2.3.1双曲线及其标准方程B详解

1、1人教版高中数学选修 2 1 第二章圆锥曲线与方程 三.双曲线 2. 3. 1双曲线及其标准方程 第2课时双曲线及其标准方程（2） 教学过程 一.双曲线中焦点三角形性质 【例11 （1） （2012年全国大纲卷文科）已知R , F2为双曲线C : x2 y2 =2 的左，右焦点，点 P在 C上，|PFi2| PF2I，则 cos F1PF2 二（） A. 1 B. 3 C. m D.- 4 5 4 5 设F1、 F1PF2 =90 , 2 F2为双曲线X -y2 =1的两个焦点， 4 则厶F1PF2的面积是. 点P在双曲线上，且满足 点评：双曲线中焦点三角形及解题策略 焦点三角形：双曲线上的动

2、点P与两焦点Fi、F2构成的三角形（三点不共线）称为 焦点三角 形； 解题策略： 焦点三角形的定义一一 |PF1 PF2| =2a ； 正弦定理、余弦定理 利用正弦定理，余弦定理建立联系； 1 三角形的面积公式S = aha . x2 y 一般地，双曲线2 2=1(a.O, b 0)上一点 M与两焦点F,、F2构成 F1MF2，若 a b 2 a .F,MF2 二：，贝y F,MF2 的面积 s=b2cot. 2 二.求双曲线的标准方程 1利用定义法求双曲线的标准方程 【例2】 已知动圆M恒过定点B(-2,0 )，且与定圆C ： (x-2)2 + y2=4相 外切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说

3、明轨迹是什么曲线. 【变式】 1. 若将题中条件变为圆M与圆C相切，则动点M的轨迹方程是什么? 2.已知A-1,0 ), B是O F ：(x_1：+y2=1上一动点，线段AB的垂直 平分线交BF于点P，则点P的轨迹方程是. 2. 利用待定系数法求双曲线的标准方程 2 【例3】以椭圆L y2 =1的焦点为焦点，且过点Q(2, 1)的双曲线方 4 m曰 程是 ( ) 2 2 2 2 A. -y2 =1； x 2 B.y =1； C. x2-y =1 ； D. x2-y 1. 2 4 4 2 2 2 与双曲线盒亡有相同焦点且经过点3迈2的双曲线方程 2 2 点评：对于与椭圆 务出=1 ( a b 0

4、)共焦点的双曲线系，可设为 a b 2 x a2 _k 2 y k -b2 二 1 ( b2 ： k : a2); 对于与双曲线 2 2 % 一召1( a 0,b 0)共焦点的双曲线系，可设为 a b 2 2 2 a-k b k 家 1 (-b2 :： k : a2). 【同步训练】 经过点A2,耳3、B(3, -22 )的双曲线的标准方程 点评：求双曲线的标准方程，最基本的方法是待定系数法，步骤是： 定位置确定焦点的位置(在 x轴上还是在y轴)； 设方程一一根据焦点位置，设出双曲线的标准方程(位置不确定时，需讨论)； 求系数根据已知条件，确定a、b的关系(必要时，利用 ca2 b2),求出a

5、、b . 在双曲线的标准方程中，F1、F2的位置是双曲线的定位条件；参数 a、b确定了双曲线的形状 和大小，是双曲线的定形条件. 当双曲线的焦点位置确定时，标准方程可设为： 2 2 2 2 笃 y =1 (a 0,b 0)或-y=1 (a 0,b 0)； a ba b 当双曲线的焦点位置不确定时，标准方程可设为： x2 y2 1 mn ： 0 或 mx ny =1 mn ： 0 . m n 称为双曲线的 次标准方程 3. 与双曲线有关的轨迹问题 【例4】如图，设A , B的坐标分别为一2, 0和2, 0 ,直线AM , BM相 交于点M ,且它们的斜率之积是1 ,求点M的轨迹方程. 2 【变式】 2 1. （01年上海市）设P为双曲线-y2 =1上一动点，O为坐标原点，M 4 为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是 点评：问题和是双曲线的另一种表示形式，问题中求轨迹方程使用的是直接法，问题是 相关点法. 三小结 1求双曲线的标准方程的最基