2013年普通高等学校招生全国统一考试

1、绝密启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。一、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.1. 复数zLl - Lui为虚数单位 在复平面上对应的点位于A第一象限B第二象限C.第三象限D第四象限2. 某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差 异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是A.抽签法B.随机数法C.系统抽样法D.分层抽样法3. 在锐角中 ABC，角代B所

2、对的边长分别为a,b.若2asinB = x 3b,则角A等于JIA.B.12兀6八2xjiC.4jiD.-34.若变量x, y满足约束条件x y -1，则x - 2y的最大值是y亠1,5r小 5r 5A. -B.0C -D.-2325. 函数f x =21 nx的图像与函数g x =x2-4x，5的图像的交点个数为A. 3B. 2C. 1D. 06. 已知a, b是单位向量，aLb=0.若向量c满足c-a-b=1,则c的取值范围是A.八2+1B.r；2-1,、2+2C.1，.2+1D.1 八2+27 .已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不 可能等于A

3、. 1B.228在等腰三角形ABC中，AB二AC =4,点P是边AB上异于A, B的一点，光线从点P出发，经BC,CA发射后又回到原点P（如图1）.若光线QR经过CABC的中心，贝U AP等于A. 2C. 83B.D.1、填空题：本大题共（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）x=t,x = 3cos,i（t为参数）过椭圆C: gy =t -ay = 2sin8小题，考生作答 7小题，每小题5 分,l :9在平面直角坐标系xoy中，若：C为参数）的右顶点，则常数 a的值为 10. 已知 a,b,c ,a 2b 3c =6,则a2 4b2 9c2的最小

4、值为 11. 如图2,在半径为 日的L O中,弦AB,CD相交于点P,PA = PB=2,PD =1,则圆心O到弦CD勺距离为 （一）必做题（12-16题）12. 若x2dx =9,则常数T的值为.213.执行如图3所示的程序框图，如果输入a =1,b =UH2 2x y14 设F1,F2是双曲线C :右勺=1（a A0,b A0）的两个焦点，P是C上一点，若 PF +| PF 6a,且a bPRF2的最小内角为30，则C的离心率为 。115设Sn为数列)。求g()的值；5(II) 求使f(x) _g(x)成立的x的取值集合。18. (本小题满分12分)某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形

5、地块的每个格点(指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y (单位：kg)与它的 相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物 相近”是指它们之间的直线距离不超过1米。(I) 从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好相近”的概率;(II) 从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望。19. (本小题满分12分)如图5，在直棱柱 ABCD ABC.D中，AD/BC,BAD AC _ BD,BC =1,AD = AR =3.(I) 证明：AC _ B,D ；(II)

6、 求直线BG与平面ACDi所成角的正弦值。20. (本小题满分13分)在平面直角坐标系 xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点 N的任一路径成为 M到N的一条“路 径”如图6所示的路径MMiM 2M3N与路径MNiN都是M到N的“路径”某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy内三点A(3,20), B(-10,0), C(14,0)处。现计划在x轴上方区域(包含 x轴)内的某一点P处修建一个文化中心。GE1(I) 写出点P到居民区A的“I路径”长度最小值的表达式(不要求证明)；(II) 若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“I路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“路径”长度值和最小。21. (本小题满分13分)过抛物线E:x2 =2py(p 0)的焦点F作斜率分别为 匕也的两条不同的直线IJ2，且k k 2，h与E相交于点A，B，12与E相交于点C，D。以AB，CD为直径的圆M，圆N ( M，N为圆心)的公共弦所在的直线记为l。(I)若 k0,k20，证明；FLFn 2P2 ；(II)若点M到直线11的距离的最小值为 jW，求抛物线E的方程。522.(本小题满分13 分)(l)；记f(x)在区间 0,4 上的最大值为g( a),求g( a)