高等数学考研知识点总结8

1、第八讲多元函数微分学一、考试要求1. 理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。2. 了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。3. 理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。4. 理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。5. 掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。6. 了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。7. 了解二元函数的二阶泰勒公式 (数一 )。8. 理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件， 会求二元函数的极值， 会用拉格朗日乘数

2、法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值， 并会解决一些简单的应用问题。二、 内容提要1、 多元函数的概念： z=f(x,y), (x,y)D2、 二元函数的极限定义、连续limf ( x, y)A,limf ( x, y)f ( x0 , y0 )xx0xx0yy0yy03、 偏导数的定义、高阶偏导、全微分z=f(x,y)f ( x0x, y0 )f (x0 , y0 )f x ( x0 , y0 ) = lim0x,xf y ( x0 , y0 ) = limf (x0 , y0y)f ( x0 , y0 )y0y若 zf ( x0x, y0y)f ( x0 , y0 )f x (

3、x0 , y0 ) x f y ( x0, y0 ) y ( )0则 dzz dxz dyxy4、偏导连续可微可导 (偏导 )连续极限存在5、复合函数求导法则（1）多元与一元复合：设xx(t ), yy(t ), zz(t) 在在与 t 对应的点 (x, y, z)( x(t ), y(t), z(t ) 可微，则 u可微，且t 可微， u f ( x, y, z) f (x(t ), y(t ), z(t) 在 t 处duf dxf dyf dzdtx dty dtz dt1（2）多元与多元复合：设 u(x, y), v( x, y) 在点 (x, y) 存在偏导数，w f (u, v) 在

4、与 ( x, y) 对应的点 (u,v) 可微，则 wf ( ( x, y), ( x, y) 在点 (x, y) 存在偏导数，且wf ufv ，wf uf vxu xvxyu yv y6、隐函数求导法则要求掌握三种情形：1） F(x,y,z)=0,F ( x, y, z)0,z( x), yy( x)2）zG( x, y, z)0,F ( x, y,u,v)0,uu( x, y)3）0,vv( x, y)G( x, y,u,v)7、二元函数的二阶泰勒公式设 z=f(x,y) 在点 (x0 , y0 ) 的某个邻域内具有二阶连续偏导数，( x0 h, y0k ) 为此邻域内一点，则有f ( x

5、0 h, y0 k )f ( x0 , y0 ) (hxk ) f (x0 , y0 )y+ 1 (hk) 2 f ( x0 , y0 ).2!xy1 (hk) 3 f ( x0h, y0k),01.3!xy8、多元函数的极值1) 定义2) 可能极值点3) 取极值的必要条件4) 取极值的充分条件设 f x ( x0 , y0 ) 0,f y ( x0 , y0 ) 0,Af xx ( x0 , y0 ) , Bf xy ( x0 , y0 ) , Cf yy (x0 , y0 )B2AC若 0 , 则 (x 0 , y0 ) 为 z=f(x,y) 的一个极值点 A 0, 极大值A0, 极小值9

6、、条件极值zf ( x, y), s.t .( x, y)0构造拉格朗日函数：F (x, y,)f ( x, y)( x, y)2Fx0由 Fy 0 解得可能极值点，再由实际问题判断极值。F010、最值：区域内部或边界上达到三、典型题型与例题题型一、基本概念题（讨论偏导、连续、可微之间的关系）y22yz例 1、 设 z ( y 3x 2 )( x y 4 ) xe x，求x ( 1, 0)例 2 考虑二元函数 f(x,y) 的下面 4 条性质： f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处连续， f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处的两个偏导数连续， f (x, y) 在点 (

7、x0 , y0 ) 处可微， f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处的两个偏导数存在 .若用“ PQ ”表示可由性质P 推出性质 Q, 则有（ A ） .（B） .（ C） .（D） .x 2 y 23 , x2y 20例 3、 设 z ( x 2y2 ) 20, x 2y201）在（ 0，0）点，函数是否连续？是否偏导数存在？是否可微？一阶偏导数是否连续？2）求 dz3题型二、 求多元函数的偏导数和全微分本题型包括如下几个方面的问题1、初等函数的偏导数和全微分2、求抽象函数的复合函数的偏导数3、由方程所确定的隐函数的偏导数和全微分4、含抽象函数的方程所确定的隐函数的偏导数和全微分5

8、、由方程组所确定的隐函数的偏导数方法：直接求导法；公式法；微分形式不变性。例 4、 设 f ( x, y) x 2 arctan yy2 arctan x，求 f,2 fxyxx y例 5、设 u f ( x ,y ) ，求 du,2 uyzy z4* 例 6、已知函数 z=z(x,y)满足 x 2 zy 2zz2xyux,11设11,对函数(u,v), 求证0 .vzxuyx例 7、 设 zf ( u, x , y), u xe y ，有二阶连续偏导数，求2 zx y例 8、 设 uf ( x, y, z) 有连续偏导数， yy( x ) 和 zz( x ) 分别由方程xe xyy 0和 e

9、zxz 0 确定，试求 dudx5例 9设函数 z = z (x, y)由方程 F ( y ,z)0 确定 , 其中 F 为可微函数 , 且 f 2 0, 则zy zxxx_ .xy(A)x.(B)z .(C)x.(D) z .例 10 设 uf ( x , y, xyz) ，函数 zz( x, y) 由方程zxyzz t )dt e 确定，其中 f 可微， g 连续，求 x uy ug( xyxyxy6例 11、 设 u f ( x ut , yut , z ut ) 求 u , ug( x , y, z) 0x y题型三：变量替换下表达式的变形* 例 12、设 uf ( x , y) 具有

10、二阶连续偏导数，而 xs3t , y3s t ，222u2 u2 u2 u证明2y2s2t 2x7题型四反问题解题思路：由已知满足的关系式或条件，利用多元函数微分学的方法和结论，求出待定的函数、参数等。例 13、 已知 (axy 3y 2 cos x )dx (1 by sin x3x 2 y2 )dy 为某一函数 f ( x , y) 的全微分，求 a, b例 14、 设 zf ( x , y) 满足2 f2x , f ( x ,1) 0, f ( x,0)sin x ，求 f ( x, y)y2y2 u2 u3例 15、设函数 uf (ln x2y 2 ), 满足( x 2y 2 ) 2,

11、 试求函数 f 的表x2y 2达式 .8题型五、多元函数的应用1、极值的求法步骤： 1) 解方程组 f x x0 ,y 00 ， f y x 0 ,y 00 ，得所有驻点；2) 对每一个驻点x0 ,y 0 ，求 A=f xxx 0 ,y 0，Bf xyx 0 ,y 0 ， C=f yyx 0 ,y 0 的值；3）由 B2AC 的符号确定是否为极值点，是极大值点还是极小值点。2、最值的求法闭区域上连续多元函数的最值可能在区域内部或边界上达到，先求出在区域内部的所有驻点以及偏导数不存在的点，比较这些点与边界上点的函数值，最大者即为最大值，最小者即为最小值。对于实际问题一般根据实际背景来确定是否取最值 （如可能极值点唯一， 则极小（大）值点即最小（大）值点）。条件极值还可用拉格朗日乘数法来求。例 16、讨论二元函数 zx3y 32( x 2y2 ) 的极值。例 17 求椭圆 x 22xy3 y28 y0 与直线 xy8 之间的最短距离。92* 例 18、（054）求 f(x,y)= x 2y2 2 在椭圆域 D ( x, y) x 2 y 1 上的最大值 4和最小值 .* 例 19、(99 34) 设生产某种产品