信号与系统第11讲-从离散周期信号傅里叶级数到离散时间傅里叶变换

1、第十一讲第十一讲 从离散周期信号傅里从离散周期信号傅里 叶级数到离散时间傅里叶变换叶级数到离散时间傅里叶变换 信息与通信工程系信息与通信工程系 2014-04 内容提要内容提要 离散时间周期信号的傅里叶级数 离散时间傅里叶变换 离散时间傅里叶变换的收敛问题 离散时间周期信号的傅里叶变换 常用傅里叶变换对 内容提要内容提要 离散时间周期信号的傅里叶级数 离散时间傅里叶变换 离散时间傅里叶变换的收敛问题 离散时间周期信号的傅里叶变换 常用傅里叶变换对 特征函数和特征值特征函数和特征值 nkn kk zy nh k x nkh k zz k k H zh k z 令： nn zH z z 可得： 特

2、征函数 特征值 n kk k x na z () nn kkk zH zz () n kkk k y na H zz 离散时间傅里叶级数变换对离散时间傅里叶级数变换对 x nx nN N (2/)jN n e (2/)jkN n k ne nn kNk 2 jkn N k kN x na e ? 2 jkn N k kN x na e 2 1 jkn N k nN ax n e N 离散时间傅里叶级数变换对离散时间傅里叶级数变换对 2 jkn N k kN x na e 2 1 jkn N k nN ax n e N 综合公式 分析公式 离散时间傅里叶级数是一个有限项级数， 综合公式中只有N个

3、独立的谐波分量 称为频谱系数，它满足k a kk rN aa 如果xn是实信号，则有 * kk aa 举例：正弦信号举例：正弦信号 0 sinx nn 0 2 5 (2/5)(2/5) 211 sin 522 jnjn x nnee jj 0 2 3 5 3(2/5)3(2/5) 211 sin3 522 jnjn x nnee jj 举例：离散时间周期方波举例：离散时间周期方波 1 1 2 1 N Nn nNjk k e N a 1 1 1 2 2 0 1 N m n N jkNm N m e N 1 1 2 22 0 1 N jkN NjkN m m ee N 1 1 221 / 2 2/

4、 11 1 jkNN jkN N jkN e e Ne 111 1 221 /(2)221 /(2)221 /(2) 2 2/(2)2/(2)2/(2) 1 jkNNjkNNjkNN jkN N jkNjkNjkN eee e Neee 1 sin 21/2 / 1 sin/ k NN NkN 0, 2,.kNN 1 21 , 0, 2,. k N akNN N 举例：离散时间周期方波举例：离散时间周期方波 1 sin 21/2 / sin/ k k NN Na kN 举例：离散时间周期方波举例：离散时间周期方波 几点讨论： 1) sin sin x x kk N aa 1 2 sin21/2

5、 1 sin/2 k k N N a N 2) * , kkkk aaaa 3) 有效带宽 (第一零点带宽)： 1 21/2 /k NN 1 21 N k N 即：该信号的有效带宽与占空比成反比 内容提要内容提要 离散时间周期信号的傅里叶级数 离散时间傅里叶变换 离散时间傅里叶变换的收敛问题 离散时间周期信号的傅里叶变换 常用傅里叶变换对 非周期信号傅里叶变换的导出非周期信号傅里叶变换的导出 非周期信号傅里叶变换的导出非周期信号傅里叶变换的导出 引入记号： 则有： 非周期信号傅里叶变换的导出非周期信号傅里叶变换的导出 将该结果代入傅里叶级数综合公式，可得： :N 0 d 00 ()() jkj

6、knjj n X eeX ee 2 kN x nx n 非周期信号傅里叶变换的导出非周期信号傅里叶变换的导出 综合公式 (反变换) 2 2 1 deeXnx njj n njj enxeX 分析公式 (正变换) 关于离散时间傅里叶变换的几点说明关于离散时间傅里叶变换的几点说明 1. 综合公式表明，非周期信号可以表示为一 组复指数信号的线性组合，这些复指数信号 出现在连续频率上，其复振幅为 ()/2 j X ed 2. 称为频谱密度，它反映了各个频率 分量的相对复振幅。频谱密度也简称为频谱 () j X e 3. 周期信号的傅里叶级数可以用与其相应的 非周期信号傅里叶变换的样本来表示 4. 离散

7、时间傅里叶变换 以 为周期，且 综合公式的积分区间为有限区间 () j X e 2 内容提要内容提要 离散时间周期信号的傅里叶级数 离散时间傅里叶变换 离散时间傅里叶变换的收敛问题 离散时间周期信号的傅里叶变换 常用傅里叶变换对 离散时间傅里叶级数的收敛问题离散时间傅里叶级数的收敛问题 2 jkn N k kN x na e 2 1 jkn N k nN ax n e N 综合公式 分析公式 不存在收敛问题 没有吉伯斯现象 离散时间傅里叶变换的收敛问题离散时间傅里叶变换的收敛问题 综合公式 (反变换) 2 2 1 deeXnx njj n njj enxeX 分析公式 (正变换) 分析公式收敛

8、条件：信号xn是绝对可 积或者能量有限的。 综合公式不存在收敛问题，也没有吉伯 斯现象存在。 内容提要内容提要 离散时间周期信号的傅里叶级数 离散时间傅里叶变换 离散时间傅里叶变换的收敛问题 离散时间周期信号的傅里叶变换 常用傅里叶变换对 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换 考虑一个离散时间信号，其傅里叶变换为： 0 22 j l X el 0 2 1 22 2 j n l x nl ed 因此，若： 则： 0 jn e 2 jkn N k kN x na e 0 1 202 2 2(1)2 j l N l X eal aNl N 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换 0 1 202

9、 2 2(1)2 j l N l X eal aNl N k k j N k aeX 2 2 内容提要内容提要 离散时间周期信号的傅里叶级数 离散时间傅里叶变换 离散时间傅里叶变换的收敛问题 离散时间周期信号的傅里叶变换 常用傅里叶变换对 单边指数序列单边指数序列 单边指数序列单边指数序列 低通滤波器高通滤波器 双边指数序列双边指数序列 | | , | | 1 n x naa 1 | | 0 () jnj nnj nnj n nnn X ea ea ea e 01 ()() jnjm nm aeae 1 11 j jj ae aeae 2 2 1 12 cos a aa 单位脉冲序列单位脉冲序列 常数序列常数序列 0 22 j l X el 0 jn x ne 所以： 1x n 22 j l X el 矩形脉冲序列矩形脉冲序列 sinc序列序列 考虑一个信号xn，其傅里叶变换为