第5章第4节数列求和

1、20102014年高考真题备选题库第5章 数列第4节 数列求和1(2014北京，13分)已知an 是等差数列，满足a13，a412，数列bn 满足b14，b420，且 bnan是等比数列(1)求数列an和bn 的通项公式；(2)求数列bn的前n 项和解：(1)设等差数列an的公差为d，由题意得d3.所以ana1(n1)d3n(nN*)设等比数列bnan的公比为q，由题意得q38，解得q2.所以bnan(b1a1)qn12n1.从而bn3n2n1(nN*)(2)由(1)知bn3n2n1(nN*)数列3n的前n项和为n(n1)，数列2n1的前n项和为12n1.所以，数列bn的前n项和为n(n1)2

2、n1.2(2014湖南，12分)已知数列an 的前n 项和Sn，nN* .(1)求数列an 的通项公式；(2)设bn2an(1)nan ，求数列bn 的前2n 项和解：(1)当n1时，a1S11；当n2时，anSnSn1n.故数列an的通项公式为ann.(2)由(1)知，ann，故bn2n(1)nn.记数列bn的前2n项和为T2n，则T2n(212222n)(12342n)记A212222n，B12342n，则A22n12，B(12)(34)(2n1)2nn.故数列bn的前2n项和T2nAB22n1n2.3(2014广东，14分)设各项均为正数的数列an 的前n 项和为Sn ，且 Sn满足 S

3、(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*.(1)求a1 的值；(2)求数列an 的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有.解：(1)由题意知，S(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*.令n1，有S(1213)S13(121)0，可得SS160，解得S13或2，即a13或2，又an为正数，所以a12.(2)由S(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*可得，(Sn3)(Snn2n)0，则Snn2n或Sn3，又数列an的各项均为正数，所以Snn2n，Sn1(n1)2(n1)，所以当n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.又a1221，所以an2n.(3)当n1时，成立；当n2时，所以.所

4、以对一切正整数n，有.4(2014安徽，12分)数列an 满足a11，nan1(n1)ann(n1)，nN*.(1)证明：数列是等差数列；(2)设 bn3n，求数列bn的前 n项和 Sn.解：(1)证明：由已知可得1，即1.所以是以1为首项，1为公差的等差数列(2)由(1)得1(n1)1n，所以ann2.从而bnn3n.Sn131232333n3n，3Sn132233(n1)3nn3n1.得2Sn31323nn3n1n3n1.所以Sn.5(2014四川，12分)设等差数列an的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)2x的图象上(nN*)(1)证明：数列bn为等比数列；(2)若a11，函数f(

5、x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2，求数列anb的前n项和Sn.解：(1)证明：由已知，bn2an0.当n1时，2an1an2d.所以，数列bn是首项为2a1，公比为2d的等比数列(2)函数f(x)2x在(a2，b2)处的切线方程为y2a2(2a2ln 2)(xa2)，它在x轴上的截距为a2.由题意，a22，解得a22.所以，da2a11，ann，bn2n，anbn4n.于是，Sn14242343(n1)4n1n4n，4Sn142243(n1)4nn4n1.因此，Sn4Sn4424nn4n1n4n1.所以Sn.6（2013江苏，16分）设an是首项为a，公差为d的等差数列(

6、d0)，Sn是其前n项的和记bn，nN*，其中 c为实数(1)若c0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snkn2Sk(k，nN*)；(2)若bn是等差数列，证明：c0.证明：本题考查等差、等比数列的定义，通项及前n项和，意在考查考生分析问题、解决问题的能力与推理论证能力由题设，Snnad.(1)由c0，得bnad.又b1，b2，b4成等比数列，所以bb1b4，即2a，化简得d22ad0.因为d0，所以d2a.因此，对于所有的mN*，有Smm2a.从而对于所有的k，nN*，有Snk(nk)2an2k2an2Sk.(2)设数列bn的公差是d1，则bnb1(n1)d1，即b1(n1)d1，nN*

7、，代入Sn的表达式，整理得，对于所有的nN*，有n3n2cd1nc(d1b1)令Ad1d，Bb1d1ad，Dc(d1b1)，则对于所有的nN*，有An3Bn2cd1nD.(*)在(*)式中分别取n1,2,3,4，得ABcd18A4B2cd127A9B3cd164A16B4cd1，从而有由，得A0，cd15B，代入方程，得B0，从而cd10.即d1d0，b1d1ad0，cd10.若d10，则由d1d0，得d0，与题设矛盾，所以d10.又cd10，所以c0.7（2013浙江，14分）在公差为d的等差数列an中，已知a110，且a1，2a22,5a3成等比数列(1)求d，an；(2) 若d0，求|a

8、1|a2|a3|an|.解：本题主要考查等差数列、等比数列的概念，等差数列通项公式，求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力(1)由题意得5a3a1(2a22)2，即d23d40.故d1或d4.所以ann11，nN*或an4n6，nN*.(2)设数列an的前n项和为Sn.因为d0，由(1)得d1，ann11.则当n11时，|a1|a2|a3|an|Snn2n.当n12时，|a1|a2|a3|an|Sn2S11n2n110.综上所述，|a1|a2|a3|an|8（2013天津，14分）已知首项为的等比数列an的前n项和为Sn(nN*), 且2S2，S3,4S4成等差数列 (1)求数列an的通项公

9、式； (2)证明Sn(nN*)解：本题主要考查等差数列的概念，等比数列的概念、通项公式、前n项和公式，数列的基本性质等基础知识考查分类讨论的思想，考查运算能力、分析问题和解决问题的能力(1)设等比数列an的公比为q，因为2S2，S3,4S4成等差数列，所以S32S24S4S3，即S4S3S2S4，可得2a4a3，于是q.又a1，所以等比数列an的通项公式为ann1(1)n1.(2)证明：Sn1n，Sn1n当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以SnS1；当n为偶数时，Sn随n的增大而减小，所以SnS2.故对于nN*，有Sn.9. （2013陕西，12分）设Sn表示数列an的前n项和(1)若an

10、为等差数列，推导Sn的计算公式；(2)若a11，q0，且对所有正整数n，有Sn.判断an是否为等比数列，并证明你的结论解：本题主要考查等差数列前n项和公式推导所用的倒序相加法，考查等比数列的证明方法和一般数列切入点的技巧，深度考查考生应用数列作工具进行逻辑推理的思维方法(1)法一：设an的公差为d，则Sna1a2ana1(a1d)a1(n1)d，又Snan(and)an(n1)d，2Snn(a1an)，Sn.法二：设an的公差为d，则Sna1a2ana1(a1d)a1(n1)d，又Snanan1a1a1(n1)da1(n2)da1，2Sn2a1(n1)d2a1(n1)d2a1(n1)d2na1

11、n(n1)d，Snna1d.(2)an是等比数列证明如下：Sn，an1Sn1Snqn.a11，q0，当n1时，有q，因此，an是首项为1且公比为q的等比数列10（2013重庆，13分）设数列an 满足：a11，an13an，nN.(1)求an的通项公式及前n项和Sn；(2)已知bn是等差数列，Tn为其前n项和，且b1a2，b3a1a2a3，求T20.解：本题主要考查等比数列、等差数列的通项公式与前n项和等基础知识，考查逻辑思维能力(1)由题设知an是首项为1，公比为3的等比数列，所以an3n1，Sn(3n1)(2)b1a23，b3a1a2a313913，b3b1102d，所以数列bn的公差d5

12、，故T2020351 010.11（2013湖南，13分）设Sn为数列an的前n项和，已知a10,2ana1S1Sn，nN*.(1)求a1，a2，并求数列an的通项公式；(2)求数列nan的前n项和解：本题主要考查数列的通项公式和数列求和，结合转化思想，意在考查考生的运算求解能力(1)令n1，得2a1a1a，即a1a.因为a10，所以a11.令n2，得2a21S21a2，解得a22.当n2时，由2an1Sn,2an11Sn1两式相减得2an2an1an，即an2an1.于是数列an是首项为1，公比为2的等比数列因此，an2n1.所以数列an的通项公式为an2n1.(2)由(1)知，nann2n

13、1.记数列n2n1的前n项和为Bn，于是Bn122322n2n1，2Bn12222323n2n.得Bn12222n1n2n2n1n2n.从而Bn1(n1)2n.12（2013广东，14分）设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，满足4Sna4n1，nN*，且a2，a5，a14构成等比数列(1)证明：a2 ；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有.解：本题主要考查通过“an与Sn法”将递推数列转化为等差数列及裂项求和法，意在考查考生运用化归与转化思想解决问题的能力(1)证明：an0，令n1，有4S1a41，即4a1a41，a2.(2)当n2时，4Sna4n1,4Sn1a4(

14、n1)1，两式相减得4anaa4，有a(an2)2，即an1an2，an从第2项起，是公差为2的等差数列，a5a232a26，a14a2122a224，又a2，a5，a14构成等比数列，有aa2a14，则(a26)2a2(a224)，解得a23，由(1)得a11，又an1an2(n2)an是首项为1，公差为2的等差数列，即an1(n1)22n1.(3)证明：由(2)得.13（2012山东，12分）已知等差数列an的前5项和为105，且a102a5.(1)求数列an的通项公式；(2)对任意mN*，将数列an中不大于72m的项的个数记为bm，求数列bm的前m项和Sm.解：(1)设数列an的公差为d

15、，前n项和为Tn.由T5105，a102a5，得到解得a17，d7.因此ana1(n1)d77(n1)7n(nN*)(2)对mN*，若an7n72m，则n72m1.因此bm72m1，所以数列bm是首项为7公比为49的等比数列故Sm.14（2012浙江，14分）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2n2n，nN*，数列bn满足an4log2bn3，nN*.(1)求an，bn；(2)求数列anbn的前n项和Tn.解：(1)由Sn2n2n，得当n1时，a1S13；当n2时，anSnSn14n1，易知当n1时也满足通式an4n1，所以an4n1，nN*.由4n1an4log2bn3，得bn2n1，nN

16、*.(2)由(1)知anbn(4n1)2n1，nN*，所以Tn3721122(4n1)2n1,2Tn32722(4n5)2n1(4n1)2n，所以2TnTn(4n1)2n34(2222n1)(4n5)2n5.故Tn(4n5)2n5，nN*.15（2012新课标全国，5分）数列an满足an1(1)nan2n1，则an的前60项和为()A3 690B3 660C1 845 D1 830解析：不妨令a11，根据题意，得a22，a3a5a71，a46，a610，所以当n为奇数时，an1，当n为偶数时构成以a22为首项，以4为公差的等差数列所以前60项和为S603023041 830.答案：D16（20

17、11江苏，5分）设1a1a2a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是_解析：设a2t，则1tqt1q2t2q3，由于t1，所以qmaxt，故q的最小值是.答案：17(2011广东，14分)设b0，数列an满足a1b，an(n2)(1)求数列an的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n,2anbn11.(1)由an联想到取倒数得，令cn，有cncn1，当b1时，cn为等差数列，当b1时，设cnk(cn1k)，展开对比得k，构造等比数列cn，求得cn后再求an；(2)当b1时，易验证，当b1时，先用分析法将2anbn11转化为bn1

18、1，利用公式anbn(ab)(an1an2bbn1)，再转化为2nbn(bn11)(1bb2bn1)，然后将右边乘开，再利用基本不等式即可得证解：(1)a1b0，an，令cn，则cncn1，当b1时，cn1cn1，且c11cn是首项为1，公差为1的等差数列，cn1(n1)1n，于是cnn，这时an1；当b1时，cn(cn1)，且c1，cn是首项为，公比为的等比数列，cn()n1，由得an，an.(2)证明：由(1)得，当b1时，an1,2anbn1122成立，当b1时，an，2anbn11bn11，而1bn(1b)(1bb2bn1)，又b0，故只需证：2nbn(bn11)(1bb2bn1)，()而(bn11)(1bb2bn2bn1)(b2nb2n1bn1)(bn1bn2b1)(b2n1)(b2n1b)(bn1bn1)2bn2bn2bn2nbn，()式成立，原不等式成立18(2010天津，14分)在数列an中，a10，且对任意kN*，a2k1，a2k，a2k1成等差数列，其公差为2k.(1)证明：a4，a5，a6成等比数