黎曼积分和勒贝格积分定义的比较

1、目目 录录 1 1 引言引言.1 2 2 积分理论的发展积分理论的发展.1 3 3 黎曼积分和勒贝格积分定义的比较黎曼积分和勒贝格积分定义的比较.2 3.1 黎曼黎曼积分积分.2 3.2 勒贝格勒贝格积分积分.3 4 4 黎曼积分与勒贝格积分的关系黎曼积分与勒贝格积分的关系.4 5 5 黎曼积分和勒贝格积分性质的比较黎曼积分和勒贝格积分性质的比较.5 5.1 被积函数绝对可积性的比较被积函数绝对可积性的比较.5 5.2 被积函数的有界性的比较被积函数的有界性的比较.5 5.3 中值定理中值定理.6 5.4 被积函数连续性的比较被积函数连续性的比较.7 5.5 收敛条件收敛条件.7 6 6 黎曼

2、积分（广义）与勒贝格积分区别及联系黎曼积分（广义）与勒贝格积分区别及联系.9 7 7 勒贝格积分的某些推广勒贝格积分的某些推广.10 8 8 结束语结束语.11 参考文献参考文献.12 致谢致谢.13 黎曼积分和勒贝格积分的比较 数学系本数学系本 10011001 班班 王海荣王海荣 指导老师：张炎彪指导老师：张炎彪 摘 要：本文章我们将从学习过的黎曼积分和勒贝格积分的知识出发，探讨 和归纳出黎曼积分和勒贝格积分两者之间的区别与联系，通过两者的定义、被 积函数的连续性，有界性、收敛条件、中值定理、绝对可积性以及广义黎曼积 分和勒贝格积分的比较上，从而说明了勒贝格积分在处理一些黎曼积分难以解 决

3、的问题上时比较的具有优势，同时还指出了勒贝格积分是黎曼积分的重要推 广，但是却不是黎曼反常积分的推广。 关键词：黎曼积分，勒贝格积分，连续性，有界性。 Riemann integral and the Lebesgue integral Wang Hairong Class1001，Mathematics Department Tutor:Zhang Yanbiao Abstract : In my thesis, based on the knowledge of the Riemann integral and the Lebesgue integral, we want to explo

4、re and summarize the difference and connection between the Riemann integral and the Lebesgue integral. Through the definition of both items, the continuity and boundedness of the integrand, the convergence condition, the intermediate value theorem, absolute Integrability and the comparison of the br

5、oad sense of Riemann integral and the Lebesgue integral, It shows Lebesgue integral has some advantages in the treatment of some difficult problems on Riemann integral, and also pointes out that the Lebesgue integral is an important generalization of Riemann integral, and it is not the promotion of

6、Riemann anomalous integral. Keywords: Riemann integral, Lebesgue integral, continuity, boundedness. 1 引言 黎曼积分和勒贝格积分分别是数学分析和实变函数的主要核心内容。虽然 莱布尼茨和牛顿两人发现了微积分，而且还给出了定积分的相关论述，但是现 在我们所学习的教科书中有关定积分的现代化定义是黎曼积分给出来的。勒贝 格积分是黎曼积分非常重要的推广，勒贝格积分与黎曼积分的最主要不同在于 前者是对函数的函数值的区域进行定义区分，而后者是对函数定义域进行定义 划分。这两种积分既有联系又有区别，通过对这两

7、种积分的对比研究，可以让 我们加深对积分理论及应用的更多理解。 研究清楚这些问题对我们学习数学非常重要，所以以下我们将对这些问题 进行一一深入探讨与研究。 2 积分理论的发展 在很早的时候柯西对连续函数做出了积分的定义。黎曼在柯西的基础上对 “基本上”连续的函数积分进一步给出了相关定义。很早之前人们运用黎曼积 分来进行计算曲边形的面积、物体的重心以及物理学上的功和能等方面都是很 方便的。但是随着深入的认识，人们便开始经常地去处理解决一些复杂的函数。 例如由一列性质优良的函数组成的级数所定义出来的函数，和两个变元的函数 对一个变元积分后所得到的一元函数等。在谈论它们的可积性、可微性、连续 性时，

8、经常遇到极限与积分能否交换顺序的相似问题，通常只有在很强的假定 下（一致收敛）才能对这种问题作出确定性的回答。所以，人们在理论和使用 上都急切的想要建立一种新的积分，它既能够维持黎曼积分在计算和几何直观 上具有有效性，又能够确保极限与积分交换顺序等条件上有很大的改良与突破。 这就需要对黎曼积分概念进行改良。把积分学推向进步的是勒贝格，他在 1902 年成功引进一种新的积分勒贝格积分，同时还引入了一门新的数学分支学 科实变函数论。 勒贝格理论主要包括勒贝格积分概念、点集的测度和可测函数，1872 年， 康托提出集合论，引进了点集的概念，间断点可以看做一个整体进行考察，这 样子就为间断点与可积性关

9、系的探究提供了办法，勒贝格在原来的基础上推广 了长度，建立点集测度的概念，与此同时，定义了内测度和外测度)(Em ，如果时，我们称为可测集，并称内测度和外测度的公)(Em)()(EmEm E 共值为点集的测度。勒贝格的测度概念把黎曼可积函数类变得非常的了然。IE 勒贝格又把可测集上的函数定义为可测函数，那么是一有界可测集，是E)(xf 定义在上的实函数，如果对任一实数，点集还是勒贝格可Ea)(:axfxE 测集，则)(xf 是上的可测函数。容易知道，可测函数不是连续函数的简单推广，它是在测E 度论基础上构造出来的，但它能把连续函数、可导函数、单调函数作为特例加 以概括。能够证明，区间上的任意连

10、续函数都是可测函数，狄利克雷函数则是 不连续的可测函数。利用可测函数，在研究黎曼积分的定义方式后，考虑到由 于间断点所造成的振幅过大的困难，勒贝格大胆地改变了对黎曼积分作函数定 义域分割的方法，而采用对函数值域分割的方法，从而寻求到“缩小”振幅， 消除间断点困难的简单、巧妙而富有哲理性的逆向思维方式。并在点集论、测 度论、可测函数等已有基本概念上创建一种新的积分类型勒贝格积分。彻 底解决了黎曼积分自身局限性所造成的各种困难问题，定义了他自己的积分概 念。这两种积分既有区别又有联系，通过对这两种积分的对比研究，能让我们 加深对积分理论及应用的理解。 3 黎曼积分和勒贝格积分定义的比较 3.13.

11、1 黎曼积分黎曼积分 黎曼积分是为了处理计算平面上封闭曲线围成图形的面积问题而产生的,它 是从划分闭区间上着手,利用极限想法来进行定义的。ba, 定义 1 设函数在上有以下定义。随意给一个划分：)(xfba,ba,T =，然后在所有小区间上任意取一点，a n xxx 10 b kk xx, 1k 。nk, 2 , 1 记区间的长为=，令。作积分和 kk xx, 1k 1 kk xx)(Tlmax, 2 , 1:nk k 为。假设当时，那么积分和的极限是，即 kk n k f )( 1 n 0)(Tl n I ，且数与划分无关，也与的取值无关，则称If k k k Tl n Tl )(limli

12、m 1 0)(0)( IT k 函数在黎曼可积，是在上的黎曼积分，表示为)(xfba,Iba, 。假设当时，积分和极限不存在，称函数在 b )()( a dxxfRI0)(Tl n )(xf ba, 上是不可积。黎曼积分的定义知道：若函数在上黎曼可积，那么)(xfba, 在上必定有界。换句话说，若函数在上无界，则在)(xfba,)(xfba,)(xf 上必定不是黎曼可积。ba, 3.23.2 勒贝格勒贝格积分积分 利用与黎曼积分类似的思想，从划分函数值域着手利用极限思想来定义勒 贝格积分。 定义 2 设函数是上的有界可测函数，。任意给)(xfba,Mxfm)( Mm, 一个划分。然后考虑集合，

13、MyyymT n 10 ：)(: 1kkk yxfyxE 当，给勒贝格定义小和 及大和，nk,2 , 1 sS k n k k mEys 1 1 n k kkmE yS 1 则会有和，其中。所sSsupinf)(s-0abtS, 2 , 1:max 1 nkyyt kk 以定义函数在上的勒贝格积分为。)(xfba, b a dxxfLsS)()(supinf 由定义可以知道在有界区间上的有界可测函数勒贝格积分总是存在的。比 较黎曼积分的定义 1 和勒贝格积分的定义 2，会使人们觉得，黎曼积分是对区 间进行划分来思索的，然而勒贝格积分是从对函数值域进行划分来思索的。ba, 但这并不是它们真正区分

14、的实质。因为我们也可以不需要划分函数值域的方法 去定义 L 黎曼积分，以下称为 3 定义。 定义 3 设是上的非负可测的简易函数，它在点集上)(xf n R), 2 , 1(piAi 取值。假如是可测集，那么定)(,)(: 11 jiAARAxAcxfc ji n p i i p i iii E 义 非负可测简易函数在上的勒贝格积分为。设)(xfE)()( 1 i E p i i AExcdxxfL ）（ 是上的非负可测函数，我们定义是上的勒贝格积分，为)(xf n RE )(xfE 是上的非负可测简易函数 。若 E Exxfxh E xhdxxhdxxfL)(:)(sup)( )()( ）（

15、 n R ，则称在上是勒贝格可积的。 dxxfL E )(）（)(xfE 设是上的可测函数，)(xf n RE 0),(max)(xfxf ，如果积分中最起码有一个是有限的，则称0),(max)(xfxf dxxfL E )()( 为在上的勒贝格积分；如果dxxfLdxxfLdxxfL EEE )()()()()( ）（)(xfE 上面式子右边两个积分都有限时，则称在上是勒贝格可积的。)(xfE 从勒贝格积分的定义 3 可以知道，在这没有对函数值域作出任何的划分， 而是从非负可测简单函数角度来定义可测函数的勒贝格积分，固然勒贝格积分 的这两个定义是相等的。虽然在上黎曼可积的函数是勒贝格可积的，

16、但反ba, 过来说明就不一定是成立的。所以对区间作划分上的区别只是表面现象，并不 是勒贝格积分定义的本义性质。 4 黎曼积分与勒贝格积分的关系 我们已经差不多建立好了勒贝格积分理论，在进一步说明这一理论的其他 内容之前，我们可以先揭示它与黎曼积分的关系。它们的关系能用一个公式来 表示，它不但阐明勒贝格积分是黎曼积分的一种推广，而且为一般有界函数的 黎曼可积性提供了一个简单的判别准则。本文将从一维的情形进行探讨，在这 里要用到黎曼积分理论的下述结果： 设是定义在上的有界函数，是对所做的分划序列：)(xfbaI, n ba, ， bxxxa n k nn n n 10 :, 2 , 1n 1:ma

17、x 1n n i n i n kixx ， ，若令（对每个 以及）， 0lim n n in : )(sup 1 n i n i n i xxxxfM ，则关于的 Darboux 上，下积分下述等式 : )(inf 1 n i n i n i xxxxfm )(xf 成 立： ，。 1 1 - lim)( i n n i k i n i n b a xxMdxxf n n k i i n n i n i n b a xxmdxxf 1 1 - lim 引理 1 设是定义在上的有界函数，记是在上)(xfbaI,)(x)(xfba, 的 振幅（函数） ，我们有。左端是在上的勒 dxxfdxxfdx

18、x b a a b I )()( - )(xI 贝 格积分。 证明 因为在上是有界的，所以是上的有界函数，所以)(xfba,)(xba, 。对于之前所述说的分划序列，作下列函数列有baL, n ， 的分点，是 n n i i n n i x xxxM x n , 0 ,1 , 2 , 1, 2 , 1nki n ， , 2 , 1:,的分点是nxbaxE n 显然且有。我们记各是上 0Em E baxxx n n ,),()(lim BA,baxf,)(在 的上确界、下确界，存在一切，有，所以根据控制收敛定理x BAx n )( （控 制函数是常数函数）可以得到。从另一方面看，因为 dx xd

19、xx IIn n )(lim 1 1 i n n i k i n i n i I xxmMdxx n n 1 1 1 1 i n n i k i n i i n n i k i n i xxmxxM nn 得到。 dxxdxx InI n lim dxxfdxxf b a b a - 定理 1 函数黎曼可积的充分必要条件是函数不连续点的一切要成一零测集。 5 黎曼积分和勒贝格积分性质的比较 5.15.1 被积函数绝对可积性的比较被积函数绝对可积性的比较 我们都知道如果在上是可积的，那么在上也是可积的，这fba,fba, 就 说明了对于勒贝格积分来说，在上可积与在上可积是相互等的，fba,fba

20、, 但是对于黎曼积分来说，这个性质反而不成立。 例 1 ，显然，在上不是黎曼可积；但是 是无理数， 是有理数；， x x xf 1- 1 )(xf 1 , 0 ，在上黎曼可积。1)(xf)(xf 1 , 0 5.25.2 被积函数的有界性的比较被积函数的有界性的比较 由定理 1 我们知道函数黎曼可积的充分必要条件是函数不连续点的全体要 成一零测集，函数连续点的全体所构成的集合也一定是稠密集，简略说明，黎 曼积分理论是针对连续函数或“基本上”连续的函数而建立，同时说明可积函 数必定是有界的。 定理 2 如果函数黎曼可积，那么必定有界。 ff 设在可测集上是可测的，这时我们可定义0)(xf q R

21、E ，称在上的勒贝格积分。其中dxxfdxxf EnEn )(lim)()(xfE 。: ),(, 21 nxxxxxKEnKE qnnn 令，则，容易得0),(max)(,0),(max)(xfxfxfxf )()()(xfxfxf 出，如果在上是可测的，那么与在上也是可测，反之亦然。)(xfE)(xf )(xf 而且对于测度有限的可测集上的可积函数来说，总是有)(xf 。dxxfdxxfdxxf EEE )()()( 定义 4 设在可测集上是可测的，假如在上述定义下的)(xf q RE 和不同时为时，那么我们称在上积分是确定的，dxxf E )( dxxf E )( )(xfE 并且定义是

22、在上的勒贝格积分，要是dxxfdxxfdxxf EEE )()()( )(xfE 此 积分有限，我们称在上勒贝格可积。)(xfE 定理 3 设为可测集上的有界函数，那么在上)(xf q RE )(mE)(xfE 勒贝格可积的充分必要条件是在上是可测的。)(xfE 由此我们知道勒贝格积分与黎曼积分相比较下有着明显的优点，它将可积 函数类扩大成一般可测函数，而不仅仅是限于有界函数。 5.35.3 中值定理中值定理 在黎曼积分中，有以下中值定理： 定理 4（第一中值定理）设在上连续，则存在，使得fba,ba, 。 b a abfdxxf)()( 定理 5（第二中值定理）设在上可积，fba, （i)如

23、果函数在上递减，且，则存在，使得gba,0)(xgba, 。 b aa dxxfagdxxgxf )()()()( （ii）如果函数在上递增，且，则存在，使得gba,0)(xgba, 。 b a b dxxfbgdxxgxf )()()()( 推论 2 设函数在上可积，如果为单调函数，则存在，使fba,gba, 得 。 b aa b dxxfbgdxxfagdxxgxf )()()()()()( 在勒贝格积分中，我们知道了从非负可测函数积分的几何意义到一般可测 函数积分的几何意义。 定理 6 （非负可测函数积分的几何意义）设是可测集上的非)(xf n RE 负 函数，那么当在上可测时，有。)(

24、xfE E fEmGdxxf),()( 推论 3 设是上可积函数，则。)(xf n RE ),(),()( fEmGfEmGdxxf E 5.45.4 被积函数连续性的比较被积函数连续性的比较 如果是定义在上的有界函数，那么在上是黎曼可积的)(xfba,)(xfba, 充分条件是在上的不连续点集是零测度集。)(xfba, 定理 7 定义在有限区间上的函数若是黎曼可积，那么勒贝格可积，并ba, 且积分值是相等的，即。 b a b a dxxfLdxxfR)()()()( 这表明了在上黎曼可积与勒贝格积分是相等的，反过来证明勒贝格可)(xfba, 积的函数未必黎曼可积。 例 2在上的函数，不是黎曼

25、可积的，却是勒贝格 IQx IQxx xf 101 10 3 ， ；， 1 , 0 可积的。那是因为除了点外，闭区间上的其余点都是属于间断点，那1x 1 , 0 么它在一正测度集上是间断的，所以它不是黎曼可积的，但是因为是有界)(xf 可测，所以说这个函数是勒贝格可积的。 5.5 收敛条件收敛条件 在黎曼积分的意义下，函数列只有满足一致收敛的条件，才能够保证极限 与积分的交换顺序，但是这一条件过分强了。如，) 10()(xxxf n n ，, 2 , 1n 当时，收敛但是非一致收敛于，然而此时仍然有n)(xfn ；10, 0 1, 1 )( x x xf 。dxxfRdxxfR n n n n

26、 )(lim)(0)()(lim 1 0 1 0 这就说明，黎曼积分收敛定理中的一致收敛只是积分运算与极限运算交换 的充分条件，而不是必要条件。 在勒贝格意义下，不是一致收敛也能保证积分与极限运算的交换的。 定理 8 （勒贝格控制收敛定理）设 （1）是可测集上的可测函数列；)(xfnE （2），并且在上可积；eaxFxfn)()(xE, 2 , 1n)(xFEL （3）（依测度收敛）)()(xfxfn 则在上可积，并且。)(xFEL EE n n dxxfdxxf)()(lim 通过定理 6，7，8 能对黎曼积分收敛定理作出了一些适当的改进，改进后 的定理是： 定理 9 设和在上可积且)(),

27、 2 , 1)(xfnxfn、)(xFba,R （1）处处收敛于；)(xfn)(xf （2）)()(xFxfn 那么有。 b a b a n n dxxfRdxxfR)()()()(lim 下面我们重新来考察前面所提到的函数列，和, 2 , 1),10()(nxxxf n n 极限函数，显然和满足定理 9 的条件，因此，虽然 ；10, 0 1, 1 )( x x xf)(xfn)(xf 不一致收敛于，但是由定理 9 可知必定有)(xfn)(xf 。 1 0 1 0 1 0 )()()(lim)()()(limdxxfRdxxfRdxxfR n n n n 由此得知，定理 9 的确比原来的黎曼积

28、分收敛定理要优越，但是还要注意， 定理 9 要求在上必定要一致有界的（因可积必有界） ，这显然使)(xfnba,)(xF 得积分号下取极限这一重要运算手段受到了非常大的限制与影响，不仅仅如此， 定理 9 中关于极限函数可积性的假设也是不能丢掉的。)(xf 例 3 将中全体有理数列出：作函数列 1 , 0 21,r r 。 ，其他 ；， 0 2 , 11 21 nrrrx xf n n 显然对每个自然数是上黎曼可积的函数，并且积分值都是零，)(,xfn n 1 , 0 所以。 中的无理数为， 中的有理数；为， 1 , 00 1 , 01 lim x x xfxfn n 容易知道极限函数是狄利克雷

29、函数，它不是黎曼可积的，那就没有办)(xF 法去讨论积分号下取极限的问题。 另一方面，从定理 8 得出，在勒贝格积分理论中，没有要求函数列一定要 一致有界，只要有一个控制函数就行；也没有要求必须处处收敛于，)(xfn)(xF 只 要能够依测度收敛就行，也不用假设极限函数的可积性，这是因为)(xfn)(xF 定理 8 本身就可以保证极限函数一定是可积的。例如，对定理 9 中的和)(xfn ，)(xf 必定有。 1 , 01 , 0 )()()()(limdxxfLdxxfL n n 通过以上几点可以知道，黎曼积分相对于勒贝格积分有着明显的局限性。 6 黎曼积分（广义）与勒贝格积分区别及联系 勒贝

30、格可积函数的范围要比黎曼积分广，这主要体现在勒贝格积分包含了 黎曼积分，勒贝格积分与极限的交换容易达成主要表现在：积分与极限的交换 问题在勒贝格积分范围内比黎曼积分范围内更为完美的解决，主要体现在控制 收敛的定理上。对于正常的黎曼积分和勒贝格积分有如下的关系：定义在有限 区间上的函数，如果黎曼积分可积，那么勒贝格积分可积，并且积分值是相等 的，但是相对于广义积分来说，却不一定是这样。 定理 10 设是上几乎处处连续的函数，并且对任意的，)(xfba,0 )(xf 在上是有界的，且在上是不变号的，则ba,)(xfba, 。 ba b a AdxxfLAdxxfR , )()( 注：上述定理说明了

31、不变号的函数广义黎曼积分和勒贝格积分的关系，那 么对上变号的函数结论是不成立的。由此我们知道广义黎曼积分是推ba,)(xf 不出勒贝格积分的，反之若存在，那么也存在。 ba dxxfL , )( b a dxxfR)( 上面我们考虑的是有界区域上的无界函数，下面我们将考虑无限区域情形。 定理 11 若在上连续并且是黎曼可积的，则有)(xf，- 。 dxxfLdxxfR)()( - 证明： 因为在上连续并且黎曼可积，由定义可知，对任意)(xf，- 的 闭区间，在上是黎曼可积的，且有ba,)(xfba, dxxfLdxxfL b a b a )()(lim 并有限，所以，对每个，令，1n xXxf

32、xf nnn,- )()(,nnx 则是可测函数列，且，根据单调收1: )(nxfn xfxfn n )(lim,x 敛 定理可知。所以，在上勒贝格可 - )(limdxxfLdxxfL n nn )(xf，- 积，并且，再由勒贝格控制收敛定理知 )( , xfxXxf nn ,x dxxfRdxxfRdxxfLdxxXxfLdxxfL n n n nn nn n n n )()(lim)(lim)(lim)( , - 则。 dxxfLdxxfR)()( - 定理 12 设是上的非负函数，并且是广义黎曼可积，那么)(xf, aE 在上勒贝格可积，且。)(xf, a aa dxxfRdxxfL)

33、()( 证明 因为在上是广义黎曼可积，且是非负连续函数，则对任意自)(xfE 然数，在上黎曼可积，则由闭区间上两个积分的关系可得n)(xfnaEn, ，所以，因此 n a n a dxxfRdxxfL)()( n a n ann dxxfRdxxfL)(lim)(lim 。 aa dxxfRdxxfL)()( 7 勒贝格积分的某些推广 我们知道，勒贝格的积分运算不能够完全的解决由函数的有限导数去求其 原函数的问题，下面我们一起看看勒贝格积分的一些推广，它们能够完全的去 解决这个问题。 首先 Henstock 把积分的定义稍微的修改，将变成，就能得 R)(x 到 Henstock 积分，对于的精细分法定义如下：)(x 定义 5 在上给出正值函数，要求在上的分法是精ba,0)(xba,T)(x 细的，是指的有序分点与结点，对每一个Tbxxxa n 10n , 21 ，都有。), 2 , 1(nii iiiiiii xx , 1 定义 6 设定义于，若存在常数，则具有下列关系：对，)(xfba,I0 有，对任何精细分法，其分点为,结点为 0 x xbxxxa n 10 ，都有。 n , 21 i iii Ixxf 1 那么称在上是 Henstock 意义下可积的，并且称在上的)(xfba,)(xfba, 积分，记作。 H IdxxfH