华理高数全部复习资料之微分方程

1、第 9章 微分方程内容提要. 基本概念1.微分方程:表示未知函数及其导数与自变量之间的关系的方程 ,称为微分方程 .2.微分方程的阶 :微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数 , 称为微分方程的阶 .3.微分方程的解 :代入微分方程能使其两端成为恒等式的函数 , 称为微分方程的解 （这 个函数的图形 , 称为该微分方程的积分曲线 ）.4.微分方程的通解 : 如果微分方程的解中含有独立的任意常数 , 且任意常数的个数与微 分方程的阶数相同 , 那么这样的解称为微分方程的通解 .5.微分方程的初始条件 :确定通解中任意常数的条件 , 称为微分方程的初始条件 .6.微分方程的特解 : 不含有任意常数的

2、微分方程的解 , 称为微分方程的特解 . 微分方程的类型及其解法1. 一阶微分方程方程类型标准形式求解方法变量可分离dy f (x) g( y)dxdyf ( x)dx Cg(y)齐次型方程dyf ydxf xuy令 x , 代入得du f (u ) udx x , 再分离变量一阶线性微分方 程y P(x)y Q(x)方法一:常数变易法方法二: 公式法y e Q(x)e dx C贝努利方程dy P(x)y Q(x)yn dx(n 0,1)1n令z y1 n化为一阶线性方程 dz (1 n)P(x)z (1 n)Q(x) dx后再求解2.高阶微分方程(1) 可降阶的高阶微分方程 .典型形式求解方

3、法y(n) f (x)两边经过 n 次积分即可yf(x, y )dpy p,y令 dx(不显含未知函数 y)dp f(x, p) 得 dx 为一阶微分方程，再求解y f (y,y )dp dp dy dp y p,y p 令 dx dy dx dy(不显含自变量 x)dp p f(y,p) 得 dy 为一阶微分方程，再求解(2) 二阶线性微分方程的解结构记二阶线性微分方程(1)y P(x)y Q(x)y f (x)对应的齐次方程为 y P(x)y Q(x)y 0(2)若 y 为(1) 的一个特解 , y1, y2为(2) 的两个线性无关的特解 , 则c1y1 c2y2为(2) 的通解y c1y

4、1 c2y2为(1) 的通解 .注: 对于n阶线性微分方程的解结构也有类似结论 .(3) 二阶常系数线性齐次微分方程的解法(3)y py qy 0 ( p,q为常数 )首先写出对应于该方程的特征方程解此方程，求出两特征值 1, 2, 根据 1, 2的不同情形按下表写出通解 .1, 2通解两个不相同的实根 1, 2y c1e 1 x c2e 2 x两个相的实根 1 2y (c1 c2x)e 1x一对共轭复根 iy e x (c1 cos x c2 sin x)(4) n 阶常系数线性齐次微分方程的解法以上结论可推广至 n 阶常系数线性齐次微分方程(4)y(n) p1y(n1) p2y(n 2)p

5、n 1y pny 0其中 pi (i 1,2,3, ,n) 为常数.n n 1 n 2根据特征方程p1p2pn 1pn 0的根的四种情况 , 分别写出对应的解：a)为特征方程的单重实根 ,(4) 有相应的一个解 e xb)x x k 1 x 为特征方程的 k重实根, (4) 有相应的k个解ex,xex, ,xk 1exc)a bi 为特征方程的单重复根 ,(4) 有相应的两个解 eax cosbx,eax sinbxd)a bi 为特征方程的 k 重共轭复根 ,(4) 有相应的 2k 个解ax ax ax ax k 1 ax k 1 axe cosbx,e sin bx, xe cos bx,

6、 xe sin bx, ,x e cosbx, x e sinbx若记以上求出的 n个解为 y1(x), y2(x), ,yn(x), 则( 4)的通解就是c1y1(x) c2y2(x)cn yn(x)(5) 二阶常系数线性非齐次微分方程的解法y py qy f (x) (f (x) 0)(5)其中p,q为常数. 方程(5)的解法:首先求出(5)对应的齐次方程 (3)的通解 c1y1 c2y2,再求出(5)的一个特解 y*,则(5)的通解为 y y* c1y1 c2y2而y 的求法如下:当 f(x) 为某些特殊类型函数时 ,用待定系数法求 y .a) f (x) e Pm(x), 其中 为常数

7、, Pm(x)为x的m次多项式则可设(5)的特解为 y x Qm(x)e(6)0, 不是 (3)的特征方程的根 ; 是 (3)的特征方程的单根 ; 其中 2, 是 (3)的特征方程的二重根 ;k 1,Qm(x)为与Pm(x)同次的多项式 .将(6) 代入(5) 比较系数可求出 Qm(x) ,从而求出 y*.b) f (x) e x Pl (x)cos x Pn(x)sin x其中 , 均为常数, Pl , Pn (x)分别为 l次, n次多项式.则 (5) 的特解可设为(7)y* xke x Qm(x)cos x Rm(x)sin x0,i 不是(3)的特征方程的根k其中 1,i 是(3)的特

8、征方程的单重根Q m ( x ), Rm ( x)为m次多项式, m max l,n 将(7) 代入(5) 比较同类项系数可求出 Qm(x),Rm(x), 从而求出 y*.复习指导：第 9 章 微分方程学习指导一解微分方程的方法 解微分方程的问题一般分求通解和求特解两类，需要求特解时，先求其通解，然后将已知的初始 条件代入通解，确定任意常数，得到特解。求通解时首先要判断微分方程的类型，然后对不同类型的方程用不同 的方法去解。所学的微分方程分类如下阶 微 分 方 程变量可分离 : ddxy f (x) g(y)dy f y 齐次型方程 : dx x一阶线性微分方程 : y P(x)y Q(x)贝

9、努利方程 : ddyx P(x)y Q(x)yn (n 0,1)高 阶 微 分 方 程可降阶的高阶微分方程常系数线性微分方程y py qy f(x) ( p, q为常数 )y(n)f (x)y f (x,y ) (不显含未知函数 y)y f (y,y )(不显含自变量 x)常系数 线性 齐 次微分 方程二阶常系数线性齐次微分方程y py qy 0n阶常系数线性齐次微分方程(n) ( n 1) (n2)y(n)p1y(n1)p2y(n2)pn1y pny0常系数 线性 非 齐次 微 分方程 (二阶)f(x) e Pm(x)的情况 , 其中 为常数 ,Pm(x)为 x 的 m 次多项式f (x) e x Pl (x)cos x Pn (x) sin x 的情况 , 其中 , 均为常数 , Pl ,Pn (x) 分别为 l 次, n 次多项式 .