电路原理清华大学课件207一阶电路

1、第第7 7章章一阶电路一阶电路 7.1 动态电路概述 7.2 电路中起始条件的确定 7.3 一阶电路的零输入响应 本章重点 7.7 脉冲序列作用下的RC电路 7.4 一阶电路的零状态响应 7.5 一阶电路的全响应 7.6 求解一阶电路的三要素法 ?稳态分量 暂态分量 本章重点 ?零输入响应 ?初始值的确定 ?零状态响应 ?全响应 返回目录 S未动作前（稳态） S接通电源后很长时间（新稳态） i = 0 , u C = 0 i= 0 , u C= US 一、电路的过渡过程 7.1 动态电路概述 + u C U S R C i 动态电路（dynamic circuit）: 用微分方程描述的电路 S

2、 u C US R C i + 初始状态 过渡状态 新稳态t 1 U S uC t 0 ? 过渡过程（transient process）： 电路由一个稳态过 渡到另一个稳态需要经历的过程。 过渡状态（瞬态、暂态） 二、过渡过程产生的原因 能量不能跃变 t w p d d ? 1. 电路内部含有储能元件 L ，M ， C。 S u C US R C i + 2. 电路结构发生变化。 三、分析方法 时域分析法 复频域分析法 时域分析法经典法 拉普拉斯变换法 状态变量法 四、一阶电路（First-order Circuit） 由一个独立储能元件组成的电路,描述电路的方 程是一阶微分方程。 开关闭合

3、 开关断开 参数变化 换路 + - uS R 1 R 2 R 3 S 思考： 有无过渡过程？ 返回目录 一、 t= 0 +与 t = 0 -的概念 换路在 t=0 时刻进行 0 - t= 0 的前一瞬间 0 + t= 0 的后一瞬间 7.2 电路中起始条件的确定 )(lim)0( 0 0 tff t t ? ? ? ? )(lim)0( 0 0 tff t t ? ? ? ? 初始条件（initial condition）为 t= 0 +时u ，i 及其各 阶导数的值。 0 - 0 + 0 t f(t) 二、换路定则（switching law） ?d)( 1 ? ? ? t C i C u

4、?d)( 1 d)( 1 0 0 ? ? ? ? t i C i C ?d)( 1 )0( 0 ? ? ? t C i C u q=C u C ?d)()0( 0 ? ? ? t iqq 当t = 0 +时 ?d)( 1 )0()0( 0 0 ? ? ? ? ? i C uu CC i(?)为有限值时0d)( 0 0 ? ? ? ? ?i q(0 +) = q(0- )+ 0d)( 0 0 ? ? ? ? ?i i uCC + - 1. 电容 q(0 +) = q(0 -) u C (0 +) = u C (0 -) 结论 ： 换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电 压（电荷）换路前后保持

5、不变。 电荷守恒 t i Lu L d d ?d)( 1 ? ? ? t L u L i ?d)( 1 d)( 1 0 0 ? ? ? ? t L u L u L i ?du L i t L )( 1 )0( 0 ? ? ? ? 当u为有限值时 ?d)()0( 0 ? ? ? t u L Li? ? L (0 +)= ? L (0 -) iL(0 +)= iL(0-) 磁链守恒 i u L + - L 2.电感 ?(0 +)= ?(0 -) iL(0 +)= iL(0-) q(0 +) = q(0-) uC(0 +) = u C (0 -) 结论： 换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电 感电

6、流（磁链）换路前后保持不变。 小结： 换路定则 换路定则成立的条件。注意 ? L (0 +)= ? L (0 -) iL(0 +)= iL(0-) 磁链守恒 三、电路起始条件（initial condition）的确定 由换路定则u C (0 +) = u C (0 -) V8 4010 4010 )0(? ? ? ? ? C u 画0 +电路，求iC(0+) mA2. 0 10 810 )0(? ? ? ? C i ? 求u C (0 +) 和iC(0 +) t= 0 时打开开关S 0)0()0(? ? CC ii ？ 解 由换路前电路得 例1 + - 10V i iC S 10k ? 40

7、k ? uC - + + - 10V i iC + 8V - 10k ? t = 0 时闭合开关S，求uL(0 +)。 对否 0)0( 0)0(? ? LL uu? ? iL(0 +)= iL(0 ?)= 2A V842)0(? ? L u 需由0 +电路求u L(0 +)。 0 +电路为 iL(0 +) + uL(0 +) - L10V 1 ?4 ? 解 例2 iL + uL - L10V S 1 ?4 ? 求起始值的一般步骤: （1）由换路前电路（一般为稳定状态）求 uC(0 -) 和 iL(0 -)。 （2） 由换路定则得 uC(0 +) 和 iL(0 +)。 （3） 画0 +等值电路。

8、 （4） 由0 +电路求所需各变量的0+值。 b. t =0 +时刻电容电压（电感电流）用电压源（电流源） 替代。方向同原假定的电容电压、 电感电流方向。 a. 换路后的电路 c. 独立源取t=0 +时刻值。 )30sin( m ? ?t L E iL? ? L E t L E i t L ? ? ?2 )30sin()0( m 0 m ? ? ? ? 解 由换路定则得 L E ii LL ?2 )0()0( m ? ? L E I L ?j 60 m m ? ? ? ? 对开关S打开前的电路，用相量法计算： 计算t= 0 时iL的值 V)60sin( mS ? ?tEu? 。和求： )0()

9、0(,)0( ? RLL uui 已知： 例3 iL + uL - LS R + - uS 由 0 +电路求u R(0 +)和u L(0 +)。 + uL(0 +) - R + - 2 3 m E L E ?2 m ? L RE Riu LR ?2 )0()0( m ? ? ? L REE u m L ?22 3 )0( m ? ? ? L REEm ?22 3 m ? 返回目录 7.3 一阶电路的零输入响应 零输入响应（Zero-input response）：激励（电源）为零， 由初始储能引起的响应。 一、 RC放电电路 解 t u Ci C d d ? 0 )0( 0 d d Uu u

10、t u RC C C C ? ? ? uC= u R= Ri 设 pt C Aue? 0e d )ed( ? pt pt A t A RC 一阶齐次常微分方程 已知 uC(0 -)=U 0 ，求 uC ，i 。 i S(t=0) + u R C + u C R RC p 1 ? 特征根（characteristic root）为 t RC A 1 e ? ? 特征方程（characteristic equation）为 RCp+ 1=0 pt C Aue?则 起始值 u C (0 +) = u C(0 -)=U 0 A=U0 0 1 0 e ? ? ? t t RC AU 0ee? ptpt

11、ARCAp 由起始值定待定系数 令 ?=RC , 称?为一阶电路的时间常数（time constant）。 t U0 uC 0 0 0 ee(0) tt C RCRC uU iIt RR ? ? 0 e(0) t RC C uUt ? ? ? ? ? ? 秒 伏 安秒 欧 伏 库 欧法欧 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? RC? I 0 t i 0 时间常数 ? 的大小反映了电路过渡过程时间的长短。 ?= RC ? 11 ? RC p ?大过渡过程时间的长 ?小过渡过程时间的短 定性讨论（设电压初值一定）： R大（C不变）i = u/R 放电电流小 放电时间长 U0

12、t uC 0?小 ?大 C大（R不变）w = 0.5 Cu 2 储能大 工程上认为，经过 3? 5?的时间过渡过程结束。 U0 0.368 U00.135 U0 0.05 U0 0.007 U0 ? ：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。 t 0 ?2?3?5? ? t C Uu 0 e ? ?U 0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5 t 1时刻曲线的斜率等于 )( 1 e d d 1 0 11 tu U t u Ct t t C ? ? ? ? U0 t uC 0 ? t 1 t 2 按此速率，经过?秒后uC减为零。 )(368. 0)( 12 tutu

13、 CC ? 次切距的长度 t 2 -t 1 = ? 分析： 能量关系: tRiWRd 0 2 ? ? ? 电容C不断释放能量被R 吸收，直到全部消耗完毕。 设设uC(0 +)=U 0 电容放出能量 2 0 2 1CU 电阻吸收能量 tR R U RC t d)e( 2 0 0 ? ? ? 2 0 2 1 CU? t R U RC t de 2 0 2 0 ? ? ? uCR + - C 二、RL电路的零输入响应 特征方程 Lp+R= 0 L R ? 特征根 p= 由初始值 i(0 +)= I 0 定待定系数A A= i(0 +)= I 0 i(0 +) = i(0-) = 0 1 I RR U

14、 S ? ? d 0(0) d i LRit t ? pt Atie)(? 00 ( )ee(0) R t pt L itIIt ? ? 得 i S(t=0) USL + u L RR 1 Riu L ? 令 ?= L/ R , ?称为一阶RL电路时间常数 / 0 e(0) t L R RIt ? ? ? t L R Ii 0e ? ? / 0 e(0) t L R It ? ? 设i(0)一定： L大 起始能量大 R小 放电过程消耗能量小 放电慢 ?大 I 0 t i 0 秒 欧安 秒伏 欧安 韦 欧 亨 ? ? ? ? ? ? R L ? 工程上认为，经过 3? 5?的时间过渡过程结束。

15、-RI0 uL t 0 定性讨论R、L对过渡过程的影响。 iL(0 +) = iL(0?) = 1 A u V (0 +)= - 10000V 造成V损坏。 / e(0 ) t L it ? ? t=0 时 打开开关S， 电压表坏了,试分析其原因。 电压表量程为50V / VV 1 00 0 0 e(0 ) t L uR it ? ? ? ? 分析 改进措施 例 iLS(t=0) + u V L=0.4H R=10 ? V R V 10k ? 10V iL S(t=0) L=0.4H R=10 ? 10V 续流 二极管 4. 一阶电路的零输入响应和初始值成正比。 1. 一阶电路的零输入响应是由

16、储能元件的初始值引起的 响应，都是一个指数衰减函数。 2. 衰减快慢取决于时间常数? RC电路?= RC RL电路?= L/R 3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。 小结 返回目录 零状态响应（zero-state response）：储能元件初始能量为零， 在激励（电源）作用下产生的响应。 一、直流激励下的零状态响应 列方程 7.4 一阶电路的零状态响应 一阶非齐次线性常微分方程 。 解答形式为： CCC uuu? ? 通解 特解 S d d Uu t u RC C C ? i S(t=0) US + -u R C + - uC R u C (0 -)=0 1. RC电路的零状态响应

17、 与输入激励的变化规律有关，某些激励时强制分量为 电路的稳态解，此时强制分量称为稳态分量 RC t C Au ? ? ?e 全解 u C (0 +)=A+U S= 0A=-US 由起始条件 u C (0 +)=0 定积分常数 A 齐次方程的解0 d d ? C C u t u RC ：特解（强制分量） C u? = U S C u? ：通解（自由分量，暂态分量）C u ? ? RC t CCC AUuuu ? ? ?e S i t R U S 0 S d e (0) d t C RC uU iCt tR ? ? ? US C u? 稳态分量 -US C u? ? 暂态分量 uC t 0 全解

18、)0( )e1(e S SS ? ? tUUUu RC t RC t C 强制分量(稳态) 自由分量(暂态) 能量关系：能量关系：电源提供能量一部分消耗在电阻上， 一部分储存在电容中，且一部分储存在电容中，且w C = wR 充电效率为50% tR R U tRiw RC t R d)e(d 2 00 S2 ? ? ? ? ? ? 0 22 S e 2 RC t R URC C w CU ? 2 2 S R C 开关S在t=0时闭合， 求uC的零状态响应。 解法1： t u C iu i C d d 1 2 ? ? ? C C u t u Cu ui ? ? d d 12 整理得 64 d d

19、 5? C C u t u C 64 d d 4? C C u t u 非齐次线性常微分方程 通解 特解 解答形式为CCC uuu? ? + - 4/5F i 1 ? 1 ?1 ? 2V 例 + - 2 i S + - - uC u V5. 13 A5. 024 ? ? iu ii C t C Au ? ?e5. 1 则 由初始值定系数A= ?1.5 1.5 1.5e V(0) t C ut ? ? t C Au ? ? ?e 通解 特征根 p= ?1 044?p 特征方程 特解(稳态分量) 2V + - i 1 ? 1 ?1 ? + - 2 i + - C u 稳态电路 由稳态电路得 1 .

20、5 1 .5 e V (0) t C ut ? ? s1? RC? 解法2： （先对开关左边电路进行戴维南等效） + - 4/5F i 1 ? 1 ?1 ? 2V+ - 2 i S + - - uC u + - 4/5F 1/4 ?1 ? 1.5V + - uC 2. RL电路的零状态响应 电路的零状态响应 S d d UiR t i L L L ? S (1 e)(0) Rt L L U it R ? ? S d e(0) d R t L L L i uLUt t ? ? 解 iL(0 ?)=0 求: 电感电流iL(t)。已知 LLL iii? ? uL US t 0 t iL R US 0

21、 R U AiL S 0)0(? ? t L R A R U ? ?e S iL S(t= 0) U S + uR L + uL R 二、正弦电源激励下的零状态响应 Sm ( )sin() u u tUt? )sin( d d mu tU t i LRi? 强制分量（稳态分量） 自由分量（暂态分量） ? t Ai e ? ? ? R L ? ? u ?t uS 接入相位角 iii? ? 一阶齐次常微分方程 解答形式为 iL(0 ?)=0 uS + - iL S(t= 0) L + uL R 用相量法计算稳态分量i? 22 m m )( LR U I ? ? R L? ?arctg? )sin(

22、 m ? u tIi ? ? t u AtIiii m e)sin( ? ? ? 定系数 AIi u ? ? )sin(0)0( m ? )sin( m ? u IA ? ? ? ? ? u I LR U I m S j ? ? jX L L I ? + - R S U ? 相量模型 ? ? ? ? ? 0 0 m 0 e)sin( t t t u t AtIi ? ? ? ? t uu ItIi mm e)sin()sin( ? ? 解答为 讨论几种情况： （1）? u ? ?=0 ? 即合闸时? u = ? 合闸后，电路直接进入稳态，不产生过渡过程。 （2） ? u-? = ?/2即? u

23、 = ? ?/2 A = 0 无暂态分量 )sin( m ? u tIi m IA? ? t Ii me ? ? ? ? ? t u ItIi mm e)sin( ? ? ? ? t u ItIi mm e)sin( ? ? 当? u=? +?/2 时 mmax 2Ii? i? -Im I m i? ?/2 i t 0 i 波形为 ? ? t ItIi mm e)2/sin( ? ? 小结：小结： 1. 一阶电路的零状态响应是储能元件无初始储能时 由输入激励引起的响应。 2. 时间常数与激励源无关。 3. 线性一阶电路的零状态响应与激励成正比。线性一阶电路的零状态响应与激励成正比。 返回目录返

24、回目录 7.5 一阶电路的全响应 全响应全响应（complete response）：非零起始状态的电路受到 外加 激励所引起的响应。 S d d Uu t u RC C C ? 非齐次线性常微分方程 ?= RC ? t C AUu S e ? ? 暂态解 ? t C Au ? ? ?e 解答形式为 CCC uuu? ? 稳态解 S Uu C ? i S(t=0) US + uR C + uC R u C (0 -)=U 0 强制分量(稳态分量) 自由分量(暂态分量) S0S ()e(0 ) t C uUUUt ? ? ? （1） 全响应 = 强制分量（稳态分量）+自由分量（暂态分量） u C

25、 (0 +) = A+U S=U0 A = U 0 ?US 由起始值定A： U0 uC 全响应 t uC 0 稳态分量 US C u? ?U S U0 暂态分量C u? ? 一、一阶电路的全响应及其两种分解方式 （2） 全响应= 零状态响应 + 零输入响应 零状态响应 零输入响应 S0 (1 e)e(0 ) tt C uUUt ? ? ? S0S ()e(0 ) t C uUUUt ? ? ? 可表示为 = + i S(t=0) USC + uC R u C (0 -)=U 0 i S(t=0) USC + u C R u C (0 -)=0 u C (0 -)=U 0 i S(t=0) C

26、+ u C R t uC 0 US 零状态响应 零输入响应 U0 零状态响应 零输入响应 S0 (1 e)e(0 ) tt C uUUt ? ? ? 全响应 S 1 0 ,2H,1 2 V,RLU? 已知例 如图所示电路中， 求iL,uL的全响应、零输入响应、零状态响应。 S 2A,(0)1 A L Ii? 。 S R LUS iL + ? 12 I S 解 换路后可利用叠加定理将iL,uL的求解分解为下面三个电路。 2H R L iLf f (0 )1 A L i? (a) 10 ? + ? uLf R L U S + ? (b) 2H 10 ? 12V e(0) 0 L i? eL i +

27、 ? eL u R LI S e(0) 0 L i? (c) 2A eL i 2H 10 ? + ? eL u 2H R L iLf f (0 )1 A L i? (a) 10 ? + ? uLf R L U S + ? (b) 2H 10 ? 12V e(0) 0 L i? eL i + ? eL u R LIS e(0) 0 L i? (c) 2A eL i 2H 10 ? + ? eL u 各响应分量为 /5 f 5 f ee A 10e V tt L t L i u ? ? ? ? ? 5 e 5 e 1.2(1e) A 12e V t L t L i u ? ? ? ? ? ? ?

28、5 e 5 e 2(1 e) A 20e V t L t L i u ? ? ? ? ? 零输入响应为 /5 f 5 f ee A 10e V tt L t L i u ? ? ? ? ? 零状态响应为5 eee 5 eee 3 .2 (1 e) A 3 2 e V t LLL t LLL iii uuu ? ? ? ? ? ? 零输入响应 /5 f 5 f ee A 10e V tt L t L i u ? ? ? ? ? 零状态响应 5 eee 5 eee 3 .2 (1 e) A 3 2 e V t LLL t LLL iii uuu ? ? ? ? ? ? 全响应为 5 fe 5 fe

29、 3 .2 2 .2 eA 2 2 e V t LLL t LLL iii uuu ? ? ? ? 返回目录返回目录 7.6 求解一阶电路的三要素法 0 ( )( ) ( 0 )( )e t r trrr ? ? ? ? ? ( ) (0 ) r r ? ? ? ? ? ? ? 稳态解 三要素起始值 时间常数 线性非时变一阶电路的时域数学描述是一阶微分方程 。 ( )( )e t r trA ? ? ? 令 t = 0 + 0 (0)( )rrA ? ? ? 0 (0)( )Arr ? ? ? 对于换路后有稳态的情况，一阶电路响应的一般形式为 I S R a R b C 21 21 )( RR

30、 LRR ? ? CRR)( ba ? 例1 求?的简便方法： u S L R 2 R 1 例2 R 等 L CR等 （1） 独立电源置零。 等 等 电路：电路： R L RLCRRC? （2） 从L或 C两端求入端等效电阻，则 思考： + - - R1 R 2 C1 C2 E?(t) ?？ )( 21 21 21 CC RR RR ? ? ? R 1 R 2 C1 C2 独立电源置零后电路 则 例1 已知： t=0 时合开关S，求 换路后的uC(t) 。 V2)0()0(? ? CC uu V 3 2 1 12 2 )(? ? ? C u s23 3 2 ?CR 等 ? 0.5 0 .6 6

31、 7 1 .3 3 3 eV(0 ) t C ut ? ? 解 1A 2 ? 1 ? 3F + - uC S t/s uC 2 /V 667. 0 0 已知：电感无初始储能 t = 0 时合 S 1 , t =0.2s 时合S2 求两次换路后的电感电流i(t)。 解 0 t 0.2s A2)( s2. 0 0)0( 1 ? ? ? ? i i ? A5)( s5. 0 A26. 1)2. 0( 2 ? ? ? ? i i ? A26. 1e22)2. 0( 2. 05 ? ? i Ae74. 35)( )2. 0(2 ? ? t ti 例2 i 10V 1H S 1 (t=0) S 2 (t=

32、0.2s) 3 ? 2 ? Ae74. 35 )2. 0(2 ? ? t i Ae22 5t i ? ?(0 t? 0.2s) (t? 0.2s) i t/s 0.2 5 /A 1.26 2 0 例3 求图示电路中电流 iC(t)。 10k ? 10k ? uS + - iC 100 ?F uC(0 -)=0 0.5 10 t/s uS/V 0 0 t 0.5s s5. 010510100 36 ? ? RC? mA1 10000 10 )0(? ? C i 0)(? C i mA e 2t C i ? ? t = 0.5s 时第2次换路 5. 02 e)5. 0()5. 0( ? ? CC

33、ii ? )5. 0()5. 0( ? ? CC uu 解10k ? 10k ? uS + - iC 100 ?F uC(0 -)=0 用三要素法求iC 要先求出uC(0.5 +)，画出0.5+ 电路，再求iC(0.5 +) s5. 0V5)(0)0(? ? ? CC uu V e55 2t C u ? ? 0 t 0.5s s5. 0 0)( ? ? ? C i mAe632. 0 )5. 0(2 ? ? t C i 10k ? 10k ? iC 3.16V t=0.5 +s时刻电路 + - mA e 2t C i ? ? mAe632. 0 )5. 0(2 ? ? t C i (t 0.5s) (0 t 0