高等数学公式大全(精华版)

1、高等数学复习公式高等数学公式导数公式：(tgx)sec2 x(arcsin x)11x2(ctgx)csc2 x(arccos x)1(secx)secx tgx1x2(cscx)cscx ctgx( arctgx )1(a x )a x ln a1 x2(log a x)1( arcctgx )1x ln a1x2基本积分表：tgxdxctgxdxsecxdxcscxdxdx22axx2a2dx22axa2x2ln cosxCln sin xCln secxtgxCln cscxctgx C1 arctg x Caa1 ln xaC2axa1 ln axC2aaxxCarcsinadxsec

2、2 xdxtgx Ccos2 xdxcsc2 xdxctgxCsin 2 xsecx tgxdxsecxCcscxctgxdxcscxCa xdxa xCln ashxdxchxCchxdxshxCdxln( xx2a 2 )Cx 2a22sin n xdx2cosn xdxn1 I nI n200nx2a2 dxxx2a2a2ln( xx2a2 )C22x2a2dxxx2a2a2ln xx2a2C22a 2x2 dxxa2x2a2arcsin xC22a三角函数的有理式积分：sin x2u， cos x1u2，u tgx，dx2du1 u 21u221 u2第 1 页 共 15 页高等数学复

3、习公式一些初等函数：双曲正弦 : shx双曲余弦 : chxexe x2exe x2两个重要极限：limsin x1xx 0lim (1 1 ) xe 2.718281828459045.x xshxexe双曲正切 : thxexechxarshx ln( x x2）1xxarchxln( xx21)arthx1 ln 1x2 1x三角函数公式：诱导公式：函数sincostgctg角 A-sin cos -tg -ctg 90-cos sin ctg tg 90+cos -sin -ctg -tg 180-sin -cos -tg-ctg 180+-sin -cos tg ctg 270-co

4、s -sin ctg tg 270+-cos sin -ctg -tg 360-sin cos -tg -ctg 360+sin cos tg ctg 和差角公式：和差化积公式：sin()sincoscossinsinsin2sincoscos()coscossinsin22tg ()tgtgsinsin2 cossin1 tgtg22coscos2coscosctgctg1ctg ()22ctgctgcoscos2 sinsin22第 2 页 共 15 页高等数学复习公式倍角公式：sin 22 sin coscos22cos2112 sin2cos2sin2sin33sin4 sin3ctg

5、2ctg 21cos34 cos33cos2ctg3tgtg3tg32tg13tg 2tg 21tg 2半角公式：sin1coscos1cos2222tg1cos1cossinctg1cos1cossin1cossin1cos1cossin1cos22正弦定理：abc2R余弦定理： c2a2b22ab cosCsin Asin Bsin C反三角函数性质：arcsin xarccos xarctgx2arcctgx2高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式：n(uv)( n )Cnku ( n k ) v(k )k 0u( n) vnu ( n 1) vn(n1)u (n 2) vn(n1)

6、 ( n k1)u( n k)v (k )uv(n )2!k!中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理： f (b)f (a)f ( )(ba)柯西中值定理： f (b)f (a)f ()F (b)F (a)F ()当 F( x)x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率：第 3 页 共 15 页高等数学复习公式弧微分公式： ds1y 2 dx,其中 y tg平均曲率：Ks.: 从 M 点到 M 点，切线斜率的倾角变化量；M 点的曲率： Klimdy.sds2s 0(1y)3直线： K0;半径为 a的圆： K1 .a定积分的近似计算：bba ( y0 y1矩形法： f ( x)yn 1 )anb

7、ba 1 ( y0梯形法： f ( x)yn )y1yn 1 an2bba ( y0抛物线法： f ( x)yn )2( y2y4yn 2 )4( y1 y3a3n定积分应用相关公式：功： W Fs水压力： FpA引力： Fk m1m2,k为引力系数r 21b函数的平均值： yf (x)dxba ab均方根：1f 2 (t )dtba a空间解析几何和向量代数：s： MM 弧长。yn 1 )第 4 页 共 15 页高等数学复习公式空间 2点的距离： dM 1M 2(x2 x1) 2( y2y1 )2( z2z1 )2向量在轴上的投影： Pr j u ABAB cos,是 AB与 u轴的夹角。P

8、r j u (a1a2 )Pr ja1 Pr ja2a b ab cosaxbxay byazbz ,是一个数量 ,两向量之间的夹角： cosaxbxay byazbzax 2ay 2az2bx2by 2bz 2ijkc a baxayaz , cab sin .例：线速度： vwr .bxbybzaxayaz向量的混合积： ab c(ab )cbxbybzabc cos , 为锐角时，cxc ycz代表平行六面体的体积。平面的方程：1、点法式： A( xx0 )B( yy0 )C ( z z0 ) 0，其中 n A, B, C, M 0 (x0 , y0 , z0 )2、一般方程： AxBy

9、CzD03、截距世方程： xyz1abc平面外任意一点到该平面的距离： dAx0By0A2B2空间直线的方程： x x0y y0z z0t,其中 smnp二次曲面：Cz0 DC 2xx0mt m, n, p; 参数方程： yy0ntzz0pt1、椭球面： x2y2z21a2b2c2、抛物面： x2y 2（同号）22qz,p, q2 p3、双曲面：单叶双曲面： x2y2z21a2b2c 2双叶双曲面： x2y2z2（马鞍面）a2b2c21多元函数微分法及应用第 5 页 共 15 页高等数学复习公式全微分： dzz dxz dyduu dxu dyu dzxyxyz全微分的近似计算：zdzf x

10、( x, y)xf y (x, y)y多元复合函数的求导法：zf u(t ), v(t)dzzuzvdtutvtzf u(x, y), v( x, y)zzuzvxuxvx当u，时，u( x, y)v v( x, y)duu dxu dydvv dxv dyxyxy隐函数的求导公式：隐函数，dyFx ，d 2 yx (Fx(Fx)dyF ( x, y) 0dxFydx 2Fy)yFydx隐函数， zFzFyx ，F ( x, y, z) 0xFzyFz隐函数方程组： F (x, y,u, v)0( F ,G)FFFuFvJuvG(x, y,u, v)0(u,v)GGGuGvuvu1( F ,G

11、)v1(F , G)xJ( x, v)xJ(u, x)u1( F ,G)v1(F , G)yJ( y,v)yJ(u, y)微分法在几何上的应用：x(t ), y0 , z0 )处的切线方程： xx0yy0z z0空间曲线y(t )在点 M (x0z(t)(t 0 )(t0 )(t0 )在点 M 处的法平面方程：(t0 )( xx0 )(t0 )( yy0 )(t 0 )( zz0 )0F ( x, y, z) 0FyFz FzFFx,x,若空间曲线方程为：,则切向量 TG ( x, y, z) 0G yG z G zG x Gx曲面 F ( x, y, z) 0上一点 M ( x0 , y0

12、, z0 )，则：1、过此点的法向量： n Fx (x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )2、过此点的切平面方程： Fx ( x0 , y0 , z0 )( xx0 )Fy ( x0 , y0 , z0 )( yy0 )3、过此点的法线方程：x x0y y0zz0Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )Fz (x0 , y0 , z0 )FyG yFz ( x0 , y0 , z0 )( zz0 )0方向导数与梯度：第 6 页 共 15 页高等数学复习公式函数zf ( x, y)在一

13、点沿任一方向的方向导数为： fffp( x, y)llcossinxy其中 为 轴到方向的转角。xl函数zf ( x, y)在一点的梯度：gradf ( x, y)ffp( x, y)ijxy它与方向导数的关系是 ：f，其中e cosisin j，为方向上的grad f (x, y) ell单位向量。f 是 gradf (x, y)在l上的投影。l多元函数的极值及其求法：设 f x ( x0 , y0 )f y (x0 , y0 )0，令： f xx (x0 , y0 ) A, f xy (x0 , y0 ) B, f yy (x0 , y0 ) CACB 20时， A0,( x0 , y0

14、)为极大值B 2A 0,( x0 , y0 )为极小值则： AC0时，无极 值ACB 20时 ,不确定重积分及其应用：f ( x, y)dxdyf (r cos,r sin)rdrdDD22曲面 z f ( x, y)的面积 A1zzdxdyDxyM xx ( x, y)dM yy ( x, y)d平面薄片的重心：D,yDxM( x, y) dM( x, y)dDD平面薄片的转动惯量：对于 x轴 I xy2( x, y)d,对于 y轴 I yx 2( x, y)dDD平面薄片（位于 xoy平面）对 z轴上质点 M (0,0, a), (a0)的引力： F Fx , Fy , Fz，其中：Fxf

15、( x, y) xd，Fyf( x, y) yd3，Fzfa( x, y) xd33D ( x2y2a 2 ) 2D ( x2y 2a2 ) 2D ( x2y 2a2 ) 2柱面坐标和球面坐标：第 7 页 共 15 页高等数学复习公式xr cos柱面坐标： yr sin , f ( x, y, z)dxdydz F (r , , z) rdrd dz, z z其中： F (r ,球面坐标：, z) f (r cos , r sin , z)x r sin cosyr sinsin，dvrdr sinddrr 2 sindrddzr cos, )r 2 sin2r (, ), )r 2 sinf

16、 (x, y, z)dxdydzF ( r ,drddddF (r ,dr0001x dv,y1ydv,z1z dv，其中 Mxdv重心： xMMM转动惯量： I x( y 2z2 )dv，I y( x2z2 )dv，I z( x2y2 ) dv曲线积分：第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：设 f (x, y)在 L上连续， L的参数方程为： x(t) ,(t), 则：y(t)f (x, y)dsf (t ),(t )2 (t )2 (t)dt()xt特殊情况：Ly(t )第 8 页 共 15 页高等数学复习公式第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：设L 的参数方程为 x(t)，则：y(t )P

17、( x, y)dxQ( x, y)dy P(t ),(t )(t )Q(t ),(t)(t ) dtL两类曲线积分之间的关 系：PdxQdy(P cosQ cos，其中 和 分别为) dsLLL上积分起止点处切向量 的方向角。格林公式：QP格林公式：QPPdx Qdy(x)dxdyPdx Qdy()dxdyDyLDxyL当Py,Qx，即： QP时，得到D的面积：A1xdy ydxxy2dxdyD2 L平面上曲线积分与路径 无关的条件：、是一个单连通区域；1 G2、 P( x, y)， Q( x, y)在 G内具有一阶连续偏导数 ，且Q P 。注意奇点，如 (0,0)，应xy减去对此奇点的积分，

18、 注意方向相反！二元函数的全微分求积 ：在 Q P 时， Pdx Qdy才是二元函数 u(x, y)的全微分，其中：x y( x, y)u(x, y)P( x, y) dx，通常设x0。Q( x, y)dyy0 0( x0 , y0 )曲面积分：对面积的曲面积分：f ( x, y, z) dsf x, y, z(x, y) 1 zx2 ( x, y) zy2 (x, y) dxdyD xy对坐标的曲面积分：，其中：P(x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z) dxdyR( x, y, z) dxdy，取曲面的上侧时取正 号；R x, y, z(x, y)

19、dxdyD xyP( x, y, z) dydzP x( y, z), y, zdydz，取曲面的前侧时取正 号；D yzQ( x, y, z)dzdxQ x, y( z, x), zdzdx，取曲面的右侧时取正 号。D zx两类曲面积分之间的关 系： PdydzQdzdxRdxdy(P cosQ cosRcos )ds高斯公式：第 9 页 共 15 页高等数学复习公式(PQR )dvPdydzQdzdxRdxdy(P cosQ cosR cos )dsxyz高斯公式的物理意义 通量与散度：散度：divPQR 即：单位体积内所产生的流体质量，若div0,则为消失.xyz,通量：A ndsAn

20、ds(P cosQ cosR cos，)ds因此，高斯公式又可写成： div AdvAnds斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：( RQ ) dydz (PR) dzdx ( QP ) dxdyPdxQdyRdzyzzxxydydzdzdxdxdycoscoscos上式左端又可写成：xyzxyzPQRPQR空间曲线积分与路径无 关的条件： RQ ， PR， QPyzzxxyijk旋度： rotAxyzPQR向量场 沿有向闭曲线的环流量：PdxQdyRdz A t dsA常数项级数：等比数列：qq2n11 qn1q1q等差数列：23(n1)n1n2调和级数： 111 是发散的123n级数审敛法

21、：第 10 页 共 15 页高等数学复习公式、正项级数的审敛法 根植审敛法（柯西判 别法）：1时，级数收敛1设：limnun，则时，级数发散1n时，不确定1、比值审敛法：2时，级数收敛U n 1 ，则1设：lim时，级数发散U n1n时，不确定1、定义法：3sn u1u2un ; lim sn 存在，则收敛；否则发 散。n交错级数u1u2u3u4或的审敛法 莱布尼兹定理：(u1 u2 u3,un 0)如果交错级数满足un un1u1 ,其余项 rn的绝对值 rn un 1。lim un，那么级数收敛且其和 s0n绝对收敛与条件收敛：(1)u1u2un，其中 un 为任意实数；(2) u1u2u

22、3un如果 ( 2)收敛，则 (1)肯定收敛，且称为绝对 收敛级数；如果 ( 2)发散，而 (1)收敛，则称 (1)为条件收敛级数。调和级数：1 发散，而( 1)n 收敛；nn级数：1 收敛；n2p级数：1 时发散n pp1时收敛幂级数：第 11 页 共 15 页高等数学复习公式x1时，收敛于11 x x 2x3x n1 xx1时，发散对于级数 (3) a0a1x a2 x 2an x n，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全xR时收敛数轴上都收敛，则必存在 R，使x R时发散 ，其中 R称为收敛半径。x R时不定10时， R求收敛半径的方法：设liman 1，其中 an， an 1是 (3)的

23、系数，则0时， Rnan时， R 0函数展开成幂级数：函数展开成泰勒级数：f (x)f ( x0 )( xx0 )f ( x0 ) ( xx0 )2f ( n) ( x0 ) ( x x0 )nf ( n1) ( ) ( x2!n!余项： Rnx0 )n 1 , f ( x)可以展开成泰勒级数的充要条件是： lim Rn 0(n1)!nx0 0时即为麦克劳林公式：f (x) f (0)f (0)xf (0) x2f (n ) (0) xn2!n!一些函数展开成幂级数：(1 x) m1mxm( m1) x2m(m1)(mn 1) xn( 1 x 1)2!n!sin x xx3x5( 1)n 1x

24、2 n 1(x)3!5!(2n 1)!欧拉公式：cosxeixeix2或e cosx i sin xeixesin x2ixix三角级数：f (t ) A0An sin( nta0( an cosnxbn sin nx)n )n 12n 1其中， a0aA0， anAn sinn， bnAn cos n， tx。正交性：sin nx,cosnx任意两个不同项的乘积在 , 1,sin x, cos x, sin 2x,cos2x上的积分 0。傅立叶级数：第 12 页 共 15 页高等数学复习公式f (x)a0(an cosnx bn sin nx)，周期22n 1an1f (x) cosnxdx(n0,1,2)其中1bnf ( x)sinnxdx(n1,2,3)11211121（相加）1522232423286111211121（相减）2242622232422412