《高等几何》复习17-18-1

1、高等几何复习题 一、填空题 1、 平行四边形的仿射对应图形为：平行四边形; 2、 线坐标(1,2,1)的直线的齐次方程为：X1 2x2X3 =0 ； 3、 直线3x1 2x2 =0上的无穷远点坐标为：(2,-3,0)； 4、设(AB,CD)= 2，则点偶 AC 调和分割点偶BD ； 5、 两个射影点列成透视的充要条件是保持公共元素不变； 6、 写出德萨格定理的对偶命题：三线形对应边的交点共线，则对应点连线共点。 7、 两个线束点列成透视的充要条件是底的交点自对应 “+ +，2=0 为所求 17、给定点 A、B，作出点 C,使(ABC)=4. 作法: (ABC)= AC BC BC 1 1 AB

2、延长线上，作点 C,使BC=AB 3 % + X 3 2 2 1 1 =0 1 AB =3 .在 BC 18、过定点P,作一条直线，使通过两条已知直线的不可到达的点. 作法：(利用代沙格定理)任取线束S,设束中两条直线交 a于A , C, 交b于A, C;连直线PC, PC分别交线束S的第三条直线于 B, B; 直线BA和B A勺交点Q与点P的连线，即为所求的直线. 19、如图，求作点 P关于二次曲线r的极线. 作法：过P点任引两直线，使与 r分别交于a、B及c、D, 设Q=A$ BD , R=AD A5，故有 M与P也分别在过点 B、C所作的高线上，因为 A B的三高线共点，所以六边形J K

3、 L M勺N P 三对顶点的连线共点正三角形的垂心和重心是合一的，由于仿射变换构成变换群，且同素性和接合关 系以及三角形的重心是仿射不变性，所以原命题也成立 5、叙述Pascal定理的内容并予以证明。 定理：内接于二阶曲线的简单六点形，三对对边的交点共线。 证明：设简单六点形 A1A2A3A4A5A6,其三对对边的交点分别为 L= A A2 口 A4 As, M= A2A3 A5A6, N= A3AAg A,. 以A|, A3为中心，分别连接其他四点，则由定理得到A, A2A4A5A6 A3 A2A4A5 As 设 A,Aga4a5 = P, A5A6a3=q则 AA2 A4 A5 Ag! I

4、. L, A4 ,A5P,A3A2 A4A5 Ag! I.M ,Q,A5 as 所以，L, A4, A5 P八，.M , Q, A5 As .由于两个点列底的交点 L,A4,A5PM,Q,A5a6 所以LM, AQ, PAg三线共点，但A4Q PAg=N,即L,M,N三点共线。 6、叙述并证明 Brianchon定理。 定理：外切于非退化二级曲线的简单六线形，其三对对顶点的连线共点。 证明：设简单六线形aia2a3a4a5a6,其三对对顶的连线分别为I, m, n. l为交点aia2, a4a5的连线,m为A23,A56的连线,n为A 34,a 6i的连线, 以ai,a3为基线，分别与其他四线

5、相交，则由定理得到ai（a2a4a5a6）a3（a2a4a5a6）, 设交点aia6与a4a5的连线为p,交点a5a6与a3a4的连线为q, 贝V a4a5 : (a2a4a5a6)(I,a4,a5,p),a5a6 : (a2a4a5a6)(m,q,a5,a6), 所以，(|,a4,a5,p)(m,q,a5,a6),由于两个线束公共线a5； a5,故有 (I,a4,a5,p)(m,q,a5,a6), P60,透视表达形式不太好，没有体现透视中心.透视轴可由对应元素体现 我想,(a,b,c,d)：二(A,B,C,D), (a,b,c,d) (A,B,C,D),比较好 7、如图，若厶ABC的边分B

6、C、CA、AB分别过共线 求证,顶点A也在一定直线上. 证明：取动点 A、B、C如图，BC、CA、AB分别 过共线P、Q、R.顶点B、C所在定直线交点为 S. 针对 ABC与 ABC利用Desargues定理知， BB 、CC 、AA共点. 故AA也过S. A在定直线 AS上.证毕. 3点P、Q、R,顶点B、C各在一定直线上 2 &设(AB,CD)= -1, O 为 CD 的中点，贝U OC2=OA-OB. 证明：O为CD中点，有OD= -OC,由(AB,CD)= -1,得 题五7图 B S C P R Q AC BD =-1 AD BC AC-BD+AD- BC=0 把所有线段都以O点做原点

7、来表达 (OC-OA)(OD-OB)+ (OD-OA)(OC-OB)=0, 去括号，移项，分解因子，得 2(OA -OB+OC- OD)=(OA+OB)(OC+OD), OA-OB-OC2=0 即 oc2=oa-ob 2 2(OA OB- OC )=(OA+OB) 0, 9、 试证明，(AB,CD)(AB,EF)=(AB,CF)(AB,ED). 证明：(AB,CD)(AB,EF)= (ABC)(ABE) (ABD)(ABF) (ABC)(ABE) (ABF)(ABD) 所以交点Im, a4q, pas三点共线，但交点 a4q, pas连线为n ,故I, m, n三线共点。 10.（蝴蝶定理）过圆的弦AB的中点O任作另外两弦 CE, DF,连结EF, CD交AB于G, H.求证：GO=