高二数学圆锥曲线方程优化训练

1、梦幻网络 ( )数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范文，计划总结第八章圆锥曲线方程 (一)椭圆与双曲线知识网络范题精讲【例 1】 已知椭圆的两焦点为F1(0， 1)、 F 2(0， 1)，直线 y=4 是椭圆的一条准线 .(1)求椭圆方程；(2)设点 P 在椭圆上，且 |PF1| |PF 2|=1，求 tan F1PF 2 的值 .解析 :本题考查椭圆的基本性质及解题的综合能力.x2y2(1)设椭圆方程为b2+ a2 =1( ab0).由题设知 c=1， a2 =4, a2=4,b2=a2 c2=3.cx2y2所求椭圆方程为+=1.34(2)由

2、(1) 知 a2=4,a=2.由椭圆定义知|PF1|+|PF 2|=4，又 |PF 1| |PF2 |=1, |PF1 |= 5 ， |PF 2|= 3 .22又 |F1F2|=2c=2,| PF1|2| PF22| F1F2225943由余弦定理|44cos F1PF 2=2 | PF1 | PF2 |= .25 3522 tan F 1211254PF =F PF=1 = .cos29312【例 2】 已知双曲线 x2 y 2=1, 过点 A(2， 1)的直线 l 与已知双曲线交于12两点 .2P、P(1)求线段 P1 P2 的中点 P 的轨迹方程；(2)过点 B(1，1)能否作直线 l

3、,使 l 与已知双曲线交于两点Q、Q ，且 B 是线段 Q Q2121的中点 ?请说明理由 .(1)解法一 :设点 P1、 P2 的坐标分别为 (x1， y1)、( x2，y2)，中点 P 的坐标为 (x,y),则有 x12y2y2122=1,两式相减，得=1,x2 22梦幻网络 ( ) 最大的免费教育资源网站梦幻网络 ( )数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范文，计划总结2(x1+x2)(x1 x2)=( y1+y2)(y1 y2).当 x1 x2,y 0 时 ,由 x1+x2=2 x,y1+y2=2y,得

4、 2x=y1y2 .yx1x2又由 P1、 P2、 P、 A 四点共线，得 y1=y1y2 .x2x1x2由得 2 x = y1 ,y x 2即 2x2 y2 4x+y=0.当 x1=x2 时， x=2,y=0 满足此方程，故中点P 的轨迹方程是2x2y2 4x+y=0.解法二 :设点 P1、 P2、中点 P 的坐标分别为 (x1,y1)、 (x2,y2)、 (x,y),直线 l 的方程为y=k(x 2)+1, 将 l 方程代入双曲线x2 y2 =1 中，2得 (2 k2)x2+2k(2k 1)x+2k2 3=0,2k(2k1)32k2则 x1+x2=,x1x2=,k 22k2212124(

5、2k1)y +y=k(x +x )+2 4k=2.k2xx1x2k(2k1),2k22于是y1y2 2(2k1)y.2k 22当 y0时，由得 k=2 x .将其代入，整理得2x2y2 4x+y=0.当 l 倾斜角为 90y时， P 点坐标为 (2， 0)仍满足此方程，故中点P 的轨迹方程为 2x2 y2 4x+y=0.(2) 解 :假设满足题设条件的直线l 存在， Q1、 Q2 的坐标分别为 (x3,y3)、 (x4,y4),同 (1) 得2(x3+x4)(x3 x4)=( y3+y4)(y3 y4). x3+x4=2,y3+y4=2, y3 y4 =2(x3x4), x3 x4即 l的斜率

6、为2. l的直线方程为y1=2(x 1)，即 y=2x1.y2x1,方程组2y2无解，与假设矛盾 ,x12满足条件的直线l 不存在 .【例 3】 如下图，已知OFQ 的面积为S，且 OF FQ =1，梦幻网络 ( ) 最大的免费教育资源网站梦幻网络 ( )数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范文，计划总结QOF(1)若 S 的范围为1S2, 求向量 OF 与 FQ 的夹角 的取值范围；2(2)设 | OF |=c(c 2),S= 3 c,若以 O 为中心， F 为焦点的椭圆经过点Q，当 | OQ |取得最小4值

7、时，求此椭圆的方程 .分析 :本题考查向量的基本知识、三角知识及最值问题在解析几何中的综合运用.解 :(1) OF FQ =1, |OF | | FQ | cos=1.又 1 | OF | | FQ | sin(180 )=S,2 tan=2 S,S= tan .2又 1S2, 1 tan2,即 1tan4,222 0B.0R2C.0R4D.2 R4解析 :将方程变为 x2y2111 +1 =1, 由已知可得4 R , 0 R0,mb0) 的离心率互为倒数， 那么以 a、mb、 m 为边的三角形是A. 锐角三角形B. 直角三角形C.钝角三角形D. 等腰三角形解析 :双曲线 x 2 y 2=1

8、的离心率1ca 2b2 ，a2b2e =a=a椭圆的离心率 e2=m2b2.m e1 与 e2 互为倒数， e1e2=1,即a 2b2m2b2=1,整理得 a2+b2=m2.am以 a、 b、 m 为边的三角形是直角三角形 .答案 :B8.方程3( x1)23( y1)2=|x+y 2|表示的曲线是A. 椭圆B. 双曲线C.抛物线D. 不能确定解析 :数形结合法.动点 P(x,y)到定点 ( 1, 1)和定直线 x+y 2=0 距离之比为6.2答案 :Bx2y2x 2y 29.若椭圆m +n=1( mn0)和双曲线a 2 b2 =1( ab0) 有相同的焦点F 1、F2，P 是两条曲线的一个交

9、点，则|PF1 | |PF 2|的值是A. m aB.1(m a)2C.m2 a2D.m a解析 :|PF 1|+|PF 2|=2 m ,|PF 1| |PF2|=2a , |PF1 |=m +a ,|PF 2|=m a . |PF1 | |PF 2|=m a.答案 :A10.已知 F1、 F 2 为椭圆x2+y2 =1( ab 0)的焦点 ,M 为椭圆上一点 ,MF 1 垂直于 x 轴 ,且22abF 1MF2=60 ,则椭圆的离心率为1B.2A.22梦幻网络 ( ) 最大的免费教育资源网站梦幻网络 ( )数百万免费

10、课件下载，试题下载，教案下载，论文范文，计划总结33C.D.32分析 :本题考查如何求椭圆的离心率 .解 : MF 1 x 轴 , M 点的横坐标为xM =c.把 xM 代入椭圆方程x2y 2b2a2+2 =1 中,得 yM=a2 ,b如下图所示 .yMF1OF2x在 RtMF 1F2 中 ,tan F1F1F22c= 3 ,MF2 = MF =b21a2即 2ac=3 b2. 3 a2 2ac 3 c2=0.每一项都除以 a2,得 3 2e 3 e2=0,解得 e13 或 e23(舍 ).=答案 :C3第卷 (非选择题共 70分)二、填空题 (本大题共4 小题，每小题4 分，共16 分 )1

11、1.若椭圆的两个焦点为F1( 4，0)、F 2(4，0) ，椭圆的弦 AB 过点 F1，且 ABF2 的周长为 20，那么该椭圆的方程为 _.解析 : ABF 2 的周长 :|AF2 |+|AF1 |+|BF 2|+|BF 1|=2a+2a=4 a=20, a=5.又 c=4,b=3.椭圆的方程为x 2+y225=1.9答案 : x2+ y2=1259F 、 F是椭圆的两个焦点， PF F =90 , PF F =30 ,12.已知 P 是椭圆上的一点，211221则椭圆的离心率是 _.解析 :因为 e= c =2c=2c,a2a| PF1 | PF2 |于是在 PF 1F2 中，由正弦定理知

12、e=sin 60=3 .sin 90 sin 303答案 : 3313.经过点 M(10,8), 渐近线方程为y= 1x 的双曲线方程为 _.33梦幻网络 ( ) 最大的免费教育资源网站梦幻网络 ( )数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范文，计划总结分析 :本题考查依据条件求双曲线的方程.解 :设双曲线的方程为 ( x 3y)( x+3y)= m(m R,且 m0),因双曲线过点M(10, 8),所以有 (103 8)(10+3 8)=m,得 m=36.333所以双曲线方程为x2 9y2=36,即 x 2 y

13、2=1.364x2y2答案 :=136414.方程x2+y2C，给出下列四个命题 :k=1 表示的曲线为4k1曲线 C 不可能是圆；若 1k4,则曲线 C 为椭圆；若曲线 C 为双曲线，则 k4；若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则1k 5.2其中正确的命题是 _.解析 :当 4k=k 1,即 k= 5 时表示圆，否定命题,显然 k= 5 (1,4),22否定命题；若曲线C 为双曲线，则有 (4 k)( k1)0, 即 4 k 或 kk10,解得 1 k 5,说明命题正确 .2答案 :三、解答题 (本大题共5 小题，共54 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分8

14、 分) 设椭圆的中心为坐标原点，它在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点连成 60的角，两准线间的距离等于83 ，求椭圆方程 .yBOA解 :依题意，设所求椭圆方程为x 2y2a2+2 =1,b椭圆右焦点 F(c,0) 与短轴两端点 A、 B 连成如图，则 AFB=60 , AFB 为等边三角形，于是有 a=2b.又由两准线间的距离等于8 3，得2a 2a2b2联立两方程，解得a=6,b=3.故所求椭圆方程为x2y 2+=1.369Fx60的角，=83 .梦幻网络 ( ) 最大的免费教育资源网站梦幻网络 ( )数百万免费课

15、件下载，试题下载，教案下载，论文范文，计划总结16.(本小题满分10 分)已知椭圆x 2 + y2 =1, 过点 P(2， 1)引一条弦，使它在这点被平分，164求此弦所在的直线方程.y2A( x1, y1)- 4OPB( x , y ) x22- 2解 :如图，设弦与椭圆的两交点坐标为A(x1,y1)、 B(x2,y2).又 P(2,1),x24 y 216,1122x24 y216.得 (x1 x2)(x1+x2 )+4( y1 y2)(y1+y2)=0, y1y2=x1x2=21ABx1x24( y1y2 )4 2 1=k .2 lAB 的方程为 y 1= 1 ( x 2).217.(本

16、小题满分x2y 2512 分 )求以椭圆+=1 的顶点为焦点 ,且一条渐近线的倾斜角为64166的双曲线方程 .分析 :已知渐近线方程为bx ay=0, 中心在原点,求双曲线的方程.可设双曲线方程为b2x2 a2y2= ( 0),根据其他条件 ,确定的正负.解 :椭圆的顶点坐标为 ( 8,0)、 (0, 4).双曲线渐近线方程为x3 y=0,则可设双曲线方程为x2 3y2=k(k 0)，2 2即 x y =1.kk3若以 ( 8,0)为焦点 ,则 k+ k =64,得 k=48,双曲线方程为x2 y2=1；34816若以 (0,4)为焦点 ,则 k k=16,得 k= 12,双曲线方程为y2

17、x2=1.3x2 y241218.(本小题满分 12 分)如下图， 双曲线x)的两个焦点为F1、F 2，P 为双4b2 =1( b N曲线上一点， |OP|5,|PF1 |、 |F1F2|、 |PF 2|成等差数列，求此双曲线方程.yPF1OF 2x梦幻网络 ( ) 最大的免费教育资源网站梦幻网络 ( )数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范文，计划总结解 : |PF 1|、 |F 1F 2|、 |PF 2|成等差数列， |PF1 |+|PF 2|=2|F 1F 2|=4c.又 |PF1 | |PF 2|=2a

18、=4, |PF1 |=2c+2,|PF 2|=2c 2.根据中线定理有|PF 1|2+|PF 2|2=2(|PO |2+|F 1O|2)2(5 2+c2), (2c+2) 2+(2 c 2)22(5 2+c2). 8c2+850+2 c2. c27,即 4+b27. b23.又 b N x, b=1.所求双曲线方程为x2 y2=1.419.(本小题满分12 分)在 ABC 中 ,已知 B(2,0)、C(2,0),AD BC 于点 D, ABC 的垂心1为 H ,且 AH =HD .yAHBO DC x(1)求点 H( x,y)的轨迹 G 的方程；(2)已知 P( 1,0)、 Q(1,0),M 是曲线 G 上的一点 ,那么111能成等差数列,| MQ | MP | PQ |吗 ?若能 ,求出 M 点的坐标；若不能 ,请说明理由 .(1)解 : H 点坐标为 (x,y),则 D 点坐标为 (x,0),由定比分点坐标公式可知,A 点的坐标为 (x, 4 y).3 BH =(x+2,y), CA =( x2, 4 y).3由 BH CA 知 x2 4+ 4y2=0,即 x 2+y 2=1,343 G 的方程为 x2 + y 2 =1(y 0).43(2)解法一 :显然 P、 Q 恰好为 G 的两个焦点 , | MP |+