2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅱ)(文科)

1、普通咼等学校招生全国统一考试（全国卷H ）（文科） 本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟. 第I卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 ） 1.已知集合 A= x|- 1x2 , B = x|0 xf(2x 1)成立的x的取值范围是() I十x A1 A. 3， B. 十) C. 1 1 3，3 D. -1 u 3， 、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上) 13已知函数f(x)= ax 16. 已知曲线y= x+ ln x在点(1, 1)处的切线与曲线

2、y= ax + (a+ 2)x+ 1相切，贝V a = 2x的图象过点(1, 4),则a = 14.若x , y满足约束条件2x y 1 0则z= 2x+ y的最大值为 . x 2y+ 1 WQ 15 已知双曲线过点(4 , ,3),且渐近线方程为y=gx ,则该双曲线的标准方程为 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分 12分） ABC中，D是BC上的点，AD平分/ BAC, BD = 2DC. (1)求 sin B； sin C 若/ BAC = 60 求/ B. 18. （本小题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A, B两地区分别随 机调

3、查了 40个用户，根据用户对产品的满意度评分 ，得到A地区用户满意度评分的频率分 布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表. B地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评 分分组 50 , 60) 60 , 70) 70 , 80) 80 , 90) 90, 100 频数 2 8 14 10 6 （1）在图中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区 满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值,给出结论即可）. H地区用户搞恚度评分的频率分布克方图 图 （2）根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级: 满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意

4、度等级不满意满意非常满意 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由. 19. (本小题满分 12 分)如图，长方体 ABCD-AiBiCiDi 中，AB = 16, BC = 10, AAi = 8, 点E, F分别在AiBi, DiCi上，AiE= DiF = 4过点E, F的平面a与此长方体的面相交，交 线围成一个正方形. Cl (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由 )； 求平面a把该长方体分成的两部分体积的比值. 2 2 1(ab0)的离心率为，点(2, . 2)在C 20. (本小题满分12分)已知椭圆C:予+ 2= 上. (1) 求C的方程； (2) 直线l不

5、过原点O且不平行于坐标轴，I与C有两个交点A, B,线段AB的中点为 M.证明：直线 OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值. 21. (本小题满分12分)已知函数f(x) = ln x+ a(1 x). (1) 讨论f(x)的单调性； (2) 当f(x)有最大值，且最大值大于2a 2时，求a的取值范围. 请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答 时请写清题号. 22. (本小题满分10分)选修4 1:几何证明选讲 (2) 若AG等于O O的半径，且AE = MN = 2 . 3,求四边形EBCF的面积. 23. （本小题满分10分）选修4 4:坐标系与参

6、数方程 亠亠一 一十.“八、X= tCOS a, 在直角坐标系xOy中，曲线Ci：（t为参数，t丰0）其中0WaV n在以0为 y= tsin a 极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2： P= 2sin 0, C3： P= 2 3cos ft （1）求C2与C3交点的直角坐标； 若Ci与C2相交于点A, Ci与C3相交于点B,求|AB|的最大值. 24. （本小题满分10分）选修4 5:不等式选讲 设a, b, c, d均为正数，且a + b= c+ d.证明： （1）若 abcd,则.a + , b . c+ . d; （2）a+b c + 是|a b|c d|的充要条件. 参考答案

7、与详解 本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟. 第I卷 、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 ) 1.解析： ODD 1 -1023 X 选A 将集合A与B在数轴上画出（如图）. 由图可知 A U B = （ 1, 3）,故选A. 2 + ai丄比 2. 解析：选 D =3+i，二2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i，二 a=4,故选 D. 3. 解析：选D 对于A选项，由图知从2007年到2008年二氧化硫排放量下降得最多， 故A正确.对于B选项，由图知，由2006年到2007年

8、矩形高度明显下降，因此B正确.对 于C选项，由图知从2006年以后除2011年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C 正确.由图知2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，故选D. 4. 解析：选 C 法一：/ a= (1, 1), b= ( 1, 2), 2 a = 2, a b= 3, 从而(2a+ b) a = 2a2+ a b= 4 3= 1. 法二：/ a= (1, 1), b= (- 1, 2), 2a+ b= (2, 2) + ( 1, 2) = (1, 0), 从而(2a+ b) a = (1 , 0) (1, 1) = 1,故选 C. 5. 解析：法:/a1+ a5

9、= 2a3,- a1+a3+as=3a3=3, - a3= 1, .s_= 5 (ajj = 5a3= 5,故选 a. 法二:T a1 + a3+ a5= ar+ (ar + 2d) + (ar + 4d) =3a1 + 6d= 3, - a1 + 2d = 1, 5 X4 S5= 5a1+ d = 5(a1+ 2d) = 5,故选 A. 6. 大角”后剩余的部 解析：选D 由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个 分，如图所示,截去部分是一个三棱锥.设正方体的棱长为1,则三棱锥的体积为 V1 =対 X X X1 剩余部分的体积 V2= 13-1=6. 1 所以V1= 6 =丄, V25

10、5, 6 故选D. 7. 解析：选B 在坐标系中画出 ABC（如图）,利用两点间的距离公式可得AB|=|AC| = |BC|= 2（也可以借助图形直接观察得出 ），所以 ABC为等边三角形.设BC的中点为D,点 E为外心，同时也是重心.所以|AE| = |AD|= 竽，从而QE|= |OA|2 + |AE|2 =1 + | = 专，故选B. 第三次循环： 104且 104, a = 10 4 = 6; 第四次循环： 6工4且 64, a= 6 4 = 2; 第五次循环： 2工4且 262= 144 n. 11. 解析：选B 当x 0, 4时,f(x)= tan 4+ tan x,图象不会是直线

11、段，从而排 除 A、C. 当 x ；汨寸，卜鬥=1+ V5，O2羽.W21 + 眾， )f(2x 1)? f(|x|)f(|2x 1|)? |x|2x 1|?x2(2x 1)2? 3x2 4x+ 10?3x1. 3 故选A. 法二：(特殊值排除法) 令 x = 0,此时 f(x) = f(0) = 10, x= 0 不满足 f(x)f(2x 1),故 C 错误. 1 令 x = 2,此时 f(x) = f(2) = ln 3 , f(2x 1) = f(3) 5 丄丄 =ln 4一 1。.t f(2) f(3) = ln 3 ln 4 , 1 其中 In 3ln 4 , In 3 In 4 0

12、 10 f(2) f(3)0 , 即 f(2)f(2x 1), 故B, D错误. 第n卷 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上) 13. 解析：/ f(x)= ax3 2x 的图象过点(1, 4), 4= a* 1)3 2汕1),解得 a= 2. 答案：2 14. 解析： 画出可行域，如图所示.T z= 2x+ y , y= 2x+ z,将直线y= 2x向上平移，经过点B时z取得最大值. x+ y 5= 0 , x 2y+ 1 = 0 , x= 3 , 解得j ly= 2 , -zmax= 2$+ 2= 8. 答案：8 15. 解析：法一：双曲线的渐近线方程为y

13、=gx , 可设双曲线的方程为 x2 4y2= X将0) 双曲线过点(4 ,3), = 16 4*；3)2= 4 , 2 双曲线的标准方程为 x y2= 1. 4 1 法二：渐近线y=十过点(4 , 2),而,38= 56, 1 S 四边形 EB1BH = 2(12+ 6) = 72. 因为长方体被平面 a分成两个高为10的直棱柱, 所以其体积的比值为77也正确. 7a2 b22 4 2 20.解：(1)由题意有a = T，孑+ b= 1, 解得 a2= 8, b2= 4. 2 2 所以C的方程为x + y = 1. 84 (2)证明：设直线 l: y= kx+ b(kQ0,) A(x1, y

14、1), B(x2, y2), 2 2 将y= kx+ b代入号+ y = 1,得 84 M (xm , yM). (2k2+ 1)x2+ 4kbx + 2b2 8= 0. 故Xm = X1 + X2 2 = 2kbb 冇,yM = kXM + b =右. 于是直线OM的斜率koM = yM= 1, xm2k 1 即 kOM k = 2. 所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值. 1 21.解：(1)f(x)的定义域为(0, +) fx)= X a. 若a切,则fx)0,所以f(x)在(0 ,上单调递增. + oo fx)0,则当 x 0, 1 时，fx)0; a， 所以f(x)在0,a上

15、单调递增，在a，+o上单调递减. 由知，当a切时，f(x)在(0, +o)上无最大值; 1 当a0时，f(x)在x=-处取得最大值,最大值为 a 因此f 1 2a- 2 等价于 In a+ a- 10. 令 g(a)= In a + a- 1,贝U g(a)在(0, + o上单调递增，g(l) = 0. 于是，当 0a1 时，g(a)1 时，g(a)0. 因此，a的取值范围是(0, 1). 题计分.作答 请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 时请写清题号. 22. 解：(1)证明：由于 ABC是等腰三角形，AD丄BC, 所以AD是/ CAB的平分线. 又因为O O

16、分别与AB, AC相切于点E, F , 所以AE = AF, 故AD丄EF,从而EF / BC. (2)由(1)知，AE= AF , AD 丄 EF , 故AD是EF的垂直平分线. 又EF为O O的弦， 所以0在AD上. 连接OE , OM ,贝U OE丄AE. 由AG等于O O的半径得 AO = 2OE,所以/ OAE = 30. 因此 ABC和 AEF都是等边三角形. 因为 AE = 2 3,所以 AO = 4, OE= 2. 因为 OM = OE = 2, DM = MN = 3,所以 OD = 1. 于是AD = 5, AB=彎3 所以四边形EBCF的面积为1 -熔心=葺 23. 解：

17、(1)曲线C2的直角坐标方程为 x2 + y2 2y= 0, 曲线C3的直角坐标方程为 x2 + y2 2 3x= 0. x2 + y2 2y = 0 , 联立22 x2+ y2 2 3x= 0 , 解得丿 x=0,或 y= 0 X = , 或 y=3. 所以C2与C3交点的直角坐标为(0, 0)和 曲线Ci的极坐标方程为 0= a p R, pM 0)其中0WaV n. 因此A的极坐标为(2sin a a , B的极坐标为(2 , 3cos a , a). 所以 |AB|= |2sin a 2羽cos a|= 4 sin (a 3 / . 当a=卡刃时,|AB 取得最大值,最大值为4. 24. 证明：(1)因为(，a+ , b)2= a+ b+ 2 , ab , (,c+ d)2= c+ d + 2 cd , 由题设 a + b = c+ d , abcd , 得(.a+