上海极限教材解析10

1、仅供个人参考课 题：2.4极限的四则运算(三)教学目的:1 熟练运用极限的四则运算法则，求数列的极限.2 理解和掌握三个常用极限及其使用条件培养学生运用化归转化和分类 讨论的思想解决数列极限问题的能力.3 正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从 量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想4. 掌握无穷等比数列各项的和公式.教学重点：使用极限四则运算法则及 3个常用极限时的条件教学难点：使用极限四则运算法则及 3个常用极限时的条件 授课类型：新授课.课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪*教学过程：一、复习引入：1. 数列极限的定义：一般地，如果当项数 n无限增大时，无穷

2、数列an的项an无限趋近于 某个常数a，那么就说数列an以a为极限.记作lim an a.n2. 几个重要极限：1(1) lim 0(2) lim C C (C是常数)n nn(3)无穷等比数列qn ( q 1)的极限是o，即lim qn0(q 1) *3. 函数极限的定义：(1)当自变量x取正值并且无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于正无穷大时，函数f (x)的极限是a.记作：lim f (x)= a，或者当 xt+s时，f (x) ta.x(2) 当自变量x取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于负无穷大时，函数 f (x

3、)的极限是a.记作 lim f (x)=a 或者当 xts时，f (x) ta.x(3) 如果lim f (x)=a且lim f (x)=a，那么就说当x趋向于无穷大时，函xx数f (x)的极限是a,记作：lim f (x)=a或者当xts时，f (x)ta.x4. 常数函数 f(x)=c.(x R)，有 Iimf(x)=c.xlim f(x)存在，表示lim f(x)和lim f(x)都存在，且两者相等.所以lim f(x)XXXx中的g既有+8,又有一g的意义，而数列极限lim an中的s仅有+s的意义-x5. 趋向于定值的函数极限概念：当自变量 x无限趋近于X。( x X。)时,如果函数

4、yf (x)无限趋近于一个常数 a，就说当X趋向X。时，函数y f (x)的极限是a，记作lim f (x) a +特别地，lim C C ； lim x x。X XqXX。XX。6. lim f (x) a lim f (x) lim f (x) aXX。X XoX Xo其中lim f(x) a表示当x从左侧趋近于x0时的左极限，lim f(x) a表 XX。XX)示当x从右侧趋近于x0时的右极限+7. 对于函数极限有如下的运算法则：如果 lim f (x) A, lim g(x) B ,那么 lim f (x)g(x) A B ,XX。XXXX。f (x) Alim f (x) g(x)

5、AB, lim(B 0)-XX。XX。g(x) B当 C 是常数，n是正整数时：limCf(x) Climf(X),limf (x)n lim f(x)nx Xox Xx XoXX这些法则对于X的情况仍然适用*8数列极限的运算法则：与函数极限的运算法则类似，如果lim anA,lim bnB,那么nnlim (an bn) A Blim (an bn) A Bnna A lim(an.bn)A.B lim n (B 0)nn bn B二、讲解范例：(一)运用极限的四则运算法则求数列的极限2例 1 求 lim (1 -)100.(利用公式法，lim :f(x): n= : lim f(x): n

6、.)不得用于商业用途仅供个人参考0不得用于商业用途解: lim(1 2)100 lim(1 -)1001 1001x x x xx211例 2 lim 飞.(利用 lim - =0)xx2x 1 x xn解:解:lim亠x 0 xlim x(、x2 1Xlim x( x21X.(分子有理化法.)lim x 0 x (i x 1 1)lXmo .X11 1.X21) (分子有理化法)X21)limX2xX21 X21limx 彳1 彳11 2 . 1 2 X X例5求下列有限：(1) lim-2n 3n 1(2)limn n 1分析：(1) (2)当n无限增大时，分式的分子、分母都无限增大,都没

7、有极限，上面的极限运算法则不能直接运用1 lim(2 -) n n1 lim(3 -) n nlim -n n1 lim(1 2) n n解: (1) limn(2) limn2n 13n 1nn2 1分子、分母1 lim 2 lim n n n1 lim3 lim n n nlimn仅供个人参考（二）先求和再求极限 例6求下列极限：2)-2n KH n171n(2Imn171ImnIm!= n丄3nn2 - 32Imnlirrl(3n-412ImKH nlimn357L(2n2 n12)lim(n124K2n139K311-129=29(1不得用于商业用途（三）公比绝对值小于 1的无穷等比数

8、列前 n项和的极限公比的绝对值小于1的无穷等比数列前 n项的和，当n无限增大时的极 限，叫做这个无穷等比数列各项的和设无穷等比数列aaiq,aiq2, ,aiqn 1,的公比q的绝对值小于1，则其各项的和S为 S 一 （q 1）1 q例7求无穷等比数列0.3，解：0.3，0.03， 0.003，所以 s=0.3+ 0.03+ 0.003+0.03 , 0.003，各项的和.的首项 印 0.3，公比q 0.10.31., , 1 0.13。 O例8将无限循环小数0.29化为分数.解: 0.& 0.290.0029 0.00002911021104106 L)1 1022999三、课堂练习1 .求

9、下列极限仅供个人参考不得用于商业用途lim(2x 3) ；( 2) lim(2x2 3xx _21);(3) lim(2x 1)(x43);(4)(7)2x212；(5)X1 ；(6) lim x25x_6 ；x 3x2 91 3x24x1x 1 x12x2x2；(8) lim2y2y3x33 yV-3x215-23492/3-21/600.答案:limxlimx 112.已知liman=2，limbn=3，求下列极限.(1) lim (2an+3bn 1)nlim乩空nanbn解：(1) lim (2an+3bn1)= lim (2an)+ lim (3bn) limnnnn1=2 lim

10、an+3lim bn 仁2 2+3 ()仁2.nn、3lim並bnn anlim (an bn)nbn lnim(an bn)lim anlim bnnnlim bnnlim ann2(i13.求下列极限：(1)lnim(5利(2)limn3n2 2n 13n2 2n解: (1)lim(5 2)n nlim 5nlim5.3n2 2n 1 nimp=3 limn丄2 n 3 2 nlim3 lim2n n nlim-7 n nlim( 3) limn n n4.求下列无穷等比数列各项的和:(1)82 139, 3,2, 8(2) 6-,-，,3 3 15 75答案：(1)32/63 (2) 5

11、/6。 05.化循环小数为分数：（1） 0.270 0(2) 0.306答案：（1）3/11 （2）34/111四、小结：在函数或数列的极限都是存在的前提下，才能运用极限的运算法则进行计 算；当n无限增大（或x无限的趋向于某值）时，分式的分子、分母都无限增 大，分子、分母都没有极限（分式的分子、分母都趋向于0）,则极限运算法则不能直接运用；无穷等比数列各项的和公式；化循环小数为分数的方法.五、课后作业：1.(13) limx3x x42； (14)x 3x 1/）2 ；（limx3x211x621 2x 5x 3(16) limx3x222x11x 6 ; (17) lim5x 3x 02x2

12、 Q 3x x 6x23 ; (18) lim5x2 3x3 xx x2 6x32x 5x2 3x3(15) 1/3(16) 3/2(17) 1/2(18) 2（13） 0（14） 92.求下列无穷等比数列各项的和:(1)3 1,3 11，, 31, (2) 123x, x , x ,答案:(1)-1 x六、板书设计（略）1（当x=0时，原式=1,否则 原式=）1 x七、课后记:仅供个人参考仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden