阿氏圆问题归纳(二)

1、阿氏圆题型的解题方法和技巧以阿氏圆 ( 阿波罗尼斯圆 ) 为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现， 对于此类问题的归纳和剖析显得非常重要 .具体内容如下：阿氏圆定理 ( 全称：阿波罗尼斯圆定理) ，具体的描述：一动点P 到两定点A、B 的距离m之比等于定比nm( 1) ，则 P 点的轨迹， 是以定比n 内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆 这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆定理读起来和理解起来比较枯燥，阿氏圆题型也就是大家经常见到的PA+kPB，(k 1)P点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型.PA+kPB,(k 1)P 点的运动轨迹是圆或圆弧的

2、题型阿氏圆基本解法：构造 母子三角形相似【问题 】在平面直角坐标系 xOy 中，在 x 轴、 y 轴分别有点 C(m， 0) ， D(0， n). 点 P 是平面内一动点，且 OP=r，求 PC+kPD的最小值 .阿氏圆一般解题步骤：第一步：确定动点的运动轨迹( 圆 ) ，以点 O 为圆心、 r 为半径画圆； ( 若圆已经画出则可省略这一步 )第二步：连接动点至圆心O(将系数不为1 的线段的固定端点与圆心相连接) ，即连接 OP、OD；第三步：计算出所连接的这两条线段OP、 OD长度；第四步：计算这两条线段长度的比k；第五步：在OD上取点 M，使得 OM:OP=OP:OD=k；第六步：连接CM

3、，与圆 O交点即为点P此时 CM即所求的最小值.【补充： 若能直接构造相似计算的，直接计算， 不能直接构造相似计算的，先把 k 提到括号外边，将其中一条线段的系数化成1 ，再构造相似进行计算 】k1习题【旋转隐圆 】如图，在Rt ABC中， ACB=90， D为 AC的中点， M为 BD的中点，将线段AD绕 A 点任意旋转（旋转过程中始终保持点 M为 BD的中点），若 AC=4，BC=3，那么在旋转过程中，线段 CM长度的取值范围是 _.1.Rt ABC中， ACB=90， AC=4， BC=3，点 D 为 ABC内一动点，满足2CD=2，则 AD+ BD的最小值为 _.32. 如图，菱形 A

4、BCD的边长为2，锐角大小为60， A 与 BC相切于点 E，在 A 上任取一点 P，则 PB+ 3 PD的最小值为 _.23. 如图， 已知菱形 ABCD的边长为 4，B=60，圆 B 的半径为 2，P 为圆 B 上一动点， 则 PD+1 PC的最小值为 _.24. 如图，点A，B 在 O上， OA=OB=12,OA OB，点 C 是 OA的中点，点D在 OB上， OD=10.动点 P 在 O上，则 PC+1 PD的最小值为 _.25. 如图，等边 ABC的边长为 6，内切圆记为 O， P 是圆上动点，求 2PB+PC的最小值 .6. 如图，边长为4的正方形，内切圆记为 O， P 是圆上的动

5、点，求2 PA+PB的最小值 .7. 如图，边长为4的正方形，点 P 是正方形内部任意一点，且BP=2，则 PD+1 PC的最小值2为 _ ； 2 PD+4PC的最小值为 _.8. 在平面直角坐标系 xOy 中， A(2 ，0) ，B(0,2) ，C(4，0) ，D(3， 2) ，P 是 AOB外部的第一象限内一动点，且 BPA=135，则 2PD+PC的最小值是 _.29. 在 ABC中， AB=9，BC=8， ABC=60， A 的半径为 6，P 是 A 上的动点， 连接 PB、PC，则 3PC+2PB的最小值为 _.10. 如图，在 Rt ABC中， A=30， AC=8，以 C 为圆心

6、， 4 为半径作 C(1) 试判断 C与 AB的位置关系，并说明理由；(2) 点 F 是 C上一动点，点 D在 AC上且 CD=2，试说明 FCD ACF；1(3) 点 E 是 AB上任意一点，在(2) 的情况下，试求出EF+FA 的最小值 .211.(1)如图 1，已知正方形ABCD的边长为4，圆 B 的半径为 2，点 P 是圆 B 上的一个动点，求 PD+1 PC的最小值和 PD- 1 PC的最大值；22(2) 如图 2，已知正方形ABCD的边长为9，圆 B 的半径为6，点 P 是圆 B 上的一个动点，那么 PD+2 PC的最小值为 _，PD- 2 PC的最大值为 _33(3) 如图 3，

7、已知菱形 ABCD的边长为 4， B=60，圆 B 的半径为 2，点 P 是圆 B 上的一个动点，那么 PD+1 PC的最小值为 _， PD- 1 PC的最大值为 _.22312. 问题提出：如图 1，在 Rt ABC中， ACB=90， CB=4， CA=6， C 半径为 2，P 为圆上一动点，连结AP、 BP，求 AP+1 BP 的最小值2(1) 尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接 CP，在 CB上取点D，使 CD=1，则有 CDCP1 ，又 PCD= BCP， PCD BCP PD1 ，CPCB2BP2 PD=1 BP， AP+1 BP=AP+PD22请你完成

8、余下的思考，并直接写出答案：AP+1 BP的最小值为 _21 AP+BP的最小值为 _ (2) 自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，3(3) 拓展延伸：已知扇形 COD中， COD=90， OC=6，OA=3，OB=5，点 P 是弧 CD上一点，求2PA+PB的最小值 .【二次函数结合阿氏圆题型】13. 如图 1，抛物线 y=ax2+(a+3)x+3 （ a0）与 x 轴交于点A（4，0），与 y 轴交于点B，在x 轴上有一动点E（ m， 0）（ 0 m 4），过点E 作 x 轴的垂线交直线AB 于点 N，交抛物线于点 P，过点 P 作 PM AB于点 M(1) 求 a 的值和直线AB

9、 的函数表达式；(2) 设 PMN的周长为C1， AEN的周长为C2，若 C16 ，求 m的值；C25(3) 如图 2，在（ 2）条件下，将线段 OE绕点 O逆时针旋转得到 OE，旋转角为（ 090），连接EA、 E B，求 E A+ 2 E B 的最小值34问题背景 ：如图 1，在 ABC中， BC=4， AB=2AC问题初探 ：请写出任意一对满足条件的AB与 AC的值： AB=_， AC=_问题再探 ：如图 2，在 AC右侧作 CAD=B，交 BC的延长线于点D，求 CD的长问题解决 ：求 ABC的面积的最大值51. 小明的数学探究小组进行了系列探究活动类比定义：类比等腰三角形给出如下定义

10、：有一组邻边相等的凸四边形叫做邻等四边形探索理解：(1) 如图 1，已知 A、 B、 C 在格点（小正方形的顶点）上，请你协助小明用两种不同的方法画出格点 D，连接 DA、 DC，使四边形 ABCD为邻等四边形；尝试体验 ：(2) 如图 2，邻等四边形 ABCD中， AD=CD， ABC=120， ADC=60， AB=2， BC=1，求四边形 ABCD的面积解决应用 ：(3) 如图 3，邻等四边形 ABCD中， AD=CD， ABC=75， ADC=60， BD=4小明爸爸所在的工厂，需要裁取某种四边形的材料板，这个材料板的形状恰巧是符合如图3条件的邻等四边形，要求尽可能节约你能求出这种四边形面积的最小值吗？如果能，请求出此时四边形ABCD面积的最小值；如果不能，请说明理由2. 我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”(1) 如图 1，在四边形 ABCD中，添加一个条件使得四边形 ABC