圆幂定理讲义

1、圆幕定理STEP 1进门考理念：1.检测垂径定理的基本知识点与题型2. 垂径定理典型例题的回顾检测。3. 分析学生圆部分的薄弱环节。(1)例题复习1. (2015夏津县一模)一副量角器与一块含 30锐角的三角板如图所示放置，三角板的直角顶点C落在量角器的直径MN上，顶点A, B恰好都落在量角器的圆弧上，且 AB/ MN .若AB=8cm,则量角器的直径 MN=cm.MC N【考点】M3 :垂径定理的应用； KQ:勾股定理；T7:解直角三角形.【分析】作CD丄AB于点D,取圆心O,连接OA,作OE丄AB于点E,首先求得 CD的长，即OE的长，在直角厶AOE中，利用勾股定理求得半径OA的长，贝U

2、MN即可求解.【解答】 解：作CD丄AB于点D，取圆心 O,连接OA，作OE丄AB于点E.在直角 ABC中，/ A=30,贝U BC丄AB=4cm, 在直角 BCD中，/ B=90 -Z A=60 ,2 CD=BCsinB=4X 唾=2養(cm),/ OE=CD=5,2在厶 AOE 中，AE=-AB=4cm,2则 OA=严 y 1= | =2：；.： J (cm), 则 MN=2OA=4 甘 f (cm). 故答案是：4；i .Mo C N【点评】本题考查了垂径定理的应用，在半径或直径、弦长以及弦心距之间的计算中，常用的方法是转化为解直角三角形.2. （2017阿坝州）如图将半径为2cm的圆形

3、纸片折叠后，圆弧恰好经过圆 心O,贝朋痕AB的长为（）A. 2cmB. ；cm C. 2 ncmD. 2 :cm【考点】M2 :垂径定理；PB:翻折变换（折叠问题）.【分析】 通过作辅助线，过点 O作OD丄AB交AB于点D,根据折叠的性质可知 OA=2OD, 根据勾股定理可将 AD的长求出，通过垂径定理可求出AB的长.【解答】 解：过点O作OD丄AB交AB于点D,连接OA,/ OA=2OD=2cm，二 AD=|.- /= : ； （cm）,/ OD丄AB, AB=2AD=2. _；cm.故选：D.【点评】 本题考查了垂径定理和勾股定理的运用，正确应用勾股定理是解题关键.3. （2014泸州）如

4、图，在平面直角坐标系中，。 P的圆心坐标是（3, a）（a3）,半径为3,函数y=x的图象被。P截得的弦AB的长为:,则a的值是（)%丿70HA. 4B.丐习C.：；打D. -+ :【考点】M2 :垂径定理；F8: 次函数图象上点的坐标特征；KQ:勾股定理.【专题】11 :计算题；16 :压轴题.【分析】PC丄x轴于C,交AB于D,作PE丄AB于E,连结PB,由于 OC=3, PC=a易得 D点坐标为（3, 3）,则厶OCD为等腰直角三角形， PED也为等腰直角三角形.由PEIAB,根据垂径定理得 AE=BE丄AB=2血，在 RtA PBE中，利用勾股定理可计算出PE=1,则PD= PE= :

5、,所以 a=3+. :.【解答】解：作PC丄x轴于C,交AB于D,作PE AB于E,连结PB,如图，TO P的圆心坐标是(3, a),0C=3, PC=a把x=3代入y=x得y=3, D点坐标为(3, 3), CD=3, OCD为等腰直角三角形，PED也为等腰直角三角形，/ PE 丄 AB, AE=BEABj X 4 =2 ：, 在 RtA PBE 中，PB=3,考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质.故选：B.并且平分弦所对的两条弧也4. (2013内江)在平面直角坐标系xOy中，以原点0为圆心的圆过点A( 13,0),直线y=kx- 3k+4与O 0交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为 .

6、【分析】根据直线y=kx- 3k+4必过点D (3, 4)，求出最短的弦 CB是过点D且与该圆直径 垂直的弦，再求出 OD的长，再根据以原点 O为圆心的圆过点 A (13, 0),求出OB的长, 再利用勾股定理求出 BD,即可得出答案.【解答】 解：t直线 y=kx- 3k+4=k (x- 3) +4, k (x- 3) =y- 4,T k 有无数个值， x- 3=0, y - 4=0，解得 x=3, y=4,直线必过点 D (3, 4),最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，t点D的坐标是(3, 4), OD=5,以原点0为圆心的圆过点 A （13, 0）,圆的半径为13,0B=13,

7、BD=12, BC的长的最小值为 24; 故答案为：24.【点评】此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质,关键是求出BC最短时的位置.STEP 2新课讲解1、熟练掌握圆幕定理的基本概念。2、熟悉有关圆幕定理的相关题型，出题形式与解题思路3、能够用自己的话叙述圆幕定理的概念。4、通过课上例题，结合课下练习。掌握此部分的知识。、相交弦定理相交弦定理一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）.（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.几何语言：若弦 AB、CD交于点P,贝U PA?PB=PC?PD（相交弦定理）（2 ）推论：如果弦与直径

8、垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.几何语言：若 AB是直径，CD垂直AB于点P，贝U PCPA?PB（相交弦定理推论）.基本题型：【例1】（2014秋?江阴市期中）如图，OO的弦AB、CD相交于点P,若AP=3,BP=4, CP=2 贝U CD 长为（）【考点】【专题】【分析】从而得出【解答】8D.不能确定M7 :相交弦定理.11 :计算题.由相交线定理可得出 AP?BP=CP?DP再根据AP=3, BP=4, CP=2可得出PD的长, CD即可.解： AP?BP=CP?DP pd=-CP/ AP=3, BP=4, CP=2 PD=6, CD=PC+PD=2+6=8故选

9、C.【点评】 本题考查了相交线定理，圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等.【练习1】（2015?南长区一模）如图，矩形ABCD为O O的内接四边形，AB=2,BC=3点E为BC上一点，且BE=1,延长AE交。O于点F,则线段AF的长【考点】【分析】【解答】C.竹1 D.M7 :相交弦定理.由矩形的性质和勾股定理求出AE,再由相交弦定理求出EF,即可得出AF的长.解：四边形 ABCD是矩形，:丄 B=90, AE= 1,AE V55 EF/ BC=3, BE=1,. CE=2 由相交弦定理得：AE?EF=BE?CE AF=AE+EF丄-；故选：A.【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、

10、相交弦定理；熟练掌握矩形的性质和相交弦定理，并能进行推理计算是解决问题的关键.综合题型【例2】 （2004?畐州）如图，AB是。O的直径，M是。O上一点，MN丄AB, 垂足为N. P、Q分别是J、 上一点（不与端点重合），如果/ MNP=ZMNQ,下面结论：/ 1 = / 2;/ P+Z Q=180;/ Q=Z PMN;PM=QM; mn2=pn?qn其中正确的是（）A.B.C D.【考点】M7 :相交弦定理；M2 :垂径定理；M4 :圆心角、弧、弦的关系；M5 :圆周角定理；S9:相似三角形的判定与性质.【专题】16 :压轴题.【分析】根据圆周角定理及已知对各个结论进行分析，从而得到答案.【

11、解答】 解：延长MN交圆于点 W，延长QN交圆于点E，延长PN交圆于点F，连接PE， QF/Z PNM=Z QNM，MN 丄 AB，Z 1 = Z 2 （故正确），/Z 2与Z ANE是对顶角， Z 1 = Z ANE，/ AB是直径，可得 PN=EN,同理NQ=NF，/点 N 是 MW 的中点，MN?NW=MN 2=PN?NF=EN?NQ=PN?QN（故正确）， MN : NQ=PN: MN，/Z PNM=Z QNM， NPMs NMQ， Z Q=Z PMN （故正确）.故选B.【点评】 本题利用了相交弦定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理求解.与代数结合的综合题【例3】（2016?中山市

12、模拟）如图，正方形 ABCD内接于。O,点P在劣弧AB上，连接DP,交AC于点Q若QP=QO,的值为（A.严八i B. ；C.、洱 V, D.:【考点】M7 :相交弦定理；【专题】【分析】KQ:勾股定理.ID解得所以,QC 二计nt 二逅+1QA 匸f3-1 +2故选D.-m11 :计算题.设O O的半径为r，QO=m，贝U QP=m，QC=r+m，QA=r-m.利用相交弦定理，求 出m与r的关系，即用r表示出m，即可表示出所求比值.【解答】 解：如图，设O O的半径为r，QO=m，贝U QP=m，QC=r+m,QA=r- m.在O O中，根据相交弦定理，得 QA?QC=QP?QD2 即（r

13、- m）（r+m） =m?QD，所以 QD=ID连接DO，由勾股定理，得 QD2=DO2+QO2，【点评】本题考查了相交弦定理，即圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”.熟记并灵活应用定理是解题的关键.需要做辅助线的综合题【例4】（2008秋?苏州期末）如图，O O过M点，O M交O O于A,延长O O 的直径AB交O M于C,若AB=8, BC=1,则AM=.【考点】M7 :相交弦定理；KQ:勾股定理；M5 :圆周角定理.【分析】 根据相交弦定理可证 AB?BC=EB?BF=( EM+MB)( MF- MB) =AM2-MB2=8,又由 直径对的圆周角是直角，用勾股

14、定理即可求解AM=6.【解答】解：作过点M、B的直径EF,交圆于点E、F,贝U EM=MA=MF ,由相交弦定理知， AB?BC=EB?BF( EM+MB)( MF - MB) =AM2- MB2=8,/ AB是圆O的直径，/ AMB=90 ,由勾股定理得，AM 2+MB2=AB2=64, AM=6 .【点评】 本题利用了相交弦定理，直径对的圆周角是直角，勾股定理求解.二、割线定理割线定理害熾定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积 相等.几何语言： PBA, PDC是O O的割线 PD?PC=PA?PB(割线定理)由上可知：PT2=PA?PB=PC?PD基本

15、题型【例5】(1998?绍兴)如图，过点P作O O的两条割线分别交O O于点A、B 和点C D,已知PA=3 AB=PC=2则PD的长是()【考点】MH :切割线定理.【分析】由已知可得PB的长，再根据割线定理得PA?PB=PC?PD!卩可求得PD的长.【解答】解：I PA=3, AB=PC=2 PB=5,/ PA?PB=PC?PD PD=,故选B.【点评】主要是考查了割线定理的运用.【练习 2】（2003?天津）如图，RtAABC中，/ C=90 , AC=3, BC=4,以点 C 为 圆心、CA为半径的圆与 AB BC分别交于点D、E.求AB AD的长.【考点】MH :切割线定理；KQ：勾

16、股定理.AB的长;【分析】RtA ABC中，由勾股定理可直接求得延长BC交O C于点F,根据割线定理，得 BE?BF=BD?BA由此可求出BD的长，进而可求得AD的长.【解答】 解：法1:在RtAABC中，AC=3, BC=4; 根据勾股定理，得 AB=5.延长BC交O C于点F，则有：EC=CF=AC=（ O C 的半径），BE=BC- EC=1，BF=BC+CF=7 由割线定理得，BE?BF=BD?BA于是BD亠二丄;1 a所以AD=AB- BD=;5法2:过C作CM丄AB,交AB于点M，如图所示,由垂径定理可得 M为AD的中点， Saabc=AC?BC丄AB?CM，且 AC=3, BC=

17、4, AB=5, 2 2 CM=!,5在RtA ACM中，根据勾股定理得:解得：AM=：,5AC2=AM2+CM2，即卩 9=AM2+2 AD沁二.【点评】此题主要考查学生对勾股定理及割线定理的理解及运用.综合题型【例6】(2015?武汉校级模拟)如图，两同心圆间的圆环的面积为16n,过小圆上任意一点P作大圆的弦AB,则PA?PB的值是()A. 16 B. 16 n C. 4 D. 4n【考点】MH :切割线定理.【分析】过P点作大圆的直径 CD,如图，设大圆半径为 R,小圆半径为r，根据相交弦定理 得到 PA?PB=( OC- OP) ? ( OP+OD =RF - r2，再利用 nR- n

18、?=16 n 得到 R2 - r2=l6,所以 PA?PB=16【解答】 解：过P点作大圆的直径 CD,如图，设大圆半径为 R,小圆半径为r,/ PA?PB=PC?PD PA?PB= (OC- OP) ? (OP+OD)=(R-r)( R+r)=R2- r2,两同心圆间的圆环(即图中阴影部分)的面积为 16n,nR- n?=16 n R2- r2=i6, PA?PB=16.故选A.【点评】本题考查了垂径定理： 平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考查了相交弦定理.【思考】观察讲义课后练习最后一道题，是否有思路三、切割线定理切割线定理这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的切割线定

19、理：从圆外一点引圆的两条割线, 积相等.几何语言： PBA, PDC是O O的割线 PD?PC=PA?PB（割线定理）由上可知：PT2=PA?PB=PC?PD【例7】（2013?长清区二模）如图，PA为O O的切线，A为切点，O O的割线 PBC过点O与O O分别交于B、C, PA=8cm PB=4cm,求O O的半径.【专题】11 :计算题.【分析】 连接OA，设O O的半径为rem，由勾股定理，列式计算即可. 【解答】解：连接OA，设O O的半径为rcm，（ 2分）则 r2+82= (r+4) 2,( 4 分)【点评】 本题考查的是切割线定理，勾股定理，是基础知识要熟练掌握.【练习3】（2

20、013秋？东台市期中）如图，点P是。O直径AB的延长线上一点,PC切O O于点C,已知OB=3, PB=2则PC等于（）D. 5【考点】MH :切割线定理.【专题】11 :计算题.【分析】根据题意可得出PG=PB?PA再由OB=3, PB=2则PA=8,代入可求出PC.【解答】解：I PC PB分别为O O的切线和割线， PC2=PB?PA9B=3, PB=2,. PA=8,. PC2=PB?PA=2X 8=16,二 PC=4.故选C.【点评】本题考查了切割线定理，熟记切割线定理的公式PG=PB?PA四、切线长定理切割线定理(1 )圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的

21、长，叫做这 点到圆的切线长.(2) 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角.(3) 注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.(4) 切线长定理包含着一些隐含结论： 垂直关系三处； 全等关系三对； 弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到.IV【例8】(2015?秦皇岛校级模拟)如图，一圆内切四边形 ABCD且BC=1Q【考点】MG:切线长定理.【分析】根据切线长定理，可以证明圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等，从而可求得四边形的周长.【

22、解答】 解：由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，所以四边形的周长 =2X( 7+10) =34.故选：B.【点评】此题主要考查了切线长定理，熟悉圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等是解题关键.【练习4】(2015?岳池县模拟)如图，PA PB切。O于A，B两点，CD切。O 于点E交PA PB于C，D，若。O的半径为r， PCD的周长为3r，连接OA,OP,则一的值是()【考点】MG :切线长定理；MC:切线的性质.【分析】利用切线长定理得出 CA=CF, DF=DB, PA=PB进而得出PA昼r，求出即可.2【解答】 解：I PA, PB切O O于A, B两点，CD切O O于点

23、E交PA PB于C, D, CA=CF DF=DB, PA=PB PC+CF+DF+PD=PA=PB=2PA=3r PAJ,2则一的值是：二一丄.PA32 |故选：D.【点评】此题主要考查了切线长定理，得出PA的长是解题关键.【例9】（2014秋？夏津县校级期末）如图，P为O O外一点，PA PB分别切OO于A, B, CD切O O于点E,分别交PA, PB于点C, D.若PA=5,则厶PCD 的周长和/ COD分别为（）MG :切线长定理.根据切线长定理，即可得到【考点】【分析】7,90C. 10, 90-/ P D 10，9丄/ PPA=PB ED=AD, CE=BC从而求得三角形的周长

24、=2PA2连接OA、OE、0B根据切线性质，/ P+Z AOB=180 ,再根据CD为切线可知/ COD / AOB.【解答】 解：I PA、PB切O O于A、B, CD BO O于E, PA=PB=1Q ED=AD, CE=BC PCD的周长=PD+DE+PC+CE=2PA即厶 PCD的周长=2PA=10,; 如图，连接 OA、OE、OB.由切线性质得，0A丄PA 0B丄PB, 0E丄CD, DB=DE AC=CE / AO=OE=OB,易证 AOCA EOC( SAS , EODA BOD ( SAS ,/ AOC=Z EOC / EOD=/ BOD,/ COD=/ AOB,2 / AOB

25、=180 -/ P, / COD=90故选：C.【点评】本题考查了切线的性质，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题，是基础题型.五、圆幕定理请尝试解出下列例题：【例10】（2005?广州）如图，在直径为6的半圆上有两动点M、N,弦AM、BN相交于点P,贝U AP?AM+BP?BN的值为.【考点】M7 :相交弦定理；KQ:勾股定理；M5 :圆周角定理.【专题】16 :压轴题；25 :动点型.【分析】连接AN、BM，根据圆周角定理，由 AB是直径，可证/ AMB=90，由勾股定理知， bP=MP2+BM2 ,由相交弦定 理知，AP?PM=

26、BP?PN,原式=AP ( AP+PM) +BP ( BP+PN) =ap2+ap?pm+bP!+bp?pn=aP+bf2+2ap?pm=ap2+mp2+bm2+2ap?pm=ap2+ ( AP+PM ) 2=AP+AM2=AB2=36.【解答】解：连接AN、BM ,/ AB是直径， / AMB=90 . bp2=mp2+bm2/ AP?PM=BP?PN原式=ap ( ap+pm) +bp ( bp+pn) =ap2+ap?pm+bp2+bp?pn=AP2+BF2+2AP?PM=ap2+mp2+bm2+2ap?pm=BM2+ (AP+PM) 2=BM2+AM2=AB2=36.【点评】 本题利用

27、了圆周角定理和相交弦定理，勾股定理求解.以上四条定理统称为圆幕定理。（部分参考书以前三条为圆幕定理）（“ OP2 r2 ”被称为点P到。圆幕定理：过平面内任一点P （P与圆心O不重合）做。O的（切）割线, 交。O与点A、B,则恒有PA PB |OP2 r。O的幕。）11皿IVSTEP 3落实巩固一一查漏补缺理念：找到自己本节课的薄弱环节。STEP 4总结理念：本结课复习了什么学到了什么方法：学生口述+笔记记录。STEP 5课后练习选择题（共5小题）1 如图所示，已知。O中，弦AB, CD相交于点P, AP=6, BP=2 CP=4则PD的长是（）A. 6 B. 5C. 4D. 3【分析】可运用

28、相交弦定理求解，圆内的弦AB, CD相交于P,因此AP?PB=CP?PD代入已知数值计算即可.【解答】解：由相交弦定理得 AP?PB=CP?PDAP=6, BP=2, CP=4, PD=AP?PB CP=6X 2 - 4=3. 故选D.圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两【点评】本题主要考查的是相交弦定理 线段的长的乘积相等”.2.0O 的两条弦 AB与 CD相交于点 P, PA=3cm, PB=4cm, PC=2cm,则 CD=()A. 12cm B. 6cm C. 8cm D. 7cm【分析】根据相交弦定理进行计算.【解答】 解：由相交弦定理得：PA?PB=PC?PD. dpPE

29、_3M4=6CD=PC+PD=2+6=8cm 故选 C.PC 2【点评】本题主要是根据相交弦定理圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”进行计算.3.如图，O O中，弦AB与直径CD相交于点P,且PA_4 PB_6, PD_2,则O O的半径为（）A. 9 B. 8C. 7D. 6【分析】 根据相交弦定理得出 APX BP=CPX DP,求出CP,求出CD即可.【解答】 解：由相交弦定理得：APX BP=CP DP,/ PA=4, PB=6, PD=2, CP=12, DC=12+2=14,/ CD是O O直径，O O半径是7.故选C.【点评】 本题考查了相交弦定理的应

30、用，关键是能根据定理得出APX BP=CPX DP.4.如图，A是半径为1的圆0外的一点，0A=2, AB是O O的切线，B是切点,弦BC/ 0A,连接AC,则阴影部分的面积等于（）A.B. C .： D.q 66348【分析】 连接OB, 0C,易证： BOC是等边三角形，且阴影部分的面积 据此即可求解.【解答】解：连接OB, OC,/ AB是圆的切线，/ ABO=90 , 在直角 ABO 中，OB=1, OA=2, / OAB=30，/ AOB=60 ,/ OA / BC,= BOC的面积,/ COB=Z AOB=60 , 且 S 阴影部分=S BOC, BOC是等边三角形，边长是 1,V

31、324S阴影部分=Sbo x 1 x故选A.【点评】本题主要考查了三角形面积的计算,形是解题的关键.以及切割线定理， 正确证明厶BOC是等边三角5 .如图，PA PB分别是O 0的切线，A, B分别为切点，点E是O 0上一点，且/ AEB=60,则/ P 为（）【分析】连接OA, B0,由圆周角定理知可知/ A0B=2/ E=120, PA、PB分别切O O于点A、 B,利用切线的性质可知/ OAP=Z OBP=90,根据四边形内角和可求得/ P=180 -Z AOB=60.【解答】解：连接OA, BO;/ AOB=2/ E=120,/ OAP=Z OBP=90 ,/ P=180 -Z AOB

32、=60 AP=1PB3,求PC的长.【分析】 延长CP交O O于D.由垂径定理可知 CP=DP,由AB=8,，得到AB=2,【点评】 本题考查了切线的性质，切线长定理以及圆周角定理，禾U用了四边形的内角和为360度求解.解答题（共3小题）6 如图，P为弦AB上一点，CP丄OP交O O于点C, AB=8,PBAB=6.再根据相交弦定理得出 PC?PD=AP?PB代入数值计算即可求解.4【解答】 解：如图，延长 CP交O O于D./ CP OP, CP=DP.AP1PB3/ AB=8,APjAB=2, PB丄AB=6.44 AB、CD是O O的两条相交弦，交点为 P, PC?PD=AP?PB PC2=2X 6, PC=2 .【点评】本题考查了相交弦定理： 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.同时考查了垂径定理，准确作出辅助线是解题的关键.7.如图，AB, BC, CD分别与O O 相切于 E, F, G,且 AB/ CD, BO=6cm C0=8cm 求 BC的长.【分析】根据切线长定理和平行线的性质定理得到BOC是直角三角形.再根据勾股定理求出BC的长.【解答】解：I AB, BC, CD分别与O O相切于E, F, G;/ CBO=/ ABC,/ BCO丄 / DCB2 2/ AB / CD,/ AB