9A文韦达定理及其应用竞赛题

1、MeiWei 81 重点借鉴文档】 韦达定理及其应用 内容综述】 设一 元二次 方程有二实数根 ，则 这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c 的关系， 称之为 韦达定理。 其逆命题也成立。 韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学 竞赛中有着广泛的应用。本讲重点介绍它在五个方面的应用。 要点讲解】 1求代数式的值 应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。 ， 求的值。 的二实根；（隐含 ）。 例1若 a， b为实数，且 思路注意 a，b 为方程 解（1）当 a=b 时， ； （ 2）当时，由已知及根的定义可知， 韦达定理得 a，b

2、 分别是方程的两根，由 ，ab=1. ，则 例 2 若 思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。 ，且 ，试求代数式 的值。 解：因为 理，得 ，由根的定义知 m， n 为方程 的二不等实根，再由韦达定 等都可以用 说明此题易漏解 a=b 的情况。根的对称多项式 ， ， 方程的系数表达出来。一般地，设 ， 为方程 的二根， 有递推关系。 其中 n 为自然数。由此关系可解一批竞赛题。 附加：本题还有一种最基本方法即分别解出a， b 值进而求出所求多项式值，但计算量 较大。 如果我们知道问题中某两个字母的和与积， 则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根 的一元二次方程

3、。 ， MeiWei_81 重点借鉴文档】 【MeiWei 81 重点借鉴文档】 例 3 设一元二次方程 的二实根为 和 。 ( 1)试求以 和 为根的一元二次方程； ( 2)若以 和 为根的一元二次方程仍为 。求所有这样的一元二次方 程。 解( 1)由韦达定理知 ，。 ， 。 所以，所求方程为 (2)由已知条件可得 解之可得由得 ， 分别讨论 (p,q)=(0,0)，(1,0)， ( 1,0)，(0,1)，(2,1)，( 2,1)或 (0, 1)。 于是，得以下七个方程 ， ， ， ， ， 2 2 2 x2 2x 1 0， x2 1 0，其中 x2 1 0无实数根，舍去。其余六个方程均为所求

4、。 3证明等式或不等式 根据韦达定理(或逆定理)及判别式，可以证明某些恒等式或不等式。 例 4 已知 a， b， c 为实数，且满足条件：， ，求证 a=b。 证明由已知得 ， 。 根据韦达定理的逆定理知，以 a， b为根的关于 R 的实系数一元二次方程为 由 a，b 为实数知此方程有实根。 。 c 2 0 ，故 c=0，从而。这表明有两个相等实根，即有 a=b 。 说明由“不等导出相等”是一种独特的解题技巧。另外在求得 c=0 后，由恒等式 可得，即 a=b。此方法较第一种烦琐， 且需一 定的跳跃性思维。 4研究方程根的情况 将韦达定理和判别式定理相结合，可以研究二次方程根的符号、区间分布、

5、整数性等。 关于方程的实根符号判定有下述定理： 方程有二正根， ab0； 方程有二负根， ab0， ac0； 方程有异号二根， ac0； 方程两根均为“ 0”， b=c=0，； 例 5 设一元二次方程的根分别满足下列条件，试求实数 a 的 范围。 二根均大于 1； 一根大于 1，另一根小于 1。 思路设方程二根分别为 ， ，则二根均大于 1 等价于 和 同时为正；一根 大于 1，另一根小于是等价于 和 异号。 MeiWei_81 重点借鉴文档】 解设此方程的二根为 ， ，则 ，。 方程二根均大于 1 的条件为 MeiWei 81 重点借鉴文档】 解之得 7 a 3 方程二根中一个大于 1，另一

6、个小于 1 的条件为 2 4a 2 4(6 a) 0, (x1 1)(x 2 1) 6 a ( 2a) 1 0. 解之得。 a 7 。 说明此例属于二次方程实根的分布问题， 注意命题转换的等价性； 解题过程中涉及 二次不等式的解法， 请参照后继相关内容。 此例若用二次函数知识求解， 则解题过程极为简 便。 5求参数的值与解方程 韦达定理及其逆定理在确定参数取值及解方程(组)中也有着许多巧妙的应用。 例 6解方程 。 解：原方程可变形为 。 令 ， 。则 ,。 由韦达定理逆定理知，以 a， b 为根的一元二次方程是 。 解得 ， 。即 a= 8或 a=9。 (舍去)。 。此种方法应检验： 求解

7、R 结果相同，且严谨。 是或否成立 强化训练 A级 1.若 k为正整数，且方程 k 的值为 。 有两个不等的正整数根，则 2.若 3. 已知 和 是方程 的二实根，则 MeiWei_81 重点借鉴文档】 【MeiWei 81 重点借鉴文档】 4. 已知方程（ m为整数）有两个不等的正整数根，求m的值。 级 5. 已知： 和 为方程 及方程的实根，其 中 n 为正奇数，且 。 求证： ， 是方程的实根。 6. 已知关于 R的方程的二实根 和 满足 ，试求 k 的值。 参考答案 由知 12 ，所以 提示：原方程即 k=1，2，3， 5，11； 由知 k=2，3，4，7。所以 k=2， 3，但 k=3 时原方程有二相等正 整数根，不合题意。故 k=2 。 2提示：由 R，R 为方程的二根，知 ， 。于 321 提示：由 ， ， 知， 4设二个不等的正整数根为， ，由韦达定理，有 消去 m，得 。 MeiWei_81 重点借鉴文档】 【MeiWei 81 重点借鉴文档】 即 。则 且 。 ， 。故 。 5由韦达定理有， 。 又，。 二式相减得 。 ，。 将 代入有 的根。 和 是方程 6当时，可