中考数学专题复习-常用辅助线倍长类中线

1、常用辅助线之倍长（类）中线简答题：1.在 ABC中，D 为BC边上的点，已知 BADCAD ，BD CD ，求证： AB AC答案： 见解析解析：延长 AD 到 E，使 ED AD ，连结 BE 在 ADC 和 EDB 中AD EDADC EDBDC DB ADC EDB AC EB ， CADBED又 BAD CAD BAD BED AB EB AB AC12. 已知： ABC 中， AM 是 中线求证： AM (AB AC) 答案： 见解析解析：E如图所示，延长 AM 到 E ，使 EM AM ，连结 CE， 在 ABM 和 ECM 中EM AMAMB EMCBM MC ECM ABM ，

2、 AB CE在 ACE 中， AE AC CE 2AM AB AC1 AM ( AB AC )2答案： 见解析解析：AEDAC DAB 3.如图， ABC 中， ABAC， AD是中线求证：延长 AD到 E，使 AD DE ，连结 BE 在 ADC 和 EDB 中AD EDADC EDBDC DB ADC EDB AC EB ， CAD BEA在 ABE 中， ABAC ， AB EBAEB EABDAC DAB 4.如图，已知在 ABC 中， AD是BC边上的中线， E是AD上一点，延长 BE交 AC于F ， AF EF ，求证： AC BE 答案： 见解析解析：延长 AD 到 G，使 DG

3、AD ，连结 BG BDCD，BDGCDA， AD GD ADC GDB ACGBGEAF又 AF EF ，EAF AEF G BED BE BG ， BE AC 5.如图，已知在 ABC中， AD 是BC边上的中线， E是AD上一点，且 BE AC，延长 BE 交 AC 于 F ，求证： AF EF答案： 见解析解析：延长 AD 到G，使 DG AD ，连结 BG BD CD ， BDG CDA ， AD GD ADC GDB AC GB G EAF又 BE AC ， BE BG GBED ，而 BED AEF AEF FAE ，故 FA FE 6.如图，在 ABC中， AD交 BC于点 D

4、，点 E是BC中点， EFAD交CA的延长线于 点 F ，交 AB 于点 G ，若 BG CF ，求证： AD 为 ABC 的角平分线答案： 见解析解析 ：延长 FE 到点 H ，使得 EF EH ，连结 BH E 是 BC 的中点 BE CE在 EFC 和 EHB 中，CE BECEF BEHEF EH EFC EHB FC BH ， F H BG CF BH BGHBGHFBGH EF ADFCAD,BGH BAD CAD BAD AD 为 ABC 的角平分线7.如图，在 ABC中， AD交BC于点 D，点 E是BC中点， EF AD交CA的延长线 于点 F ，交 EF于点 G，若 BG

5、CF ，求证： AD为 ABC 的角平分线ED答案： 见解析 解析：F延长 FE 到点 H ，使 HEFE ，连结 BH在 CEF 和BEH中CE BECEFBEHFE HE CEF BEH EFCEHB， CFBHBG EHBBGE，而BGEAGF AFGAGF又 EF ADAFGCAD ， AGFBADCADBADAD为ABC 的角平分线8.如图所示， 已知 ABC中， AD平分 BAC，E、F 分别在 BD 、AD上 DE CD ， EF AC 求证： EFABAM答案： 见解析解析：延长 AD到M ，使 DM AD，连结 EM ，在 ADC 和MDE 中AD DMADC MDEDE C

6、D ADC MDE ， 3 M ， AC EM ，又 AC EF ， EM EF ， 1 M ， 1 3 ， AD 平分 BAC ， 2 3 ， 1 2 ， EF AB 又 AMB ，AMC 的平分线分别交 AB于 E、交 AC于 F ，9. 已知 AM 为 ABC 的中线，AMB， AMC 的平分线分别交 AB于 E、交 AC于 F 求B证： BE CF EF 答案： 见解析解析：B延长 EM 到 N ，使 MN ME ，连结 CN 、 FN 在 BEM 和 CNM 中EM MNBM CMBME CMN BEM CNM ， BE CN ， EMF FMN 90 ， 利用 SAS证明 EMF

7、FMF ， FN EF ，在 FCN 中， FC CN FN ， BE CF EF 10.在 Rt ABC中， F 是斜边AB的中点，D、 E分别在边CA、CB上，满足DFE 90 若 AD3， BE 4，则线段 DE 的长度为答案： 5解析：G延长 DF 到点 G ，使得 DF GF ，连结 EG,BG 在 ADF 和 BGF 中AF BFDF GFAFD BFGADF BGF AD BG ， A ABG DFE 90 DF EF DF GF EF 是 DG 的垂直平分线 DE EG在 EBG 中， EBG ABG ABC A ABC 90由勾股定理得： EGBE 2 BG2 5 DE 51

8、1. 在 ABC中，点D为BC的中点，点M 、N分别为 AB 、AC上的点，且MD ND（1）若 A 90 ，以线段 BM 、MN 、 CN 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形 是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？（2）若 BM 2 CN 2 DM 2 DN 2 ，求证： AD2 1 AB2 AC2 AD答案： 见解析 解析：1）直角三角形2）延长 ND至E，使 DEDN ，连接 EB 、 EM 、MN DE DN ， DB DC ， BDECDN ，BECN ，DBECDEDN ，MDN90 ，MEMN ，DM 2DN 2MN 2ME2BM2BE2ME2，则MBDE CDN MBDDB

9、E 9090 ，DBEC ，故 MBD90 ，则 BAC90 AD 为 RtABC斜边 BC 上的中线，故 AD 1 BC 2由此可得 AD2 1 BC2 144AB2AC212.如图所示， 在 ABC中，AB AC，延长 AB到 D，使BD AB，E为 AB的中点， 连接 CE 、 CD ，求证 CD 2EC 答案： 见解析解析：ABC，如图所示，延长 CE到F，使 EF CE 容易证明 EBF EAC ，从而 BF AC ， 而 AC AB BD ，故 BF BD 注意到 CBD BAC ACB BACCBF ABC FBA ABC CAB ， 故 CBF CBD ，又 BC=BC CBF

10、 CBD ， 因此 CD CF 2CE 13.已知 ABC中， AB AC ， BD为AB的延长线， 且BD AB，CE为 ABC的AB 边上的中线求证： CD 2CE答案： 见解析解 析：延长 CE 到 K ，使 CE= EK ，连接 BKAE EB12 EC EKAEC BEK, AC = BK= BD, A 3 AB= AC5 ACB KBC 3 5 A ACB 4 , BC BC CKB CDB CK = CD2CE= CD14.如图所示， BAC DAE 90 ，M 是BE的中点， AB AC，AD AE ，求证 AM CD AD答案： 见解析解析：AD交 CD 于点 O 90 ，倍

11、长中线 AM 到 F ，连接 BF 交 AD 于点 N ， 在 AME 和 FMB 中AM MFBM MEAME MFB AME FMB则 AE FB ， EAF F ，从而 AEFB ， ANF 90而 CAD DAB 90 ， DAB ABN故 CAD ABN从而 CAD ABF ，故 DF而 D DON FOH F 90故 AHD 90 ，亦即 AM CD 15.已知 AM 为 ABC 的中线， AMB ， AMC 的平分线分别交 AB 于 E、交 AC 于 F 求证： BE CF EF AD答案：见解析 解析：延长 FM 到 N ，使 MN MF ，连结 BN 、 EN 易证 BNM

12、CFM ， BN CF ，又 AMB， AMC的平分线分别交 AB于E、交 AC于F ， EMF EMN 90 ，利用 SAS证明 EMN EMF ， EN EF ，在 EBN 中， BE BN EN ， BE CF EF AD16.在Rt ABC中， A 90 ，点D为 BC的中点，点 E、F 分别为 AB 、 AC上的点， 且 ED FD 以线段 BE 、 EF 、 FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角 三角形、直角三角形或钝角三角形？C答案：见解析解析：延长 FD 到点 G，使 FD GD，连结 EG 、BGC在 CDF 和 BDG 中CD BDCDF BDGFD GD C

13、DF BDG BG CF ， FCD GBD A 90 ABCACB90 ABCGBD90在 EDF 和EDG中ED EDEDFEDG90FD GDEDF EDG EF EG故以线段 BE 、 EF 、 FC 为边能构成一个直角三角形17.如图所示，在 ABC和 ABC 中， AD、AD 分别是 BC、BC 上的中线，且AB AB ， AC A C ，ADA D ，求证ABCAB C AABDC B DC答案：见解析解析：如图所示，分别延长AD 、A D 至 、E ，使 DEAD ， D E A D 连接 BE、BE ，则 AE 2AD ，AE 2AD 因为 AD A D ，所以 AEA E

14、在 ADC 和 EDB 中， ADED ，ADCEDB，BD CD ，故 ADC EDB ，从而 AC EB ，ECAD同理， ADC EDB ，则 A CEB，EC AD 因为 AC A C ，所以 BEB E 在 ABE 和 A B E 中， ABAB，BEBE ， AEA E ，所 以 ABE AB E ，从而EE，BAE BA E ， 故CAD E E C AD ，则BACBA C 在 ABC 和 A B C 中 ， AB A B ， BAC ABC A BC B A C ， AC A C ， 故18.在梯形 ABCD中， ABCD，A 90 ， AB 2 ， BC3，CD 1，E是

15、AD 中点，试判断 EC与 EB的位置关系，并写出推理过程答案：见解析解析：延长 BE交CD延长线于点 F ABE是 AD 中点，DE AE，ABCD ， A 90 ， EDF EAB 90 ， ABE DFE 在 AEB 和 FED 中，ABE DFE EAB EDFAE DE AEB FED ，FE BE又 AB 2 ，BC 3，CD 1，CF BC在 FCE 和 BCE 中，FCBCCECEFEBEFCE BCE ， CE EB19.已知：如图，在 Rt ABC中， AB BC ，在Rt ADE中， AD DE，且D在边 AB 上，连结 EC ，取EC的中点 M ，连结DM 和BM 将等

16、腰直角三角形 ADE 绕A点按逆 时针方向旋转 45 ，结论： BMD 为等腰直角三角形，成立吗 ?答案：见解析解析：延长 DM 交 BC 于点 T ， ADE 、 ABC 为等腰直角三角形， ED BC， DEMTCM又 EM MC ，又EMD TMC DEM TCM ，DM MT ， ED TCAD AB AD BC TC ， BD BT DMMT ， BM DT ，结论得20.如图，在 Rt ABC中， AB BC ，在Rt ADE中， AD DE，且 AD AC，连结EC ，取EC的中点 M，连结 DM和BM 结论： BMD为等腰直角三角形还成立吗答案：见解析解析：延长 DM 交 AC

17、 于 H ，连结 BH ，在EDM 和 CHM 中DM MHEM MCDME HMC EDM CHM ， DM MH又 BC BA， CH DE AD ， BCA BADDBA HBC ， ABDCBH ， DB BHDBH 90 ， MBD MDB 45 ，结论得证21.如图，在 Rt ABC中， AB BC ，在Rt ADE中， AD DE ，且A在线段 EC上， 连结EC ，取EC的中点 M，连结 DM 和BM 证明： MBD MDBB答案：见解析 解析：过点 C作CTED交DM 的延长线于点 T，T在 EDM 和 CTM 中EM MCDME TMCTCM DEM EDM CTM ， DM MT在 BCT 和 BAD 中AB BCCT DABCT BAD BCT BAD BD BT ， DBT 90 ， MBD MDB 4522.以 ABC的两边 AB 、 AC为腰分别向外作等腰 Rt ABD和等腰 Rt ACE，BAD CAE 90 .连接DE，M、N分别是 BC 、 DE的中点探究： AM 与DE 的位置关系及数量关系（1）如图 当 ABC 为直角三角形时， AM 与 DE 的位置关系是 ；线段 AM 与 DE 的数量关系是 ；（2）将图中的等腰 Rt ABD 绕点 A