第八章理想流体有旋流动和无旋流动[高等教学]

1、第第 八八 章章 理想流体的有旋流动和无旋流动理想流体的有旋流动和无旋流动 1 高级教学高级教学 l在许多工程实际问题中，流动参数不仅在流动方向上发生变化，而且在许多工程实际问题中，流动参数不仅在流动方向上发生变化，而且 在在垂直于流动方向垂直于流动方向的横截面上也要发生变化。的横截面上也要发生变化。 l要研究此类问题，就要用要研究此类问题，就要用多维流动多维流动的分析方法。的分析方法。 l本章主要讨论本章主要讨论理想流体理想流体多维流动的基本规律，为解决工程实际中类似多维流动的基本规律，为解决工程实际中类似 的问题提供理论依据，也为进一步研究的问题提供理论依据，也为进一步研究粘性流体粘性流体

2、多维流动奠定必要的多维流动奠定必要的 基础。基础。 2 高级教学高级教学 l本章内容本章内容 n微分形式的连续方程微分形式的连续方程 n流体微团运动分解流体微团运动分解 n理想流体运动方程理想流体运动方程 定解条件定解条件 n理想流体运动微分方程的积分理想流体运动微分方程的积分 n涡线涡线 涡管涡管 涡束涡束 涡通量涡通量 n速度环量速度环量 斯托克斯定理斯托克斯定理 n汤姆孙定理汤姆孙定理 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 n平面涡流平面涡流 n速度势速度势 流函数流函数 流网流网 n几种简单的平面势流几种简单的平面势流 n简单平面势流的叠加简单平面势流的叠加 n均匀等速流绕过圆柱体的平面均匀等速流

3、绕过圆柱体的平面 流动流动 n均匀等速流绕过圆柱体有环流均匀等速流绕过圆柱体有环流 的平面流动的平面流动 3 高级教学高级教学 第一节第一节 微分形式的连续方程微分形式的连续方程 4 高级教学高级教学 l当把流体的流动看作是连续介质的流动，它必然遵守质量守恒定当把流体的流动看作是连续介质的流动，它必然遵守质量守恒定 律。律。 l对于一定的控制体，必须满足对于一定的控制体，必须满足 l它表示在控制体内由于流体密度变化所引起的流体质量随时间的它表示在控制体内由于流体密度变化所引起的流体质量随时间的 变化率等于单位时间内通过控制体的流体质量的净通量。变化率等于单位时间内通过控制体的流体质量的净通量。

4、 0 n CVCS dVv dA t 5 高级教学高级教学 l直角坐标系中微分形式的连续性方程直角坐标系中微分形式的连续性方程 n在流场中取出微元六面体在流场中取出微元六面体ABCDEFG n微元六面体中心点上流体质点的速度微元六面体中心点上流体质点的速度 为为vx、vy、vz n密度为密度为 n和和x轴垂直的两个平面上的速度和密轴垂直的两个平面上的速度和密 度度 2 dx x 2 dx x 2 x x v dx v x 2 x x v dx v x 22 22 xx xx vvdxdx vv xx dxdx xx 6 高级教学高级教学 n在在x方向上，方向上，dt时间内通过左面流入的流体质时

5、间内通过左面流入的流体质 量为：量为： ndt时间通过右面流出的流体质量为：时间通过右面流出的流体质量为： n则则dt时间内沿时间内沿x轴通过微元体表面的质量净通轴通过微元体表面的质量净通 量为量为 2 dx t 2 dx t 2 x x v dx v t 2 x x v dx v t dd d d d 22 x x vxx vy z t xx dd d d d 22 x x vxx vy z t xx ddd d d()d d d d x xx v xvxy z tvx y z t xxx 7 高级教学高级教学 n在在dt时间内沿时间内沿y轴和轴和z轴方向流体质量的净通量分别为：轴方向流体质

6、量的净通量分别为： n在在dt时间内经过微元六面体的流体质量总变化为时间内经过微元六面体的流体质量总变化为 n开始瞬时流体的密度为开始瞬时流体的密度为，经过，经过dt时间后的密度为时间后的密度为 n在在dt时间内，六面体内因密度的变化而引起的质量变化为时间内，六面体内因密度的变化而引起的质量变化为 ()d d d d()d d d d yz vx y z tvx y z t yz d d d d y zx vv v x y z t xyz t t ttzyxd)d,( tzyx t zyxzyxt t ddddddddddd n CS v dA CV dV t 8 高级教学高级教学 n连续性方

7、程表示了单位时间控制体内流体质量的增量等于流体在控制体连续性方程表示了单位时间控制体内流体质量的增量等于流体在控制体 表面上的净通量。表面上的净通量。 n它适用于它适用于理想流体理想流体和和粘性流体粘性流体、定常流动定常流动和和非定常流动非定常流动。 d d d dd d d d0 y zx vv v x y z tx y z t txyz 0 y zx vv v txyz 可压缩流体非定常三维流动的连续性方程可压缩流体非定常三维流动的连续性方程 div0vv tt 9 高级教学高级教学 n定常定常 n不可压缩定常不可压缩定常 u物理意义：物理意义：在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流量

8、等于在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流量等于 零，也就是说，在同一时间内流入的体积流量与流出的体积流量相零，也就是说，在同一时间内流入的体积流量与流出的体积流量相 等。等。 0 y zx vv v txyz 0 t 0 y zx vv v xyz const 0 y zx vv v xyz div0vv tt div0vv div0vv 10 高级教学高级教学 l 柱坐标系中微分形式的连续性方程柱坐标系中微分形式的连续性方程 n定常定常 n不可压缩定常不可压缩定常 11 ()()()0 rz r vvv trrrz 1 0 zrr vvvv rrzr 11 ()()()0 rz r v

9、vv rrrz 11 高级教学高级教学 l 球坐标系中微分形式的连续性方程球坐标系中微分形式的连续性方程 n定常定常 n不可压缩定常不可压缩定常 2 2 () (sin )()111 0 sinsin r v vv r trrrr cot211 0 sin rr v vvvv rrrrr 2 2 () (sin )()111 0 sinsin r v vv r rrrr 12 高级教学高级教学 【例例】已知不可压缩流体运动速度已知不可压缩流体运动速度v在在x，y两个轴方向的分两个轴方向的分 量为量为vx=2x2+y，vy=2y2+z。且在。且在z=0处，有处，有vz=0。试求。试求z轴方轴方

10、向的速度分量向的速度分量vz。 13 高级教学高级教学 第二节第二节 流体微团运动分解流体微团运动分解 14 高级教学高级教学 l流体与刚体的主要不同在于它具有流动性，极易变形。流体与刚体的主要不同在于它具有流动性，极易变形。 l流体微团在运动过程中不但象刚体那样可以有移动和转动，而流体微团在运动过程中不但象刚体那样可以有移动和转动，而 且还会发生变形运动。且还会发生变形运动。 l一般情况下，流体微团的运动可以分解为一般情况下，流体微团的运动可以分解为移动移动，转动转动和和变形变形运运 动。动。 15 高级教学高级教学 l在流场中任取一微元平行六面体在流场中任取一微元平行六面体 n边长分别为边

11、长分别为dx、dy、dz。 nt瞬时瞬时A点的速度为点的速度为 n顶点顶点M速度为速度为 ( , , ) ( , , )( , , )( , , ) A xyz vx y z vx y z ivx y z jvx y z k (,)(,) (,) (,) Mx y z vxx yy zzvxx yy zz i vxx yy zz j vxx yy zz k xxx Mxx yy z Myy zzz Mzz vvv vvxyz xyz vvv vvxyz xyz vvv vvxyz xyz 16 高级教学高级教学 xxx Mxx v z v y v vx xy v z 11 2 1 2 1 22

12、 xx Mxx xxx vv zz vv v v zz xyyv yyx 1111 2222 zz yy vv yy vv z xxxx 11 22 x x z x xx y M v y v vvxy v zx z v xx v 11 22 x y xz v y vv x v z x y z xxx Mxx yy z Myy zzz Mzz vvv vvxyz xyz vvv vvxyz xyz vvv vvxyz xyz 17 高级教学高级教学 11 22 11 22 11 22 11 22 y zxx yy z y zxx yy Mxx Myy y zxx x vv vv xyzx vvv

13、 vv vv xyzx vv vvx v x vv v yzxy yz y yz v yz vy y zx x vz 2 1 2 1 2 1 2 1 z Mz y zzx y zz z x vvv v zxyz x vv v zx vvv v zxyz y z yx 线速度线速度 x y z v v v 线变形速率线变形速率 x x y y z z v x v y v z 剪切变形速率剪切变形速率 1 2 1 2 1 2 y z x zx y y x z vv yz vv zx v v xy 旋转角速度旋转角速度 1 2 1 2 1 2 y z x zx y y x z vv yz vv zx

14、 v v xy 18 高级教学高级教学 l在一般情况下，流体微团的运动可分解为三部分：在一般情况下，流体微团的运动可分解为三部分： n以流体微团中某点的速度作整体平移运动以流体微团中某点的速度作整体平移运动线速度线速度 n绕通过该点轴的旋转运动绕通过该点轴的旋转运动旋转角速度旋转角速度 n微团本身的变形运动微团本身的变形运动线变形速率、剪切变形速率线变形速率、剪切变形速率 ()() ()() ()() Mxxxzyyz Myyyxzzx Mzzzyxzy vvxyzzy vvyzxxz vvzxyyx 19 高级教学高级教学 loxyoxy坐标面内，坐标面内，t时刻矩形时刻矩形ABCD的运动的

15、运动 x v y v y y x x v vx x v vx x yy y xx x vv vxy xy vv vxy xy y y x x v vy y v vy y x y 20 高级教学高级教学 n平移运动平移运动 u矩形矩形ABCD各角各角 点具有相同的速点具有相同的速 度分量度分量vx、vy。 导致矩形导致矩形ABCD 平移平移vxt, 上移上移 vyt, ABCD的形的形 状不变。状不变。 x vt y vt x v y v y y x x v vx x v vx x yy y xx x vv vxy xy vv vxy xy y y x x v vy y v vy y x y 2

16、1 高级教学高级教学 n线变形运动线变形运动 ux方向的速度差方向的速度差 uy方向的速度差方向的速度差 uAB、DC在在t时间内伸长时间内伸长 uAD、BC在在t时间内缩短时间内缩短 xx BxAxCxDx vv vvxvvx xx yy DyAyCyBy vv vvyvvy yy x v x t x y v y t y x v y v y y x x v vx x v vx x yy y xx x vv vxy xy vv vxy xy y y x x v vy y v vy y x y x v x t x y v y t y x y 22 高级教学高级教学 u定义：定义：单位时间单位时间

17、内内单位长度单位长度流体线段的伸长或缩短量为流体微团的线流体线段的伸长或缩短量为流体微团的线 变形速率。变形速率。 u沿沿x轴方向的线变形速率为轴方向的线变形速率为 u沿沿y轴、轴、z轴方向的线变形速率为轴方向的线变形速率为 xx x vv x tx t xx y y v y z z v z x v x t x y v y t y x y y zx xyz vv v xyz 23 高级教学高级教学 u对于不可压缩流体，上式等于零，是不可压缩流体的连续性方程，对于不可压缩流体，上式等于零，是不可压缩流体的连续性方程， 表明流体微团在运动中体积不变。表明流体微团在运动中体积不变。 u三个方向的线变

18、形速率之和所反映的实质是流体微团体积在单位时三个方向的线变形速率之和所反映的实质是流体微团体积在单位时 间的相对变化，称为流体微团的体积膨胀速率。间的相对变化，称为流体微团的体积膨胀速率。 u不可压缩流体的连续性方程也是流体不可压缩的条件。不可压缩流体的连续性方程也是流体不可压缩的条件。 y zx xyz vv v xyz 24 高级教学高级教学 n角变形运动角变形运动 DxBx ByAy yy yy xx AxCx yy CyDy vv vvvv vv vvxvvx xx tan yy vv x txt xx tan xx vv y tyt yy x v y v y y x x v vx x

19、 v vx x yy y xx x vv vxy xy vv vxy xy y y x x v vy y v vy y x y x v y t y y v x t x x y y x v v t xy 25 高级教学高级教学 u角变形速度角变形速度：两正交微元流体边的夹角：两正交微元流体边的夹角 在单位时间内的变化量在单位时间内的变化量 u剪切变形速率剪切变形速率 p该夹角变化的平均值在单位时间内的变该夹角变化的平均值在单位时间内的变 化化 p角变形速度的平均值角变形速度的平均值 1 2 y x z v v xy 1 2 y z x vv yz 1 2 zx y vv zx y x v v t

20、xy x v y t y y v x t x x y 26 高级教学高级教学 n旋转运动旋转运动 流体微团只发生角变形流体微团只发生角变形 流体微团只发生旋转，不发生角变形流体微团只发生旋转，不发生角变形 流体微团在发生角变形的同时，还要发生旋转运动流体微团在发生角变形的同时，还要发生旋转运动 x v y t y y v x t x x y 27 高级教学高级教学 u旋转角速度：单位时间角平分线的旋转量旋转角速度：单位时间角平分线的旋转量 u角平分线的旋转量角平分线的旋转量 u旋转角速度旋转角速度 p单位时间二直角边旋转角速度代数和的平均值单位时间二直角边旋转角速度代数和的平均值 1 2 y

21、x z v v xy 1 422 11 22 z y x v v t xy 28 高级教学高级教学 1 2 1 2 1 2 y z x zx y y x z vv yz vv zx v v xy 222 xyz 1 2 xyz ijkv 29 高级教学高级教学 111 222 111 222 y zx xyz yy zzxx xyz yy zzxx xyz vv v xyz vvvv vv yzzxxy vvvv vv yzzxxy ()() ()() ()() Mxxxzyyz Myyyxzzx Mzzzyxzy vvxyzzy vvyzxxz vvzxyyx 30 高级教学高级教学 l亥姆

22、霍兹速度分解定理亥姆霍兹速度分解定理 在一般情况下微小流体质团的运动可以分解为三部分：在一般情况下微小流体质团的运动可以分解为三部分： （1 1）随质团中某点（基点）一起前进的平移运动；）随质团中某点（基点）一起前进的平移运动； （2 2）绕该点的旋转运动；）绕该点的旋转运动； （3 3）含有线变形和角变形的变形运动。）含有线变形和角变形的变形运动。 l微小流体质团的维长趋于零的极限是流体微团微小流体质团的维长趋于零的极限是流体微团 l流体微团的运动分解定理流体微团的运动分解定理 31 高级教学高级教学 l亥姆霍兹速度分解定理对于流体力学的发展有深远的影响：亥姆霍兹速度分解定理对于流体力学的发

23、展有深远的影响： n由于把旋转运动从一般运动中分离出来，才使我们有可能把运动分由于把旋转运动从一般运动中分离出来，才使我们有可能把运动分 成成无旋运动和有旋运动无旋运动和有旋运动； n正是由于把流体的变形运动从一般运动中分离出来，才使我们有可正是由于把流体的变形运动从一般运动中分离出来，才使我们有可 能将流体能将流体变形速度与流体应力变形速度与流体应力联系起来，这对于粘性流体运动规律联系起来，这对于粘性流体运动规律 的研究有重大的影响。的研究有重大的影响。 32 高级教学高级教学 l根据流体微团是否旋转可将流体的流动分为两大类根据流体微团是否旋转可将流体的流动分为两大类 n有旋流动有旋流动 u

24、流体在流动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的流体在流动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的 旋转运动，则称为有旋流动。旋转运动，则称为有旋流动。 u流体微团的旋转角速度不等于零（数学条件）流体微团的旋转角速度不等于零（数学条件） n无旋流动无旋流动 u如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动，则称为如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动，则称为 无旋流动。无旋流动。 u流体微团的旋转角速度等于零（数学条件）流体微团的旋转角速度等于零（数学条件） 1 0 2 v 1 0 2 v 33 高级教学高级教学 n无旋流动无旋流动 u需要指出

25、的是，需要指出的是，有旋流动和无旋流动仅由流体微团本身是否发生旋有旋流动和无旋流动仅由流体微团本身是否发生旋 转来决定，而与流体微团本身的运动轨迹无关。转来决定，而与流体微团本身的运动轨迹无关。 1 0 2 v 0 0 xyz 0v yy zzxx vvvv vv yzzxxy 34 高级教学高级教学 【例例】给定直角坐标系中速度场给定直角坐标系中速度场vx=x2y+y2，vy=x2-xy2，vz=0。 求各变形速度，并判断流场是否为不可压缩流场。求各变形速度，并判断流场是否为不可压缩流场。 35 高级教学高级教学 【例例】给定两个流场：给定两个流场： （1）vx=-y，vy=x；vz=0；

26、（2）vx=-y/(x2+y2)，vy=x/(x2+y2)，vz=0。 求这两个流场的迹线和旋转角速度。求这两个流场的迹线和旋转角速度。 36 高级教学高级教学 第三节第三节 理想流体运动微分方程理想流体运动微分方程 定解条件定解条件 37 高级教学高级教学 一、理想流体运动方程一、理想流体运动方程 l在流场中取一平行六面体在流场中取一平行六面体 n边长分别为边长分别为x，y，z n中心点为中心点为(x,y,z) n中心点的压强为中心点的压强为p=p(x,y,z) n密度为密度为=(x,y,z) n因研究的对象为理想流体，作用于六个面上的表面力只有压力因研究的对象为理想流体，作用于六个面上的表

27、面力只有压力 n作用于微元体上的单位质量力沿三个坐标轴的分量分别为作用于微元体上的单位质量力沿三个坐标轴的分量分别为fx，fy，fz n以该六面体为控制体，应用动量方程以该六面体为控制体，应用动量方程 38 高级教学高级教学 u沿沿x方向从左面单位时间流入控制体的动量为方向从左面单位时间流入控制体的动量为 u从右面流出的动量为从右面流出的动量为 u沿沿x方向单位时间流出与流入控制体的动量差方向单位时间流出与流入控制体的动量差 uy方向、方向、 z方向方向 u经过控制面单位时间流体动量的净通量为经过控制面单位时间流体动量的净通量为 2 x x v v x v vy z x 2 x x v v x

28、 v vy z x x v vx y z x y v vx y z y z v vx y z z nxyz CS v vdAv vv vv vx y z xyz 39 高级教学高级教学 u控制体内单位时间流体动量的变化控制体内单位时间流体动量的变化 u作用在控制体内流体上的质量力作用在控制体内流体上的质量力 u沿沿x方向压强的合力方向压强的合力 uy方向、方向、 z方向方向 u作用在控制面上压强的合力为作用在控制面上压强的合力为 22 pxpxp py zpy zx y z xxx CV vdVvx y z tt xyz CV fdVf if jf kx y zfx y z p x y z y

29、 p x y z z n CSCS ppp p dApndAijkx y zp x y z xyz 40 高级教学高级教学 nxyz CS v vdAv vv vv vx y z xyz CV vdVvx y z tt CV fdVfx y z n CS p dAp x y z xyz vx y zv vv vv vx y zfx y zp x y z txyz xyz vv vv vv vfp txyz 1 xyz vvvv vvvfp txyz 1v vvfp t 1dv fp dt 41 高级教学高级教学 n理想流体微分形式的运动方程，又称流体运动的欧拉方程。理想流体微分形式的运动方程，

30、又称流体运动的欧拉方程。 n表示了作用在单位质量流体上的质量力、表面力和惯性力相平衡：在流表示了作用在单位质量流体上的质量力、表面力和惯性力相平衡：在流 场的某点，单位质量流体的当地加速度与迁移加速度之和等于作用在它场的某点，单位质量流体的当地加速度与迁移加速度之和等于作用在它 上面的重力与压力之和。上面的重力与压力之和。 n该式推导过程中对流体的压缩性没加限制，故可适用于理想的该式推导过程中对流体的压缩性没加限制，故可适用于理想的可压流体可压流体 和和不可压缩流体不可压缩流体，适用于，适用于有旋流动有旋流动和和无旋流动。无旋流动。 nvx=vy=vz=0，方程变为流体平衡的欧拉方程。，方程变

31、为流体平衡的欧拉方程。 1 1 1 xxxx xxyz yyyy yxyz zzzz zxyz vvvvp fvvv xtxyz vvvv p fvvv ytyyz vvvvp fvvv ztxyz 1 () v fpvv t 42 高级教学高级教学 l柱坐标系中的欧拉运动微分方程式柱坐标系中的欧拉运动微分方程式 l球坐标系中的欧拉运动微分方程式球坐标系中的欧拉运动微分方程式 2 1 1 1 rrrr rzr rz zzzz rzz vvvvvp vvvf trrzrr vvvvvp vvf trrzr vvvvvp vvf trrzz 22 2 1 sin cot 1 sin cot 1 s

32、insin rrrr rr r r r r vvv vvvvvp vf trrrrr vv vvvvvv vp vf trrrrrr vvvvvv vv v vp vf trrrrrr 43 高级教学高级教学 l兰姆方程（可直接从微分方程中判定流动是否有旋）兰姆方程（可直接从微分方程中判定流动是否有旋） 1 xxxx xyzx vvvvp vvvf txyzx 1 zzxxxx y xyzzx y y vvvvp vvvf txy vv v vv v zxxxxx i j k 2 1 2 2 vv vfp t 2 1 2() 2 x yzzyx vvp vvf txx 2 1 2() 2 y

33、zxxzy v vp vvf tyy 2 1 2() 2 z xyyxz vvp vvf tzz 兰姆方程兰姆方程 44 高级教学高级教学 n质量力有势质量力有势 n正压流场正压流场 2 2 2 x yzzyF vv vvP tx xyz fff xyz 111 FFF PPPppp xxyyzz 2 1 2 2 x yzzyx vvp vvf txx / F Pdp 压强函数压强函数 2 2 2 xF yzzy vpv vv txxx 2 2 2 y zxxzF v v vvP ty 2 2 2 z xyyxF vv vvP tz 45 高级教学高级教学 2 2 2 2 2 2 2 2 2

34、x yzzyF y zxxzF z xyyxF vv vvP tx v v vvP ty vv vvP tz 2 2 2 F vv vP t 46 高级教学高级教学 二、定解条件二、定解条件 l对于不可压缩理想流体，未知量有对于不可压缩理想流体，未知量有vx、vy、vz、p四个，除三个运动微分方四个，除三个运动微分方 程外，还有连续方程，联立可以求解；程外，还有连续方程，联立可以求解； l对于正压的理想流体，密度随压强变化，多了未知量对于正压的理想流体，密度随压强变化，多了未知量，需补充物态方程，需补充物态方程， 方可求解；方可求解； l对于非正压的理想流体，密度随压强和温度变化，又多了未知量

35、对于非正压的理想流体，密度随压强和温度变化，又多了未知量T，还需，还需 补充能量方程，才能求解；补充能量方程，才能求解； l满足基本方程的解有无穷多，要得到给定流动的确定解，必须给出它的满足基本方程的解有无穷多，要得到给定流动的确定解，必须给出它的 定解条件，包括起始条件和边界条件。定解条件，包括起始条件和边界条件。 47 高级教学高级教学 1. 1. 起始条件起始条件 l方程组的解在起始瞬时（方程组的解在起始瞬时（t=0）应满足的条件，是起始瞬时流动参）应满足的条件，是起始瞬时流动参 数在流场中的分布规律，即数在流场中的分布规律，即 n起始条件是研究非定常流动必不可少的定解条件，但在研究定常

36、流起始条件是研究非定常流动必不可少的定解条件，但在研究定常流 动时，可以不必给出。动时，可以不必给出。 ( , , )( , , )( , , ) ( , , )( , , )( , , ) xxyyzz vvx y zvvx y zvvx y z pp x y zx y zTT x y z 48 高级教学高级教学 2. 2. 边界条件边界条件 l方程组的解在流场边界上应满足的条件。方程组的解在流场边界上应满足的条件。 l边界条件可以是固体的，也可以是流体的；可以是运动学的、动边界条件可以是固体的，也可以是流体的；可以是运动学的、动 力学的，也可以是热力学的。力学的，也可以是热力学的。 49

37、高级教学高级教学 l固体壁面固体壁面 n理想流体沿固体壁面流动时，既不能穿过它，也不能脱离它形成空理想流体沿固体壁面流动时，既不能穿过它，也不能脱离它形成空 隙，壁面上流体质点的法向速度隙，壁面上流体质点的法向速度vln应等于对应点上壁面的法向速度应等于对应点上壁面的法向速度 vbn，即，即vln=vbn。 n如果壁面静止不动，则如果壁面静止不动，则vln=0。 n流体与固壁的相互作用力也必沿壁面的法线方向。流体与固壁的相互作用力也必沿壁面的法线方向。 50 高级教学高级教学 l流体交界面流体交界面 n若在交界面上两种流体互不渗透，它们在同一点上的法向速度应相若在交界面上两种流体互不渗透，它们

38、在同一点上的法向速度应相 等，通常两侧的温度也是连续的，即等，通常两侧的温度也是连续的，即v1n=v2n，T1=T2 n若交界面是曲面，曲面两侧的压强应满足若交界面是曲面，曲面两侧的压强应满足p1-p2=(1/R1+1/R2) n若交界面是平面，若交界面是平面，R1=R2，则，则p1=p2 n若交界面是自由表面，则若交界面是自由表面，则p=pamb n若自由表面上是大气，则若自由表面上是大气，则p=pa 51 高级教学高级教学 l无穷远处无穷远处 n一般给定该处流体的流速一般给定该处流体的流速v、压强、压强p 和密度和密度 。 l流道进出口处流道进出口处 n此处的条件需视具体情况而定，一般给出

39、该处截面上的速度分布。此处的条件需视具体情况而定，一般给出该处截面上的速度分布。 52 高级教学高级教学 第四节第四节 理想流体运动方程的积分理想流体运动方程的积分 53 高级教学高级教学 一、欧拉积分一、欧拉积分 l正压的理想流体在有势的质量力作用下作正压的理想流体在有势的质量力作用下作定常无旋定常无旋流动流动 l在流场中任取一有向微元线段在流场中任取一有向微元线段 2 2 2 0 2 0 2 0 2 F F F v P x v P y v P z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x Fyzzy y Fzxxz z Fxyyx vv Pvv xt v v Pvv yt vv Pvv zt

40、 dx dy dz dldxidyjdzk 54 高级教学高级教学 l正压的理想流体在有势的质量力作用下作定常无旋流动时，单位正压的理想流体在有势的质量力作用下作定常无旋流动时，单位 质量流体的动能质量流体的动能v2/2、质量力位势能质量力位势能、压强势能压强势能PF之和在流场中之和在流场中 保持不变。保持不变。 222 0 222 FFF vvv PdxPdyPdz xyz 2 0 2 F v dP 2 2 F v PC 55 高级教学高级教学 二、伯努利积分二、伯努利积分 l正压的理想流体在有势的质量力作用下作正压的理想流体在有势的质量力作用下作定常有旋定常有旋流动。流动。 l流线与迹线重

41、合流线与迹线重合 l在流场中沿流线取一有向微元线段在流场中沿流线取一有向微元线段 l在三个坐标轴上的投影分别为在三个坐标轴上的投影分别为 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Fyzzy Fzxxz Fxyyx v Pvv x v Pvv y v Pvv z dldxidyjdzk 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Fyzzy Fz x yxxz Fxyxzy v dt v v Pvv x v Pvv y v Pvv z dx dy dz dt v dt xyz v dtvdxdydtdtzdv 56 高级教学高级教学 l正压的理想流体在有势的质量力作用下作定常有旋流动时，单位正压的理想流体在

42、有势的质量力作用下作定常有旋流动时，单位 质量流体的动能质量流体的动能v2/2、质量力位势能、质量力位势能、压强势能、压强势能PF之和沿同一流之和沿同一流 线保持不变。线保持不变。 l一般情况下，沿不同流线，积分常数值不一样。一般情况下，沿不同流线，积分常数值不一样。 2 2 2 2 2 2 2 2 2 zy z Fx Fy yz yx xz yF x xz v v Pdxv dt x v Pdyv dt y v v vPdzv dt z v v v 2 0 2 F v dP 2 2 F v PC 57 高级教学高级教学 l不可压缩重力流体，若取坐标轴不可压缩重力流体，若取坐标轴z方向向上：方

43、向向上： =gz PF=p/ v2/2+gz+p/=C n如果流动无旋，单位质量流体的动能、位势能、压强势能之和在流如果流动无旋，单位质量流体的动能、位势能、压强势能之和在流 场中保持不变；场中保持不变； n如果流动有旋，这三项之和沿同一流线保持不变。如果流动有旋，这三项之和沿同一流线保持不变。 2 2 F v PC 58 高级教学高级教学 l对于完全气体的绝热流动，质量力的作用可忽略不计：对于完全气体的绝热流动，质量力的作用可忽略不计： n非粘性完全气体一维定常绝热流动的能量方程。如果流动无旋，单非粘性完全气体一维定常绝热流动的能量方程。如果流动无旋，单 位质量气体的动能、压强势能之和在流场

44、中保持不变；如果流动有位质量气体的动能、压强势能之和在流场中保持不变；如果流动有 旋，这二项之和沿同一流线保持不变。旋，这二项之和沿同一流线保持不变。 1/ C p 1 1/ 1/ 1 11/1 F dppp P C pC 2 21 vp C 2 2 F v PC 59 高级教学高级教学 【例例】如图所示为水平放置、间隙为如图所示为水平放置、间隙为、半径为、半径为r2的二圆盘，水由上圆盘的二圆盘，水由上圆盘 中央半径为中央半径为r1的小管以速度的小管以速度v1定常地流入，若不计水流入的动量，试定常地流入，若不计水流入的动量，试 求圆盘间水的压强沿径向的分布规律。求圆盘间水的压强沿径向的分布规律

45、。 60 高级教学高级教学 第五节第五节 涡线涡线 涡管涡管 涡束涡束 涡通量涡通量 61 高级教学高级教学 l自然界中流体的流动绝大多数是有旋的自然界中流体的流动绝大多数是有旋的 n大气中的旋风、龙卷风，桥墩后的涡旋区；大气中的旋风、龙卷风，桥墩后的涡旋区； n行进中的船舶后的尾涡区；行进中的船舶后的尾涡区； n充满微小涡旋的紊流流动；充满微小涡旋的紊流流动； n物体表面充满微小涡旋的边界层流动；物体表面充满微小涡旋的边界层流动； n叶轮机械内流体的涡旋运动。叶轮机械内流体的涡旋运动。 62 高级教学高级教学 l流体微团流体微团旋转角速度旋转角速度的矢量表示的矢量表示 l更普遍地用更普遍地用

46、涡量涡量来描述流体微团的旋转运动来描述流体微团的旋转运动 n涡量的定义涡量的定义 n充满涡量的流场称为充满涡量的流场称为涡量场涡量场 1 2 v 2vrotv yy zzxx xyz vvvv vv yzzxxy 63 高级教学高级教学 一、涡线一、涡线 涡管涡管 涡束涡束 l涡线涡线 n在给定瞬时处处与涡量矢量相切的曲线。在给定瞬时处处与涡量矢量相切的曲线。 n沿该线各流体微团的瞬时转动轴线。沿该线各流体微团的瞬时转动轴线。 n涡线方程涡线方程 u非定常流动，涡线的形状和位置是随时间变化的，积分涡线微非定常流动，涡线的形状和位置是随时间变化的，积分涡线微 分方程时，分方程时，t作为参变量；作

47、为参变量； u定常流动，涡线的形状和位置保持不变，涡线微分方程中没有定常流动，涡线的形状和位置保持不变，涡线微分方程中没有 时间变量时间变量t。 ( , , , )( , , , )( , , , ) xyz dxdydz x y z tx y z tx y z t 64 高级教学高级教学 l涡管涡管 涡束涡束 n给定瞬时在涡量场中取一不是涡线的封闭曲线，通过封闭曲线的给定瞬时在涡量场中取一不是涡线的封闭曲线，通过封闭曲线的 每一点作涡线，这些涡线形成的管状表面称为每一点作涡线，这些涡线形成的管状表面称为涡管涡管； n截面无限小的涡管称为截面无限小的涡管称为微元涡管微元涡管； n涡管中充满着的

48、作旋转运动的流体称为涡管中充满着的作旋转运动的流体称为涡束涡束； n微元涡管中的涡束称为微元涡管中的涡束称为微元涡束或涡丝微元涡束或涡丝。 65 高级教学高级教学 二、涡通量二、涡通量 l旋转角速度旋转角速度的值与垂直于角速度方向的微元涡管横截面积的值与垂直于角速度方向的微元涡管横截面积dA 的乘积的两倍称为的乘积的两倍称为微元涡管微元涡管的的涡通量涡通量（也称（也称涡管强度涡管强度）dJ l有限截面有限截面涡管的涡通量可表示为沿涡管横截面的积分涡管的涡通量可表示为沿涡管横截面的积分 nn是微元涡管的旋转角速度沿涡管横截面法线方向的分量是微元涡管的旋转角速度沿涡管横截面法线方向的分量 2 n

49、A JdA 2dJdA 66 高级教学高级教学 第六节第六节 速度环量速度环量 斯托克斯定理斯托克斯定理 67 高级教学高级教学 一、速度环量一、速度环量 l在流场的某封闭周线上，流体的速度矢量与该线微元有向线段的在流场的某封闭周线上，流体的速度矢量与该线微元有向线段的 标积沿周线的线积分，定义为标积沿周线的线积分，定义为速度环量速度环量，用符号，用符号表示表示 n速度环量是代数量，它的正负不仅与速度的方向有关，还与线积分速度环量是代数量，它的正负不仅与速度的方向有关，还与线积分 的绕行方向有关；的绕行方向有关； n规定：绕行的正方向为逆时针方向，即封闭周线所包围的面积总在规定：绕行的正方向为

50、逆时针方向，即封闭周线所包围的面积总在 绕行前进方向的左侧；封闭周线所围曲面的法线正方向与绕行的正绕行前进方向的左侧；封闭周线所围曲面的法线正方向与绕行的正 方向形成右手螺旋系统。方向形成右手螺旋系统。 () xyz v dsv dxv dyv dz rr 蜒 68 高级教学高级教学 二、斯托克斯定理二、斯托克斯定理 l在涡量场中，沿任意封闭周线的速度环量等于通过该周线所张曲在涡量场中，沿任意封闭周线的速度环量等于通过该周线所张曲 面的涡通量面的涡通量 2 Kn KA v dsdA rr 69 高级教学高级教学 l微元封闭周线微元封闭周线 1 2 1 2 1 2 1 2 x xx yyy yy

51、 xxx xx y yy v dvvdxdx x vvv vdxvdxdydy xxy vvv vdxdyvdydx xyy v vdyvdy y 2 y x z v v dxdydAdJ xy 70 高级教学高级教学 l任意有限封闭周线任意有限封闭周线K n用互相正交的两组直线将平面和曲面划分成无数用互相正交的两组直线将平面和曲面划分成无数 个微元封闭周线个微元封闭周线 n微元面积视为平面微元面积视为平面 n微元封闭周线微元封闭周线 n所有微元所有微元 n周线周线K内各微元线段速度的线积分都要计算两次，内各微元线段速度的线积分都要计算两次， 绕行方向相反绕行方向相反 1,2,3, ii dd

52、Ji 1,2,3, ii ddJi iK K dv ds 2 in A dJdA 2 Kn KA v dsdA 71 高级教学高级教学 l斯托克斯定理的应用区域限制条件斯托克斯定理的应用区域限制条件 n区域内任意封闭周线都能连续地收缩成一点而不越出流体的边区域内任意封闭周线都能连续地收缩成一点而不越出流体的边 界界单连通域单连通域 n多连通域多连通域 72 高级教学高级教学 l多连通域斯托克斯定理多连通域斯托克斯定理 11 ABK B A KAABBK BB AA KA 0 ABB A 11 BK BK A KAK 1 2 KKn A dA 1 2 ABK B A KAn A dA 1 2 i

53、 n KKn i A dA 73 高级教学高级教学 【例例】已知二维流场的速度分布为已知二维流场的速度分布为vx=-6y，vy=8x，试求绕圆，试求绕圆 x2+y2=R2的速度环量。的速度环量。 74 高级教学高级教学 【例例】在二元涡量场中，已知圆心在坐标原点、半径在二元涡量场中，已知圆心在坐标原点、半径r=0.2m的圆区域内的圆区域内 流体的涡通量流体的涡通量J=0.8m2/s。若流体微团在半径。若流体微团在半径r处的速度分量处的速度分量v为常数，为常数， 它的值是多少？它的值是多少？ 75 高级教学高级教学 【例例】已知理想流体的速度分布为已知理想流体的速度分布为 ， 试求涡线方程以及沿

54、封闭周线试求涡线方程以及沿封闭周线 的速度环的速度环 量，其中量，其中a、b为常数。为常数。 22 ,0 xyz vayzvv 222( 0)xybz 76 高级教学高级教学 第七节第七节 汤姆孙定理汤姆孙定理 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 77 高级教学高级教学 一、汤姆孙定理一、汤姆孙定理 l正压的理想流体在有势的质量力作用下沿任何由流体质点组成的正压的理想流体在有势的质量力作用下沿任何由流体质点组成的 封闭周线的速度环量不随时间变化；封闭周线的速度环量不随时间变化； n在流动过程中，上述流体质点线可以移动、变形，但组成该线的流在流动过程中，上述流体质点线可以移动、变形，但组成该线的流 体质点

55、不变。所以速度环量随时间的变化率体质点不变。所以速度环量随时间的变化率 xyz y zx xyz dd v dxv dyv dz dtdt dvdv dvddd vdxvdyvdzdxdydz dtdtdtdtdtdt 蜒 78 高级教学高级教学 y zx xyz dvdv dvdddd vdxvdyvdzdxdydz dtdtdtdtdtdtdt 蜒 2 22 2 222 2 xyz xxyyzz y zx ddd vdxvdyvdz dtdtdt v dvv dvv dv vv v ddd v d 111 1 y zx xyz xyz F dvdv dv dxdydz dtdtdt ppp

56、 fdxfdyfdz xyz ppp f dxf dyf dzdxdydz xyz ddP 22 0 22 FF dvv dddPdP dt 蜒 const 79 高级教学高级教学 l汤姆孙定理和斯托克斯定理说明：汤姆孙定理和斯托克斯定理说明：正压的理想流体在有势的质量力作正压的理想流体在有势的质量力作 用下，速度环量和涡旋不能自行产生，也不能自行消失。用下，速度环量和涡旋不能自行产生，也不能自行消失。 n理想流体无粘性，不存在切应力，不能传递旋转运动理想流体无粘性，不存在切应力，不能传递旋转运动； n既不能使不旋转的流体微团旋转，也不能使旋转的流体微团停止旋转既不能使不旋转的流体微团旋转，也

57、不能使旋转的流体微团停止旋转； n流场中原来有涡旋和速度环量的，将保持有涡旋和速度环量；原来没有流场中原来有涡旋和速度环量的，将保持有涡旋和速度环量；原来没有 涡旋和速度环量的，就永远没有涡旋和速度环量涡旋和速度环量的，就永远没有涡旋和速度环量； n流场中也会出现没有速度环量但有涡旋的情况，此时涡旋是成对出现的，流场中也会出现没有速度环量但有涡旋的情况，此时涡旋是成对出现的， 每对涡旋的强度相等而旋转方向相反每对涡旋的强度相等而旋转方向相反。 80 高级教学高级教学 二、亥姆霍兹定理二、亥姆霍兹定理 l亥姆霍兹第一定理：在同一瞬时涡管各截面上的涡通量相同。亥姆霍兹第一定理：在同一瞬时涡管各截面

58、上的涡通量相同。 n沿包围涡管任一截面封闭周线的速度环量相等沿包围涡管任一截面封闭周线的速度环量相等 0 ABB A AABBBB AA A ABB A 0 BBA A A ABB AABB 81 高级教学高级教学 n沿包围涡管任一截面封闭周线的速度环量相等沿包围涡管任一截面封闭周线的速度环量相等 AABB n斯托克斯定理：速度环量等于穿过封闭斯托克斯定理：速度环量等于穿过封闭 周线所包围截面的涡通量周线所包围截面的涡通量 n涡管各截面上涡通量相等涡管各截面上涡通量相等 n涡管在流体中既不能开始，也不能终止，涡管在流体中既不能开始，也不能终止， 只能是自成封闭的管圈，或在边界上开只能是自成封闭

59、的管圈，或在边界上开 始、终止。始、终止。 n A dAC2 82 高级教学高级教学 l亥姆霍兹第二定理（涡管守恒定理）亥姆霍兹第二定理（涡管守恒定理） n在有势的质量力作用下的正压理想流体中，涡管始终由相同的流在有势的质量力作用下的正压理想流体中，涡管始终由相同的流 体质点组成。体质点组成。 u涡管表面上任意由流体质点组成的封闭周线涡管表面上任意由流体质点组成的封闭周线K u开始时没有涡线穿过周线开始时没有涡线穿过周线K所包围的面积所包围的面积 u沿周线沿周线K的速度环量等于零的速度环量等于零 u速度环量不能自生自灭，沿周线速度环量不能自生自灭，沿周线K的速度环量永远为零的速度环量永远为零

60、u涡管表面上任何封闭周线所包围的面积中永远没有涡线通过涡管表面上任何封闭周线所包围的面积中永远没有涡线通过 u在某一时刻构成涡管的流体质点永远在涡管上在某一时刻构成涡管的流体质点永远在涡管上 u涡管永远为涡管，但涡管的现状随时间可能有变化涡管永远为涡管，但涡管的现状随时间可能有变化 83 高级教学高级教学 l亥姆霍兹第三定理（涡管强度守恒定理）亥姆霍兹第三定理（涡管强度守恒定理） n在有势的质量力作用下的正压理想流体中，涡管强度不随时间变在有势的质量力作用下的正压理想流体中，涡管强度不随时间变 化。化。 u围绕涡管表面围绕涡管表面A取一封闭的流体质点周线取一封闭的流体质点周线K u涡管始终由相