微积分基本定理

1、那么有什么好办法呢？那么有什么好办法呢？ 从前面的学习中可以发现，虽然从前面的学习中可以发现，虽然 被积函数被积函数 非常简单，但直接用非常简单，但直接用 定积分的定义计算定积分的定义计算 的值却比的值却比 较麻烦较麻烦.而对于而对于 几乎不可能直接几乎不可能直接 用定义计算用定义计算. 3 f x =x 1 3 0 x d x 2 1 1 d x x 我们已经学习了微积分我们已经学习了微积分 学中两个最基本和最重要的学中两个最基本和最重要的 概念概念导数和定积分导数和定积分，先，先 回顾一下回顾一下. 知识回顾知识回顾 是刻画函数变化快慢程度的是刻画函数变化快慢程度的 一个一般概念，由于变量

2、和函数在自然一个一般概念，由于变量和函数在自然 界和社会中有着几乎无处不在的实际背界和社会中有着几乎无处不在的实际背 景，所以它是高等学校许多专业的一门景，所以它是高等学校许多专业的一门 重要基础课重要基础课. 的最本质思想：在每个局的最本质思想：在每个局 部小范围内部小范围内“以直代曲以直代曲”，“以不变代以不变代 变变”和逼近的思想，这也是应用定积分和逼近的思想，这也是应用定积分 解决实际问题的思想方法解决实际问题的思想方法. 新课导入新课导入 学习微积分，数学和思维水平都将学习微积分，数学和思维水平都将 进入一个新的阶段，能切实地训练学生进入一个新的阶段，能切实地训练学生 的辨证思维的辨

3、证思维.毫不夸张地说，不学或未学毫不夸张地说，不学或未学 懂微积分，思维难以达到较高的水平，懂微积分，思维难以达到较高的水平， 难以适应难以适应21世纪对高中学生素质的要求世纪对高中学生素质的要求. 利用本节学习的微积分基本定理，利用本节学习的微积分基本定理， 我们就能轻松解决首页的问题我们就能轻松解决首页的问题. 1.4.2 微积分基本定理微积分基本定理 微积分是研究各种科学的工具，微积分是研究各种科学的工具， 在中学数学中是研究初等函数最有在中学数学中是研究初等函数最有 效的工具效的工具.恩格斯称之为恩格斯称之为“17世纪自世纪自 然科学的三大发明之一然科学的三大发明之一”. 学习微积分的

4、意义学习微积分的意义 微积分的产生和发展被誉为微积分的产生和发展被誉为“近代近代 技术文明产生的关键事件之一，它引入技术文明产生的关键事件之一，它引入 了若干极其成功的、对以后许多数学的了若干极其成功的、对以后许多数学的 发展起决定性作用的思想发展起决定性作用的思想.” 微积分的建立，无论是对数学还是微积分的建立，无论是对数学还是 对其他科学以至于技术的发展都产生了对其他科学以至于技术的发展都产生了 巨大的影响，充分显示了数学对于人的巨大的影响，充分显示了数学对于人的 认识发展、改造世界的能力的巨大促进认识发展、改造世界的能力的巨大促进 作用作用. 教学目标教学目标 知识与能力知识与能力 了解

5、微积分的概念和推导过了解微积分的概念和推导过 程以及基本思想，并能利用微积程以及基本思想，并能利用微积 分的定义解决实际问题分的定义解决实际问题. 过程与方法过程与方法 通过实例（如变速运动物体在某通过实例（如变速运动物体在某 段时间内的速度与路程的关系），段时间内的速度与路程的关系）， 直观了解微积分基本定理的含义直观了解微积分基本定理的含义 情感态度与价值观情感态度与价值观 微积分是大学阶段的数学必修，微积分是大学阶段的数学必修， 是高等数学的基础组成部分是高等数学的基础组成部分.高中阶高中阶 段的导数是其基础段的导数是其基础. 教学重难点教学重难点 重点重点 直观了解微积分定理的基本含义

6、直观了解微积分定理的基本含义, 能利用定理计算简单的定积分能利用定理计算简单的定积分. 难点难点 微积分基本定理的推导过程微积分基本定理的推导过程. 变速直线运动变速直线运动 如图，一个作变速直线运动的物如图，一个作变速直线运动的物 体的运动规律是体的运动规律是y=y(t).由导数的概念的由导数的概念的 可知，它在任意时刻可知，它在任意时刻t的速度的速度 . 设这个物体在时间段设这个物体在时间段a,b内的位移为内的位移为s， 你能分别用你能分别用y(t),v(t)表示表示s吗？吗？ v t = y tv t = y t 函数函数y=y(t)在在t=b处与处与t=a处的函处的函 数值之差数值之差

7、. s=y(b)-y(a) 物体的位移物体的位移s 还可利用定积分，有还可利用定积分，有v(t)求位移，求位移， 用分点用分点 将区间将区间a,b等分成等分成n个小区间：个小区间： 01i-1i a = t t tb时，时， 成立成立. b a f(x)dxF(b)F(a) 因为因为f(x)在在a,b内连续内连续 是是f(x)的一个原函数的一个原函数. 又又F(x)是是f(x)的原函数，的原函数， F(x)= +C.在上式中令在上式中令x=a,则则 由由 得到得到C=F(a) 移项得移项得 令令 即得即得 x a f(t)dt x a f(t)dt a a f(t)dt = 0 x a f(t

8、)dt =F(x)-F a b a x = b, f x dx = F b -F a . 证明：证明： 定积分的基本公式定积分的基本公式,又称牛顿又称牛顿- 莱布尼兹公式莱布尼兹公式.常表示为常表示为 b b a a f(x)dx = F(x)= F b -F a . 接下来让我们练一练吧接下来让我们练一练吧 例例1. 计算计算 解解: 3 3 -1 2 -1 dx = arctanx 1+x = arctan 3 -arctan -1 7 =- -= 3412 因为因为 2 1 arctanx= 1+x 由微积分基本定理得：由微积分基本定理得： 3 2 -1 dx . 1 + x 例例2.

9、计算计算 3 2 1 1 2x-dx x 解解: 333 22 111 233 11 11 2x-dx =2xdx-dx xx 11 = x+= 9-1 +-1 x3 22 = 3 因为因为 2 2 11 x= 2x,= -, xx 由微积分基本定理得：由微积分基本定理得： 0 0 A =sinxdx = -cosx = -cos - -cos0 = 2 y ox xysin 例例3. 计算正弦曲线计算正弦曲线 上上 与与x轴所围成的面积轴所围成的面积 y=sinx0,在在 解解:因为因为 -cosx=sinx 由微积分基本定理得：由微积分基本定理得： A 更改积分区间为更改积分区间为 ， 自

10、己动手计算一下你有什么结论自己动手计算一下你有什么结论? ,2 , 2,0 运用数形结合的思想运用数形结合的思想 深入探究深入探究 y x o 2 2 xysin （1）当对应的区间为）当对应的区间为 时，区域时，区域A 位于位于x轴的正上方轴的正上方.定积分取正值定积分取正值. 并等于并等于 区域区域A的面积的面积. 0, 0, + A 0 A =sinxdx y ox 2 2 xysin （2）当对应的区间为）当对应的区间为 时，区域时，区域 A位于位于x轴的下方轴的下方.定积分取负值定积分取负值. 绝对值绝对值 等于区域等于区域A的面积的面积. ,2,2 -A 2 -A =sinxdx

11、y ox 2 2 xysin （3）当对应的区间为）当对应的区间为 时，区域时，区域 位于位于x轴的上方的面积等于位于轴的上方的面积等于位于x轴下方轴下方 的面积的面积.定积分值为定积分值为0. 且等于位于且等于位于x轴上轴上 方的面积减去位于方的面积减去位于x轴下方的面积轴下方的面积. 0,20,2 - + 2 0 sinxdx = 0 0 0 2 2 2 2 0 0 sinxdx = -cosx= -cos - -cos0 = 2 sinxdx = -cosx= -cos2 - -cos = -2 sinxdx = -cosx= -cos2 - -cos0 = 0 所以得到：所以得到： 微

12、积分基本定理微积分基本定理揭示了导数和定积揭示了导数和定积 分之间的内在联系，同时它也提供了计分之间的内在联系，同时它也提供了计 算定积分的一种有效方法算定积分的一种有效方法.微积分基本定微积分基本定 理是微积分学中最重要的定理，它使微理是微积分学中最重要的定理，它使微 积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深 远的学科远的学科. 微积分基本公式微积分基本公式 , )()(, ,)(xfxFbaCxf且设 则有 xxf b a d)( 积分中值定理积分中值定理 )(abF)()(aFbF 微分中值定理微分中值定理 )(abf 牛顿 莱布 尼兹公式 课堂小结课堂小结

13、课堂练习课堂练习 1. 计算计算 . 2 2 2 22 2 1 1 d dx x x x ( (1 1+ +x x ) ) 2. 汽车以每小时汽车以每小时 36 km 的速度行的速度行 驶驶 ,到某处需要减速停车到某处需要减速停车,设汽车以设汽车以 等加速度等加速度 刹车刹车,问从开始刹问从开始刹 车到停车走了多少距离车到停车走了多少距离? 2 2 m m s s a = -5a = -5 222 2222 111 2 2 1 1 dx11 =dx-dx x (1+x )x1+x 11 = -arctanx=+-arctan2 x24 1.解解:因为因为 22 111 -=, arctanx = xx1+x 由微积分基本定理得：由微积分基本定理得： 课堂答案课堂答案 2. 解解: 设开始刹车时刻为设开始刹车时刻为 则此时刻则此时刻 汽车速度汽车速度 刹车后汽车减速行驶刹车后汽车减速行驶 , 其速度为其速度为 当汽车停住时当汽车停住时, 即即 得得 故在这段时间内汽车所走的距离为故在这段时间内汽车所走的距离为 ,0t 3 36 6 1 10 00 00 0 k km m m mm m h hs ss s 0 03 36 60 00 0 v v = = 3 36 6( () ) = =