2019届高考数学大一轮复习 第十三章 推理与证明、算法、复数 13.1 归纳与类比课件 理 北师大版

1、13.1归纳与类比 第十三章推理与证明、算法、复数 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1.归纳推理归纳推理 根据一类事物中 具有某种属性，推断该类事物中_ 都有这种属性.我们将这种推理方式称为归纳推理.简言之，归纳推理是 由 到 ，由 到 的推理. 归纳推理的基本模式：a，b，cM且a，b，c具有某属性， 结论：任意dM，d也具有某属性. 知识梳理 部分事物每一个事物 部分整体个别一般 2.类比推理类比推理 由于 具有某些类似的特征，在此基础上，根据 _ 的其他特征，推断 也具有类似的其他特征，我们把这种推理 过程称为类比推理.简言之，类比推理是两类事物

2、特征之间的推理. 类比推理的基本模式：A：具有属性a，b，c，d； B：具有属性a，b，c； 结论：B具有属性d. (a，b，c，d与a，b，c，d相似或相同) 两类不同对象一类对象 另一类对象 3.归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果_ . 4.演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得 到新结论的推理过程. 不一定 正确 题组一思考辨析题组一思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确. () (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理. () (3)在类比时

3、，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为 合适.() 基础自测 123456 (4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍 数”，这是三段论推理，但其结论是错误的.() (5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是ann(nN). () (6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.() 123456 题组二教材改编题组二教材改编 2.已知在数列an中，a11，当n2时，anan12n1，依次计算a2， a3，a4后，猜想an的表达式是 A.an3n1 B.an4n3 C.ann2 D.an3n1 答案解析 123456 解析解

4、析a2a134，a3a259，a4a3716，a112，a222， a332，a442，猜想ann2. 3.在等差数列an中，若a100，则有a1a2ana1a2a19n (n19，nN)成立，类比上述性质，在等比数列bn中，若b91，则 存在的等式为_. 答案解析 解析解析利用类比推理，借助等比数列的性质， 123456 b1b2bnb1b2b17n(n0(i1,2,3，n)，观察下列不等式： 解析答案 命题点命题点3与数列有关的推理与数列有关的推理 典例典例 (2017湖北七市教科研协作体联考)观察下列等式： 解析答案 解析解析根据式子中的规律可知，等式右侧为 解析解析由211,312,5

5、23知，从第三项起，每一项都等于前两 项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为 55，故选D. A.21 B.34 C.52 D.55 命题点命题点4与图形变化有关的推理与图形变化有关的推理 典例典例 (2017大连调研)某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年 的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为 解析答案 归纳推理问题的常见类型及解题策略 (1)与数字有关的等式的推理.观察数字特点，找出等式左右两侧的规律 及符号可解. (2)与不等式有关的推理.观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到 规律后可解. (3)与数列有关的推理.通常

6、是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法， 找出数列的项与项数的关系，列出即可. (4)与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用 赋值检验法验证其真伪性. 思维升华思维升华 跟踪训练跟踪训练 (1)将自然数0,1,2，按照如下形式进行摆列： 根据以上规律判定，从2 016到2 018的箭头方向是 解析答案 解析解析从所给的图形中观察得到规律：每隔四个单位，箭头的走向是一 样的，比如说，01，箭头垂直指下，45箭头也是垂直指下，89也 是如此，而2 0164504，所以2 0162 017也是箭头垂直指下，之后 2 0172 018的箭头是水平向右，故选A. (2)如图，有一个

7、六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每 边有2个点，第3层每边有3个点，依此类推，如果一个六边形点阵 共有169个点，那么它的层数为 解析答案 A.6 B.7 C.8 D.9 解析解析由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为 26，第4层的点数为36，第5层的点数为46，第n(n2， nN*)层的点数为6(n1).设一个点阵有n(n2，nN)层，则共有的 点数为16626(n1)16 3n23n1，由题意， 得3n23n1169，即(n7)(n8)0，所以n8，故共有8层. 题型二类比推理师生共研师生共研 解析答案 (1) 2 nn q 1 2 n q (2)

8、在平面上，设ha，hb，hc是ABC三条边上的高，P为三角形内任一点， P到相应三边的距离分别为Pa，Pb，Pc，我们可以得到结论： 把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为_. 解析解析设ha，hb，hc，hd分别是三棱锥ABCD四个面上的高，P为三棱锥 ABCD内任一点，P到相应四个面的距离分别为Pa，Pb，Pc，Pd，于是 可以得出结论： 解析答案 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类 比，提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键. (2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等 差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的

9、 类比等. 思维升华思维升华 跟踪训练跟踪训练 (2018晋江模拟)在我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算法 (1261年)一书中，用如下图1所示的三角形，解释二项和的乘方规律.在欧 洲直到1623年以后，法国数学家布莱士帕斯卡的著作(1655年)介绍了这 个三角形.近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这 是“中国三角形”(Chinese triangle)如图1,17世纪德国数学家莱布尼茨发 现了“莱布尼茨三角形”如下图2.在杨辉三角中相邻两行满足关系式： 其中n是行数，rN.请类比上式，在莱布尼茨三角形中 相邻两行满足的关系式是_. 11 121 1331 14641 151

10、01051 图1 图2 解析答案 题型三演绎推理师生共研师生共研 证明 (n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn12(n1)Sn. (大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)Sn14an. 又a23S13，S2a1a21344a1， (小前提) 对于任意正整数n，都有Sn14an. (结论) (第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件) 证明 演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理 的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一 般地，当大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提. 思维升华思维升华 跟踪训练跟踪训练 (1)(

11、2017全国)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成 语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲 看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说： 我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则 A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩 解析答案 解析解析由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩 为“1个优秀、1个良好”.乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀” 时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道 自己的成绩.丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”

12、时，丁为“良 好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩. 故选D. (2)已知函数yf(x)满足：对任意a，bR，ab，都有af(a)bf(b)af(b) bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数. 证明 证明证明设x1，x2R，取x1x1f(x2)x2f(x1)， x1f(x1)f(x2)x2f(x2)f(x1)0， f(x2)f(x1)(x2x1)0， x10，f(x2)f(x1). yf(x)为R上的单调增函数. 高考中的合情推理问题 高频小考点高频小考点 合情推理在近年来的高考中，考查频率逐渐增大，题型多为选择、填 空题，难度为中档. 解决此类问题的注意事项与

13、常用方法： (1)解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误.应由条件 多列举一些特殊情况再进行归纳. (2)解决类比推理问题，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘 由，再去类比另一类问题. 考点分析 典例典例 (1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小 石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数： 答案解析 将三角形数1,3,6,10，记为数列an，将可被5整除的三角形数按从小到 大的顺序组成一个新数列bn，可以推测： b2 018是数列an的第_项； 5 045 b2k1_.(用k表示) 答案解析 (2)设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数yf(

14、x)满足： ()Tf(x)|xS；()对任意x1，x2S，当x1x2时，恒有f(x1)f(x2).那 么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是_. AN，BN； Ax|1x3，Bx|x8或0 x10； Ax|0 x1，BR； AZ，BQ. 答案解析 解析解析对于，取f(x)x1，xN， 所以AN，BN是“保序同构”的，故排除； 所以Ax|1x3，Bx|x8或0 x10是“保序同构”的，故 排除； 所以Ax|0 x0，f(1)0， 证明： (1)a0且2 0，f(1)0， 所以c0,3a2bc0. 由abc0，消去b得ac0； 再由条件abc0，消去c得ab0， 因为f(0)0

15、，f(1)0， (2)方程f(x)0在(0,1)内有两个实根. 12345678910111213141516 证明 1(ab0)所围成的平面图形绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的 几何体(称为椭球体)(如图)，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公 式的方法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积为_. 拓展冲刺练 12345678910111213141516 15.(2017湖北八校联考)祖暅是我国南北朝时代的数学家， 是祖冲之的儿子.他提出了一条原理：“幂势既同，则积 不容异.”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高. 这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水 平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.设由椭圆 解析答案 12345678910111213141516 解析解析椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，现构造两个底面半径为b， 高为a的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱 上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积. 16.(2017青岛模拟)对于三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)，给出定义： 设f(x)是函数yf(x)的导数，f(x)是f(x)的导数，若方程f(x)0有实 数解x0，则称点(x0，f(x0)为函数y