(完整)《证明线段相等,角相等,线段垂直》的方法总结,推荐文档

1、 线段相等，角相等，线段垂直方法总结一.证明线段相等的方法：1. 中点2. 等式的性质 性质 1：等式两边同时加上相等的数或式子，两边依然相等。 若 a=b那么有 a+c=b+c性质 2：等式两边同时乘（或除）相等的非零的数或式子，两边依然相等 若 a=b另E么有a c=b 或 ac=bc （a,b 工 0或 a=b , c 工03. 全等三角形4借助中介线段（要证a=b，只需要证明a=c, c=b即可）二.证明角相等的方法1. 对顶角相等2. 等式的性质3. 角平分线4 垂直的定义5. 两直线平行（同位角，内错角）6. 全等三角形7. 同角的余角相等8 等角的余角相等9.同角的补角相等10

2、等角的补角相等11.三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和三证明垂直的方法1. 证明两直线夹角 =902. 证明邻补角相等3. 证明邻补角的平分线互相垂直4证明三角形两内角之和=905. 垂直于平行线中的一条直线，必定垂直于另一条6. 证明此角所在的三角形与已知的直角三角形全等线段相等，角相等，线段垂直经典例题1.利用角平分线的定义例题1.如图，已知 AB=AC，AD/BC，求证2、基本图形“双垂直”本节常用辅助线是围绕角平分线性质构造双垂直（需对其对称性形成感觉）。例题2.如图，.上一二三，一P匚与丄F三二 的面积相等求证：0P平分一.例题3、如图，一匚一 一 -:* ，E是BC的中点，DE

3、平分.求证：AE是丄上弓的平分线. 固3. 利用等腰三角形三线合一例题4.正方形 ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且 AE=DC+CE，求证：AF平分/ DAE4. 利用定理定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。例5.如图，已知 AABC的两个外角/ MAC、/ NCA的平分线相交于点 P,求证点P在/ B的平分线上B5.和平行线结合使用，容易得到相等的线段。基本图形:P是/ CAB的平分线上一点， PD / AB，则有/ 1= / 2=2 3,所以 AD=DP。例6.如图，AABC中，2 B的平分线与2 C外角的平分线交于 D，过D作BC的平行线交 AB、AC

4、于E、F，求证EF=BE-CF6.利用角平分线的对称性。例7.如图，已知在 AABC中，ABAC，AD是AABC的角平分线，P是AD上一点，求证 AB-ACPB-PC7. 角平分线与垂直平分线综合唸例题 8 如图，在 ABC中，AD平分2 BAC，DG丄BC ,且平分 BC于G，DE丄AB于E，DF丄AC延长线于F.奁 (1)求证：BE=CF .线段相等，角相等，线段垂直经典例题（解答部分）、平分线的应用。几何题中，经常出现 已知角的平分线”这一条件。这个条件一般有下面几个方面的应用:（1） 利用 角的平分线上的点到这个角的两边距离相等”的性质，证明两条线段相等。（2）利用角是轴对称图形，构造

5、全等三角形。（3）构造等腰三角形。、应用举例：1. 利用角平分线的定义例题1.如图，已知 AB=AC，AD/BC，求证 AD平分/ EAC证明：因 AB=AC，故/ B= / Co又因 AD/BC，故/ 仁 / B，/ 2= ZC，故/仁/2，即卩AD平分/ EAC o2、基本图形“双垂直”本节常用辅助线是围绕角平分线性质构造双垂直（需对其对称性形成感觉）。例题2.如图，二匚：匸亠，丄丄二-匚与丄F三二的面积相等求证：0P平分一二匸匸.分析：观察已知条件中提到 I丄匸-4与丄匸匚二，显然与全等无关，而面积相等、底边相等，于是自然想到可得两三角形的高线相等，联系到角平分线判定结论可得。证明：作

6、n 一 . 于m, F-T 三于n0151 55二尹加，且也二S.PM = PN又. ：-1 _ i丄亠-亠例题3、如图，一二一 -=,E是BC的中点，DE平分.求证：AE是二匸上二的平分线.鬲分析：在初一学习平行线时就围绕这个图做过很多练习，当时我们证明过DE垂直AE等。还是这个图条件变了，由角平分线条件不难想到做辅助线构造“双垂直”的基本图形，用“角平分线性质”推得距离相等，再由另一侧距离相等用“角平分线判定” AE为角平分线。证明：作三F _匸二于F平分ADC，90，EF LAD.EF = CE又T E是BC的中点.CEEB.EF = EB又EF 丄 0，Z5 = 903.利用等腰三角形

7、三线合一例题4.正方形 ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且 AE=DC+CE，求证：AF平分/ DAE证明：连结 EF并延长，交 AD的延长线于 G,贝U AFDGAFCE，故 CE=DG，EF=GF，于是 AG=AD+DG=DC+CE=AE 。又因EF=GF，故AF是等腰三角形的底边上的中线，于是AF平分/ DAE4.利用定理定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。因P在/又因P在故点P在例5.如图，已知 AABC的两个外角/ MAC、/ NCA的平分线相交于点 P,求证点P在/ B的平分线上证明：过 P作PD丄AB，PE丄AC，PF丄BC,垂足分别是 D、E、

8、F，MAC的平分线上，故 PD=PE。/ ACN的平分线上，故 PE=PF，于是PD=PF，/B的平分线上B5.和平行线结合使用，容易得到相等的线段。基本图形:P是/ CAB的平分线上一点， PD / AB，则有/ 1= / 2=2 3,所以 AD=DP例6.如图，AABC中，2 B的平分线与2 C外角的平分线交于 D，过D作BC的平行线交 AB、AC于E、F,求证EF=BE-CF分析：由BD平分/ ABC , ED II BC ,不难得出 BE=DE。要证EF=BE-CF，就转化为要证 EF=DE-CF。下面要证 FD=FC，即要 证/ FCD= / FDC。由CD平分/ ACG , ED

9、II BC,很容易得出/ FCD= / FDC，从而问题得证。6.利用角平分线的对称性。例7.如图，已知在 AABC中，ABAC , AD是AABC的角平分线，P是AD上一点，求证 AB-ACPB-PC分析：证明不等关系，一般要把所证明的有关线段放在一个三角形内。通过角平分线这一条件可以构造全等三角形：在AB上截取 AC=AC，则有 AACP AACP，AC=AC,PC=PC。在 ABPC中, BC+CPPB,即 AB-ACPB-PC，从而得出 AB-ACPB-PC7.角平分线与垂直平分线综合例题 8 如图，在 ABC中，AD平分/ BAC , DG丄BC,且平分BC于G , DE丄AB于E,

10、 DF丄AC延长线于F.态(1)求证：BE=CF .(2)如果 AB=a, AC=b , 求 AE、BE 的大小（用含有a、b的式子表示）证明：（1）连结BD、CDDG丄BC ,且平分BC于G- ：=（此处提前用到了垂直平分线的性质,即垂直平分线上的点到线段两端距离相等， 可由证明 J 得到）AD 平分/ BAC , DE 丄 AB , DF 丄 ACDE = DF DHB =乙 DFG = 90”在二.JZJ 和己一 -中BD=CDDE=DFu.DEB = RLlDFC(：HE).BE = CF(2)AD平分/ BAC.AEAD = FADEADZADE同理：4.-.ADEZADF即AD平分

11、EJ又丄上亠丄.二丄.AB = AF而 AE=AB-BE=a-BE , AF=AC+CF=b+CF-a-BE= b+CF込口a-b ah一 ,AE=a-BE=a-二=-角平分线练习题1. 如图，在 ABC中，/ ACB=90 , BE平分/ ABC ED丄AB于 D,如果 AC=3 那么 AE+DE=()A. 2B. 3 C . 4D. 52. 如图， ABC的两个外角的平分线相交于点P,则点P到厶ABC的三边所在直线的距离的关系是()A.均不相等B.均相等、C.其中有两个相等D.无法确定3. 如图，：-表示三条相互交叉的公路， 现要建一个货物中转站， 要求它到三条公路的距离相等,则可选择的地

12、址有()A. 处B.二处 C .三处D .四处4. 在厶ABC内部到三条边的距离相等的点有 个.5. 如图，OP平分/ AOB PC丄OA于 C, PDL OB于 D,下列结论：（1） PC=PD （ 2） OC=OD （ 3） OC=2PC（ 4）Z DPOh CPO6.中，错误的是（第 3 题）（第5题）（第6题）如图，已知/ C=90 , AD 平分/ BAC , BD=2CD ,点D到AB的距离等于5cm,则BC的长为cm.如图， ABC中，AB=AC BDLAC于 D,全等的直角三角形的对数为 7.CEL AB于E, BD CE相交于 O, AO的延长线交 BC于F,则图中DCB F（第 7 题）（第 8 题）（第 9 题）（第 10 题）8. 如图，AE = AD，要使ABDACE，请你增加一个条件是 .（只需要填一个你认为合适的条件）9.