《线性代数》作业

1、线性代数作业 第一章 1 求排列(2n)(2n-1)(n+1)1 2 -Qnn的逆序数。 解：后面是正常顺序，逆序出现在前n个数与后n个数之间，2n的逆序数是2n-1,2n-1的逆序数是2n-2, n+1的逆序数是n,所以整个排列的逆序数是(2n-1) + (2n-2) +n=n(3n-1)/2 2、求排列246(2n)135(2n-1)的逆序数。 解析：后一项比前一项的算逆序一次，246(2n)无逆序，所以从 1开始，有246(2n)共N个，3开始有46(2n)有N-1 个，.，.2n-1有一个，所以，加一起得，逆序数为1+2+N=N ( N+1 ) /2 N=n+(n-1)+ +2+1=

2、n(n+1)/2 3、 试判断 a14a23 a31 a42 a56a65， _a32a43a14a51a25a66_ a32 a43a14 a52 a25a66 是否都是六阶仃列式中的项。 解 a14S23a31a42a56a65 下标的逆序数为 t (431265) =o+1+2+2+o+1=6 所以a14a23a31a42a56a65是六阶行列式中的项。 -a32a43a14a51a25a66下标的逆序数为t (452316) =8所以-a32a43a14a51a25a66不是六阶行列式中的项。 -a32a43az52a25a66 下标的逆序数为 t(452316)=8 以8328438

3是六阶行列式中的项。 4、 已知4阶行列式D中的第3列上的元素分别是 3, -4，4，2,第1列上元素的余子式依次为8，2, -10， X，求 X。 解：X=20 5、 设ai2a31aj4a23a15是5阶行列式的一项，若该项的符号为负，则i= 5,i=4 6、 要使3972i15j4成为偶排列，则i=6,j=8。 7、设D为一个三阶行列式，并且 D=4，现对D进行下列变换：先交换第 1和第2行，然后用2乘以行列 式的每个元素，再用-3乘以第2列加到第3列，则行列式最后结果为32。 8、 设对五阶行列式(其值为m)依次进行下面变换，求其结果：交换一行与第五行，再转置，

4、用2乘所 有元素，现用-3乘以第二列加到第四列，最后用4除第二行各元素。 解析：交换一行与第五行行列式的值变号 转置行列式的值不变 用2乘所有元素行列式的值乘以2A5 现用-3乘以第二列加到第四列行列式的值不变 最后用4除以第二行各元素(应该是用4除”第二行各元素吧？)行列式的值乘以1/4 最终行列式的值是：mK(-1)羽5X1/4 = - 8m 9、计算下列行列式 2 1 1-3 0 2 14 5-2 10、设方程X 0 1 3x -51 0 -6 -1 2 -76 2x 7x =0。求x3的系数。 4 3 1 11、设 D = -1 2 -521 10-5 313, D中元素的余子式和代数

5、余子式依次记作 -4-1-3 及 M 仆 M 21 M 31 M 41 0 0 -1 0 0 -1 0 0 0 12、 n阶行列式 Dn = 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 -1 -1 0 0 0 0 1 0 k 13、 当k= 时, 行列式 1 k 2 =0。 1 -2 k Mj 和 A，求 A -人2A13 - A4 14、已知行列式D4 =60 ,贝V 2 (A21+A23) 其中A21和A23分别为兀素a?1 14 和a23的代数余子式。 15、计算下面 n+1 阶行列式的值。 其中bi0 1a1a2 -1b10 -10b2 bn -10 0 1.已知 f (x) = x2 -

6、 x -1, 第二章 311 312 ,求 f(A) J 一1 0 2 2 . .2 2 2 0 2 . .2 2 16、计算n阶行列式：D = 2 2 0 . .2 2 2 2 2 . .0 2 2 2 2 . .2 0 o 1 0 “ 1993 5 3 r 1 0 0 2.求 1 0 0 1 3 7 0 0 1 e 0 b -1 2 2 4. A = 2 1 -4 J 3 -2 3 -1 ,r(A)=2,求 X。 x j 5、如果A为n阶方阵，求(A*) I、 求矩阵 6、设矩阵A,B满足A*BA=2BA-8E,其中A=-2, A*为A的的伴随矩阵，E为单位矩阵, 1丿 B. 7、A为n阶

7、可逆矩阵，则下列()恒正确 TT-1-1 (a).(2A) =2A ,(b). (2A) 1=2A 1, -1 -1 T T -1 -1T T -1-1 -1 T (c). (A ) =(A ) ,(d). (A ) =(A ) *2 0 0、 8、如果A，B满足关系式(A-1-I)B=6I，其中I为三阶单位矩阵，A = 0 2 0，则B= l003 卩 2、 p-r 9、设矩阵方程 X = 则矩阵X= 0 1丿 丿 11 10、A = 001 ，则A的秩为 11、 0、 -2 4? -1 -3 7 3 1 0 0 *3 fO A) 12、已知矩阵 A和B均可逆。求分块矩阵 B O丿 13、设

8、A、 B均为三阶方阵，设 1 A =3，|B =3,则-2B-1At = 14、矩阵A的逆矩阵为A = 2 1 3 1 ，且 A =6，则 A= 3 (1 15、设矩阵A = 求X.。 18、设A,B,C均为n阶矩阵，且满足ABC二E,则下式中哪些一定成立 ？ BCA=E; (2) BAC=E; ACB=E; (4) CBA=E; (5) CAB=E; 第三章 |ax! x2 x3 二 1 1、问线性方程组 X! ax2 X3 = 1 在a取什么值有无解、无穷解？并在无穷解时求出全部解。 捲 x2 ax3 - -2 2、设 3 1=2 a 1- a 2,3 2= a 什 a 2,3 3= -

9、a 什3 a 2,证明 3 1,3 2,3 3 线性相关。 3、已知向量组a 1=(k,2,1), a 2=(2,k,0), a 3=(1,-1,1),试求k为何值时，向量组 a 1, a 2, a 3线性相关？线 性无关？ 4、已知向量组 0 r 6、 0( 2 = k ， 3 = 12 线性相关。并且 I k k丰6,贝U k= 5、如果向量组：1,：2,-：沁线性无关，证明向量组二1亠：2, 2亠：3,二3亠：1线性无关。 7、已知向量组：1 ：3 1、 3 ，则当 k取什么值时, -1/-2/-3线性相关? 1、 8 求 a 1 = 1 2 = 3 I2 组线性表示。 的一个极大无关组

10、，并把其余向量用该极大无关 向量组a 1, a 2,- ,a s线性无关的充分条件是( (a). a 1, a 2, ，a s者E不是零向量。 (b). a 1, a 2, ，a s中任意两个向量都不成比例。 (c ). a 1, a 2, ，a s中任意一个向量均不能由其它 (d). a 1, a 2, ，a s中任一部分组线性无关。 6、 s-1个向量线性表示。 9、问当a为何值时，方程组 | -4x2 x3 = 1 xi +3x2 +(a -1)x3 = 0 ax2 9x3 =3 无解；有唯一解；无穷多解？当有无穷解时求出其全部解，当有唯一解时不用求出其解。 10、已知向量组： ：1=(

11、1,0,1,2)t,： 2 = (0,1,1,2)T, ：3 =(一1,1,0,0)丁，： 4 = (1,2,3,6)T (1 )、求向量组的秩； (2 )、求向量组的一个极大无关组； (3)、将其余向量用这个极大无关组来线性表示。 11、设有如下线性方程组: 2Xi X2 - X3 X4 = 1 Vxr +2x2 _2x3 +x4 =2 、2x1 + X2 - X3 - X4 = a (1 )、a取何值时方程组有无穷解？ (2)、在有无穷解的条件下求出方程组的全部解。 12、求下列向量组的一个极大无关组，并将其它向量用此极大无关组线性表示。 a i=(1,0,1,1)T, a 2=(0,1,0,-1)丁， a 3=(0,0,1,-3) 丁，a 4=(2,-1,3,0)T 13、求向量组 -： = (1,2,-1,1)T , 一：2 = (2,0,t,0)T , 一：3 = (0,-4,5,-2)T , 一：4 = (3,-2,t4,-1)T 的秩和一个极大无关组。 证明题 2 11 1、已知n阶方阵A满足A2A-3l=0，试证A 2I