6 分（ 3）分三种情况讨论：当 NCMC 时，如图，即 t 10 2tt103

15、7 分13ADADNNBCBMCMH E（图）（图）当 MNNC 时，如图，过 N 作 NEMC 于 E解法一：由等腰三角形三线合一性质得EC1 MC1 10 2t 5t22EC 5tcosct在 RtCEN 中，NCCH3又在 RtDHC 中，cosc5CD5 t3 t525t8 8 分解得解法二： C C，DHCNEC90 NEC DHCNCEC DCHCt 5 t即 5325t8 分 8当 MNMC 时，如图，过 M 作 MFFC1 NC1 tCN 于 F 点.2214解法一：（方法同中解法一）1 tcosCFC23MC102t5ADt60NF解得17解法二： C C，MFCDHC90

16、MFC DHCFCMC HCDC1 t102t2即 35t6017t1025tt综上所述，当3 、8 或分BCH M（图）6017 时， MNC 为等腰三角形98 如图 1，在等腰梯形 ABCD 中， AD BC ， E 是 AB的中点，过点E 作 EF BC 交 CD 于点 F AB4，BC6，B60 .（ 1）求点 E 到 BC 的距离；（ 2）点 P 为线段 EF 上的一个动点，过 P 作 PMEF 交 BC 于点 M ，过 M 作 MN AB 交折线 ADC 于点 N ，连结 PN ，设 EPx .15当点 N 在线段 AD上时（如图 2），PMN 的形状是否发生改变？若不变，求出 P

17、MN 的周长；若改变，请说明理由；当点 N 在线段 DC 上时（如图3），是否存在点 P ，使 PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由 .NADADADNEFEPFEPFBC BC BCMM图 1图 2图 3AD（第 25 题） ADEFEFBCBC图 4（备用）图 5（备用）16解（ 1）如图 1，过点 E 作 EGBC 于点 G1 分 E 为 AB 的中点，BE1 AB2 2在 Rt EBG 中， B60 ， BEG30 2 分ADEFBC G图 1BG1 BE 1， EG22 1232即点 E 到 BC 的距离为3 3 分（ 2）当点 N 在线段

18、 AD 上运动时， PMN 的形状不发生改变PMEF， EGEF， PM EGEF BC， EPGM，PMEG3同理 MN AB44 分如图 2，过点P 作 PHMN 于 H ， MN AB，NMCB60 ，PMH 30 PH1 PM3 22MHPM gcos3032NHMNMH 435 则22NADPEFHBC G M图 22253PNNH 2PH 27在 Rt PNH 中，22 PMN 的周长 = PMPNMN37 4 6 分当点 N 在线段 DC 上运动时，PMN 的形状发生改变，但MNC恒为等边三角形17当 PMPN 时，如图 3，作 PR MN 于 R ，则 MR NRMR3类似，2

19、 MN 2MR 37 分 MNC 是等边三角形， MCMN3此时， xEPGMBCBGMC6 1328 分ADADADPNPEFEFEF （P）RNNBGMCBMCBCGGM图 3图 4图 5当 MPMN 时，如图 4，这时 MCMNMP3此时， xEPGM6 1353当 NPNM 时，如图 5， NPMPMN30 则PMN120 ， MNC60 ，又 PNM MNC180 因此点 P 与 F 重合， PMC 为直角三角形 MC PM gtan301此时， x EP GM 6 1 14综上所述，当 x2 或 4 或 53 时， PMN 为等腰三角形 10分9 如图，正方形ABCD 中，点 A、

20、B 的坐标分别为（ 0， 10），（ 8，4），点 C 在第一象限 动点 P 在正方形 ABCD 的边上，从点 A 出发18沿 ABCD 匀速运动，同时动点 Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动，当P 点到达 D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒(1)当 P 点在边 AB 上运动时，点 Q 的横坐标 x （长度单位）关于运动时间 t（秒）的函数图象如图所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点 P 运动速度；(2)求正方形边长及顶点C 的坐标；(3)在（ 1）中当 t 为何值时， OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标；(4)如果点 P、Q 保持原速度不变，当点P 沿 ABCD 匀速运

21、动时， OP 与 PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由19解：（1） Q （1，0）1 分点 P 运动速度每秒钟1 个单位长度2 分（ 2） 过点 B 作 BFy 轴于点 F ， BE x 轴于点 E ，则 BF 8，OF BE 4 AF 10 4 6 yD在 RtAFB 中， AB8262103 分CAPC 作 CG x轴于点 G ，与 FB 的延长线交于点过点H M ABC 90 , AB BC ABF BCH BH AF 6, CH BF 8 OGFH8614,CG8412FBHO N Q EG x所求 C 点的坐标为（ 14，12）4 分（ 3） 过点

22、P 作 PMy 轴于点 M ，PN x 轴于点 N，则 APM ABF APAMMPtAMMPABAFBF 1068AM3 t，PM4 tPNOM10 3 t, ON PM4 t55 55 设 OPQ 的面积为 S （平方单位）S1(10 3 t)(1t) 547 t3 t 2分2510 10 （0t ）510说明 :未注明自变量的取值范围不扣分4747t10336a2)10 0当(时， OPQ 的面积最大 610分209453此时 P 的坐标为（ 15 ， 10） 7 分5295（ 4） 当tt时，OP 与 PQ 相等 9 分3 或1310 数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形 ABC

23、D 是正方形，点 E 是边 BC 的中点 AEF 90o ，且 EF 交正方形外角 DCG 的平行线 CF 于点 F，求证： AE=EF经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点 M ，连接 ME，则 AM=EC ，易证 AME ECF ，所以 AEEF 在此基础上，同学们作了进一步的研究：（ 1）小颖提出：如图 2，如果把“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 上（除 B，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“ AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图 3，点 E 是 BC 的延长线

24、上（除 C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“ AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确， 写出证明过程；如果不正确，请说明理由FADADADFFBECGBECGBC E G图 1图 2图 32122解：（1）正确（1 分）证明：在 AB 上取一点 M ，使 AM EC ，连接 ME A（2 分）DBME45AMEMFBM BE 135，Q CF 是外角平分线，BECGDCF45，ECF135AMEECF Q AEBBAE 90AEBCEF90，BAECEF AME BCF （ASA ）（5 分）AE EF （6 分）（ 2）正确（7 分）证明：在 BA 的延长线上取一点 N

25、使 ANCE ，连接 NE （8 分）NFADBNBE NPCE 45BC E GQ 四边形 ABCD 是正方形，AD BE DAEBEA NAECEF ANE ECF （ASA ）（10 分）AEEF （11 分）2311 已 知 一 个 直 角 三 角 形 纸 片 OAB ， 其 中AOB90，OA2，OB4 如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点 C ，与边 AB 交于点 D （）若折叠后使点B 与点 A 重合，求点y C 的坐标；BxOA（）若折叠后点 B 落在边 OA 上的点为 B ，设 OBx ， OCy ，y试写出 y 关于 x 的函数解析式，并确

26、定 y 的取值范围；BxOA（）若折叠后点 B 落在边 OA 上的点为 B ，且使 B D OB ，求此时点 C 的坐标yB解（）如图，折叠后点B 与点 A 重合， xOA则 ACD BCD .24设点 C 的坐标为0，mm0 .则 BC OB OC 4 m .于是 ACBC4m .在 Rt AOC 中，由勾股定理，得 AC 2OC 2OA 2 ，2322m即 4 mm2，解得2 .30，4 分点 C 的坐标为2 .（）如图，折叠后点B 落在 OA 边上的点为 B ,则 B CD BCD .由题设 OBx， OCy ，则 B CBCOBOC4 y ，在 Rt B OC 中，由勾股定理，得 B

27、C 2OC 2OB 2.4 y2y2x2，y1 x226 分即8由点 B 在边 OA 上，有 0 x 2，y1 x22 0 x 2为所求 .解析式8Q 当 0 x 2 时， y 随 x 的增大而减小，3 y 2y 的取值范围为 2.7 分（）如图，折叠后点B 落在 OA 边上的点为 B ，且 B D OB .则OCBCB D .又QCBDCB D，OCBCBD ，有 CB BA .25RtCOB RtBOA .OBOC有 OAOB ，得 OC2OB .9 分在 Rt B OC 中，设 OBx0 x0 ，则 OC 2x0 .2x01 x202由（）的结论，得8，解得 x08 4 5Q x0 0， x08 4 5 .点 C 的坐标为0，8 516 . 10 分12 问题解决如图（ 1），将正方形纸片 ABCD 折叠，使点 B 落在FA MDECD 边上一点 E（不与点 C ，D 重合），压平后得