三种均匀带电的圆面中心轴线上的电场强度赏析

1、三种均匀带电的圆面中心轴线上的电场强度赏析兼析三道高考选择题周林（宁波市鄞州区正始中学，浙江 宁波 315131）近几年高考题中，有些问题的结论不一定必须通过计算才能验证，有时只需通过一定的物理分析就可 以判断结论是否正确。因此，不仅要提升物理关系式的分析鉴别能力，而且更要挖掘出其中蕴含的物理思 想和方法。让学生知其然还要知其所以然，本文拟用高等数学的定积分推导出三种均匀带电的圆面中心轴 线上的电场强度的表达式，并分析三道高考选择题。模型1 :均匀带电的圆圈中心轴线上的电场强度如图1所示，均匀带电且单位长度带电量为 入的一个半径为R的圆圈，求其中心轴线上任意一点 P（坐 标为x）的电场强度在圆

2、环上选取长为 dl的带电微元圆弧，根据点电荷的电场强度，在点 P产生的电场方 向与x轴的夹角为0,沿x轴方向的大小为dE kRdl cos xdl2 2R xxR2k xdl由定积分得k xdlx2R2x2x32 2 R x 22 kR图1根据对称性和叠加性，2号决定，大小为 E R2P产生的合场强必沿x轴方向，正负由均匀带电圆圈在点kR xx3。若均匀带电圆圈的电量为q，即q 2 R ，贝U E2 nx 2电荷符R2kqx3。2 nx 2A .B .C.D .A点在O点右侧与O点相距为r（r0），而且电荷均匀分布。两圆环的圆心01和02相距为2a，连线的中点为 O,轴线上的A点处电场强度大小

3、 E的表达式（式中k为静解析：半径分别为Rl、R2的两圆圈在点P产生的电场方向必然沿 x轴方向，大小分别为Eikq a rR2i3r 22E2kq a rR22EiE2kq akq aR2iR22点评：该题利用均匀带电的两个半径不同的两圆圈中心轴上某点的电场叠加进行求解，上述方法对学生来 讲有很大难度，巧妙之处在于通过一定的物理分析可以判断出正确的结论。用物理思想中的单位法：根据电场强度定义式 E F中场强的单位，采用单位判断法，满足条件的答案是 B、D。特殊值法：当r=a时, q由对称性可知，在右边圆圈中心02处的合场强为零，即各表达式中的第二项的值应为零，满足条件的答案是C、D。极值法：当

4、Ri、R2T0时，两圆圈上的电荷均匀分布且电荷量均为q(q0)，轴线上的A处的合场强不为零，满足条件的答案是C、D。故选项D正确。(2)两圆圈带异种电荷 E Ei E2模型2 :均匀带电的圆盘中心轴线上的电场强度 如图3所示，半径为 R的均匀带电圆盘,kq a r3R2i a r 2 2单位面积带电量为kq a rr22 2R 2 a r 2d,求其中心轴线上任意一点 P (坐标为X)的电场强度以0为圆心，以r为半径，在圆环上选取宽为 dr的带电微元圆环，根据模型1结论，微元圆环在点 P产生的电场方向必然沿 x轴方向，大小为dE2 rxdrr2x2由定积分得R2 rxdrR2rdrEk03k

5、x0 32 2 -2 2 ;r x 2r x 2Rk xod r22 x2 k 1x312 r2 2x 222 TR x 2图3讨论2 : (1)当xR时，贝U E2 k ，相当于无限大均匀带电平面附近的电场，可看成是均匀电场，场强垂直于板面，正负由电荷符号决定。(2)当XR时，根据泰勒公式:kx( x1)。得R21R2 x2 ?1 x21R2 x2k R22x2R)，在远离带电圆面处，相当于点电荷的场强。若时，则有E T 0。模型拓展2：无限大均匀带电平面中心轴线上的电场强度的电场强度以0为圆心，以r为半径，在圆环上选取 模型1结论，微元圆环在点P产生的电场方向宽为dr的带电微元圆环，根据必

6、然沿x轴方向大小为图4如图4所示，单位面积带电量为 d的无限大均匀带电平板，求其中心轴线上任意一点P (坐标为x)dE k2r2 rxdr32 2x 2由定积分得2 rxdr32 2x 22 k即与讨论模型拓展3：中间挖去一半径为R的圆盘的无限大均匀带电平面中心轴线上的电场强度如图5所示，单位面积带电量为b的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为（坐标为x）的电场强度r为半径，在圆环上选取宽为dr的带电微元圆环，根据模型1(1)中的结论一致。R的圆板，求其中心轴线上任意一点 P 以0为圆心，以结论,微元圆环在点P产生的电场方向必然沿x轴方向，大小为dE2 rxdr3: 2 3x 2由定积分得

7、k2 r2 rxdr3: 2 2x 2例2 :（ 2012年安徽卷）如图6所示，半径为r均匀带电圆形平板，单位面积带电量为其轴线上任意点P （坐标为x）的电场强度可以由库仑定律和电场强度的叠加原理求出:方向沿x轴。现考虑单位面积带电量为的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为r的圆板，如图7所示。则圆孔轴线上任意一点 Q （坐标为x）的电场强度为（）12C. 2 k oxrrD. 2 k o x图7解析：由模型拓展3结论可得，选项 A正确。点评：用物理思想中的极值法，当 rT0时，电场强度恒为定值 E1 2 k0，利用补偿法求解:E2E1 E 2 k 02 k 0 12，故选项A正确。有助于

8、提升学生对物理关系式的分析鉴别能力。模型拓展4:两个彼此平行且共轴均匀带电的圆盘中心轴线上的电场强度如图8所示，单位面积带电量分别为 5、b的两个彼此平行且共轴的半径分别为R1和R2的圆盘平面,两圆的圆心O1和O2相距为I，求其轴线上任意一点 P （与O1点相距为X,并在两圆心之间）的电场强度由模型2结论和电场叠加原理可得1）两圆环带同种电荷E E1 E2I2 k 1 1（2）两圆环带异种电荷R211x2 22 k 2 1ix1R22l x2 2E EiE22 k 1 11R21 x2 2R22模型3:均匀带电的圆环中心轴线上的电场强度 如图9所示，单位面积带电量为 心轴线上任意一点 P以0为

9、圆心，以产生的电场方向必然沿b的一个内、（坐标为x）的电场强度 r为半径，在圆环上选取宽为 x轴方向，大小为外半径分别为 R1和R2的圆环状均匀带电平面，求其中dr的带电微元圆环，根据模型1结论，微元圆环在点PdE k 2r2 rxdrx2由定积分得R2R1k2r2 rxdr3x2勺x.R21 x2讨论3: （1）当xR1时，则(2)当xR2E=0，相当于圆环中心处的场强，根据对称性可得场强为零。1 R22时，根据泰勒公式得：E 2 k可2 x21 R212 x2k R22R212x_kq2x(qR22R21）,在远离带电圆环处，相当于点电荷的场强。若例3: （2009年北京卷）带电量为。取环

10、面中心0为原点，以垂直于环面的轴线为 P点电场强度的大小为 E。下面给出E的四个表达式（式中 可能不会求解此处的场强E,但是你可以通过一定的物理分析,的判断，如图9所示为一个内、外半径分别为R1和R2的圆环状均匀带电平面，其单位面积 x轴。设轴上任意点 P到0点的的距离为x, k为静电力常量），其中只有一个是合理的。你 对下列表达式的合理性做出判断。根据你的合理表达式应为（2 k (R1x2R21R2x2R22)xB. E 2 k (1-、x2 R21,1) x.x2R222k (Fr21) xx2 R221D. E 2 k (厂2/ xR21解析： 点评： 圆盘在中心轴上的电场。上述两种方法

11、对学生来讲有很大难度，巧妙之处在于通过一定的物理分析可以判 断出正确的结论。用物理思想中的补偿法：把带电圆环看做从一个完整的圆盘中挖去一个较小的圆盘后形 成的，则形成的电场应该是这两个带电圆盘各自形成的两个电场的差值，满足条件的答案是A、B。单位法：根据电场强度定义式 E F中场强的单位，采用单位判断法，满足q由模型3结论可得，选项该题也可以根据两个半径不同的模型2进行对比，利用补偿法求解，即半径大的圆盘减去半径小的B正确。条件的答案是 B、D。极值法：当Rit0时，对于选项 A而言接得E0,故A项错误。当x 时，应该有0,可知场强应接近零，故 C、D错误。故选项 B正确。模型拓展5:两个彼此

12、平行且共轴均匀带电的圆环中心轴线上的电场强度如图10所示，单位面积带电量分别为6、(2的两个彼此平行且共轴的圆环平面，左侧圆环的内、外半径分别为 Ri和R2,右侧圆环的内、外半径分别为R3和R4，两圆的圆心 01和02相距为I，求其中心轴线上任意一点P (与Oi点相距为x,并在两圆心之间)的电场强度由模型3结论和电场叠加原理可得(1)两圆环带同种电荷E EiE2x.x2R21xI x丨 X 、R222X2R2厶厂R24)(2)两圆环带异种电荷E E1E21R21xx2 R221 x2 2 X R 3I xf 22,x2 R24这三道高考选择题的解答一改过去传统教学中“重结果，轻过程”的思维方法，貌似复杂的问题