一元二次方程实数根的分布

1、第一课时：一元二次方程实数根的分布教学目标 ：使学生掌握一元二次方程实根分布问题的处理，加强求解一元二次不等式及不等式组，初步训练学生的数形结合能力。教学重点： 利用二次函数的图象， 把一元二次方程根的分布 转化 图形问题转化代数表达式(不等式组)计算参数取值范围教学难点： 图形问题转化成代数表达式 (不等式组 )并求解。、问题的提出若方程 x2 (m 2)x (m 5) 0 的两根均为正数， 求实数 m 的取值范围变式 1：两根一正一负时情况怎样？变式 2：两实根均大于 5 时情况又怎样？ 变式 3：一根大于 2，另一根小于 -1 时情况又怎样？问题：能否从二次函数图形角度去观察理解？若能试

2、比较两种方法的 优劣.方程 ax2 bx c 0(a 0) 的实根，如若从二次函数图形角度去观察 理解，其实质就是对应的二次函数 f (x) ax2 bx c 0(a 0) 的抛物线 与 x 轴交点的横坐标 .一元二次方程实根分布，实质上就是方程的根与某些确定的常数大小 关系比较 .二、一元二次方程实根分布仿上完成下表一元二次方程ax2 bx c 0(a0)实根分布图解三、练习1. m为何实数时，方程x2 (m 1)x 2m 0的两根都 在-1与1之间.2、 若方程x2(a 1)x (a 3) 0的两根中，一 根小于0,另一根大于2,求a的取值范围.四、小结基本类型与相应方法：2设f(x) a

3、x bx c(a 0)，贝U方程f(x) 0的实根分布的基本类型及相应方法如下表:1 .两实根都小于k / .0A k2a af(k)02 .两实根都大于k1 wz/ r0上k2a af(k)03两实根都在(kk2)内 W/ 1 r k1k2x0af (k1)0af (k2) 0k1丁 k22a4.两实根都在(kk2)外af(kj 0af (k2)05 两根中有且只有一根在(k1 , k2 )内 卜、吧“kyk2 X kyk2 xf(k1)f(k2)0五作业：24(C) a 0(D)4 a 00(k为常数)有两实根，且01 ,()(C)2 a 1 或 3 k4(D)无解3a 2 0的一根大于1

4、,另一根小于1则a( )1 关于X的一元二次方程 2ax 2x 的值是(A) a 0 或 a 4(B) a2 22方程 7x (k 13)x k k 212，那么k的取值范围是(A)3 k 4 ( B) 2 k 1933 .设m是整数,且方程3x2 mx 20的两根都大于 而小于-，则57m .4若关于x的方程(1 m2)x2 2mx 10的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是 m =2 5方程x2 (2 m 1)x (m 6) 0的一根不大于1,另一根不小于1试求：(1)参数m的取值范围；(2 )方程两根的平方和的最大值和最小值第二课时一元二次方程实数根分布的应用一复习填空:a b

5、 c例1已知实数a、b、c满足a b c 1 ，求a b的取值范围a2 b2c21解由已知得a b1c且“ 、2 “22、2 2ab(a b) (ab )(1 c) (1c)_2_c c.220的两根.由a b c0的二根都大于c .令所以a,b是一元二次方程x2 (1 c)x (c2 c)f (x) x2 (1 c)x (c2 c)，有1 cc21 c2cf (c)0即3c22c 0(c1)24(c2c)03c22c 10问题可转化为方程x2(1 c)x (c2 c)14求得3 c 。，因此a b (1,3).例2已知点A(0,4)、B(4,0).若抛物线y x2 mx m 1与线段AB (

6、不包括端点A及B)有两个不同的交点，贝U m的取值范围是 . (1997年上海市高中数学竞赛)解：显然直线AB的方程为-丿1(0 x 4)即y 4 x，代入抛物44线方程并整理得x2(1 m)x (m 3)0.设f (x) x (1 m)x (m 3)，问题转化函数y f (x)的图象和x轴在0到4之间有两个不同的交点,即方程x2(1 m)x(m 3)0 在(0,4)上有两个不相等的实根.所以m)24(m 3)m161(1 f(0) f(4) 0皿2304(m 1) m4.解得m的取值范围是3173例3关于x的实系数二次方程ax b 0的两个实数根为明：如果| 2,| 2，那么 2|a|4 b

7、且|b| 4;如果 2|a| 4 b且|b| 4，那么| 2,| 2.(1993年全国高考题)证明 设f (x) x2 ax b，由已知，函数y f(x)的图象与x轴在2到2之间有两个不同的交点.所以a2 4b 0,(1)a2-2, (2)2f( 2)4 2a b 0,(3)f (2)4 2a b 0.(4)由、得(4 b) 2a 4 b，所以2|a| 4 b.由，得|a| 4，结合 得4b a216，所以b 4.将(3)+(4)得b 4，因此 4 b 4，即 |b | 4 .由于 2|a| 4 b 且 |b| 4，可得 b 4,2 |a| 4 4 8，所以 |a | 4， aa22.即函数f

8、(x)的图象的对称轴x位于两条直线x 2，22x 2之间.因为 f( 2) f (2)(4 2a b) (4 2a b) 2(4 b) 0，f ( 2) f (2)(4 2a b)(4 2a b) (4 b)2 4a20 .所以f( 2)0, f(2)0 .因此函数f(x)的图象与x轴的交点位于-2和2之间，即| 2,| 2.作业1 .已知抛物线y x2 (m 4)x 2(m 6), m为实数.m为何值时，抛物线与x轴的两个交点都位于点(1,0)的右侧?2.已知a, b, c都是正整数，且抛物线f(x) ax2 bx c与x轴有两个 不同的交点A、B.若A、B到原点的距离都小于1,求a b c

9、的最小 值.第三课时应用提高例1若方程x2 x k在1,1上有实根，求实数k的取值范围.2解法一：方程x2 x k在 1,1上有实根，即方程x2 x k 0在 1122上有实根，设f（x） x2 -x k，则根据函数y f（x）的图象与x轴的交点的横2（1）两个实根都在1,1上，如图:0f( 1) 09解得k16可得f (1)0，1 b 1 2a（2）只有个头根在1,1上，如图:可得f( 1) f(1) 0，解得1,52k，综合（1）与（2）可得实数k的取值范围为9 516,2坐标等价于方程 f （x）0的根.解法二：方程x2x k在21,1上有实根，即存在x1,1 ，使得等式2 2 k x

10、x成立，要求k的取值范围，也即要求函数k x x,x 1,1的值y k2 2设kf(x)2 xx x23,又因x1,1，则k f (1),241616可得95k162x,则yx k在解法三:令y2 xk ,2则方程x1,1上有实根，等价22域.于方程组y x 2x在1,1上有实数解，也即等价于抛物线lx,与2直线y k在 1,1上有公共点，如图所示95直观可得：k 5.1627 fy 57-1 o91X161:i解法四：根据解法三的转化思想，也可将原方33程x2 X k化成x2X k，然后令22y x2,y x k，从而将原问题等价转化为22 抛物线y x与直线y x k在 1,1上有公共 点

11、时，“数形结合法”下去求参数k的取值范围.根据图形直观可得：当直线 yx k过点(2截距k最大；当直线y -x29.故参数的取值范围为16k与抛物线y且k最大已知实数b、c满足一mf(x)ax2 bx八/./-1 O1 x9花1,1)，x k相切时，截距k最小.216ckf0，其中m为正数.对于(1)若a 0，求证：af()m 1若a 0，证明方程f(x)0在(0,1)内有实根.证明(1)由汽上巴)，所以m 1af()m 1aa(-m-)2m 1b(弋)m 1ca2( mm _21)-a2m21 22(m 1)m 2m(m 1)22m 0(m 1)20 ，故m 2maf(jm-)m 1(2)要证明方程f(x)0在(0,1)内有实根，只须证明af(O) 0,af (1) 0,f(0) f(1) 0 或0,b2a1.但两者都不易证明af ( )0,对a进行讨论:m 11(m 0),结合第(1)题当a 0时，有f (-) 0.只要证明f (0) c和f (1)