八级数学下册 第19章 一次函数 19.1 变量与函数 19.1.2 函数的图象课件 （新版）新人教版

1、 初中数学（人教版）初中数学（人教版） 八年级 下册 第十九章一次函数第十九章一次函数 知识点一知识点一 函数的图象函数的图象 内容 叙述 一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐 标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象 知识 详解 (1)函数图象上的任意点(x,y)中的x、y都满足函数关系,另一方面,满足函数关系的任意一对 有序实数对(x,y)所对应的点一定在函数的图象上. (2)有些问题中的函数关系很难用式子表示,但是可以用图象直观地反映,即使对于能列式表 示的函数关系,如果用图象表示出来,也会使函数关系更加直观 特别 提醒 函数图象上的所

2、有点与函数关系中的两个变量的关系是一一对应的,它们是函数中的两个 变量间的关系的两种不同的呈现方式(一个是“数”,一个是“形”) 例例1 (2017浙江绍兴中考)匀速地向一个容器注水,最后把容器注满.在 注水过程中,水面高度h随时间t的变化规律如图19-1-2-1所示(图中 OABC为折线),这个容器的形状可以是() 图19-1-2-1 解析解析从折线图可以看出AB段水面上升的速度小于OA段水面上升的 速度小于BC段水面上升的速度,所以AB段代表的部分的底面积最大, OA段次之,BC段最小,符合这一情况的只有D. 答案答案D 规律总结规律总结图象是直线,在相同的时间内,直线的倾斜程度决定了增加

3、 (减小)的幅度,直线越缓,说明增长(降低)幅度越慢;直线越陡,说明增长 (降低)幅度越快. 知识点二知识点二 函数图象的画法函数图象的画法 内容画函数的图象我们通常采用描点法,画函数图象分为三步:列表,描点,连线 知识 详解 (1)列表:表中给出一些自变量的值及其对应的函数值. (2)描点:在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数 值对应的各点. (3)连线:按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑的曲线连接起来 温馨 提示 (1)列表时,自变量的取值应具有一定的代表性,并且按从小到大的顺序选取,自变量如能为 0,则尽量取0,以便全面地反映图象的情况. (

4、2)描点时要以表中每对对应值为坐标,在平面直角坐标系中准确描点 例例2画出函数y=-2x+1的图象. 解析解析(1)从式子可以看出,x取任意实数时,这个式子都有意义,故x的取 值范围是全体实数,我们从x的取值范围中任取一些数,算出y的对应值, 列表如下: x-3-2-10123 y=-2x+17531-1-3-5 (2)根据表中数值及函数图象的意义,把x与y的每对对应值当作点的 横、纵坐标,即、(-3,7)、(-2,5)、(-1,3)、(0,1)、(1,-1)、(2,-3)、(3,- 5)、,在平面直角坐标系中描出这些点. (3)按照自变量由小到大的顺序把这些点用平滑的曲线连接起来,即得 函数

5、y=-2x+1的图象,如图19-1-2-2. 图19-1-2-2 温馨提示温馨提示列表时,自变量的取值应注意兼顾原则,既要使自变量的取 值有一定的代表性,又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小,要 便于描点和全面反映图象情况. 知识点三知识点三 函数的三种表示方法函数的三种表示方法 表示方法定义优点缺点 解析式法用含自变量x的式子表示函数 的方法叫做解析式法 能准确地反映整个变化过 程中两个变量间的关系 有些实际问题不一定能用解 析式表示出来 列表法把一系列自变量x的值与对应 的函数值y列成一个表来表示 函数关系的方法叫做列表法 由表中已有自变量的每一 个值可以直接得出相应的 函数值 自变量

6、的值不能一一列出,也 不容易看出自变量与函数之 间的对应关系 图象法用图象来表示函数关系的方 法叫做图象法 能直观、形象地表达函数 关系 观察图象只能得到近似的数 量关系 例例3水箱中有水500L,现在往外放水,每分钟放水50L,请用三种不同 的方法表示水箱中剩余水量y(L)与放水时间t(min)之间的函数关系. 解析解析(1)解析式法:解析式为y=500-50t(0t10). (2)列表法:表格如下. t0123478910 y500450400350300150100500 (3)图象法:图象如图19-1-2-3所示. 图19-1-2-3 温馨提示温馨提示纵轴和横轴上的点表示的是具有不同意

7、义的量,因此两轴可 以取不同的单位长度.无论用哪种表示方法,在实际问题中都要注意自 变量的取值要符合实际意义. 例例1小刚以400米/分的速度匀速骑车5分,在原地休息了6分,然后以500 米/分的速度骑回出发地.v为速度,s为距出发地的距离,t为时间,则下列 函数图象能表达这一过程的是() 题型一题型一 确定函数的图象确定函数的图象 解析解析第一段,从出发地到休息地,小刚以400米/分的速度匀速骑车5分, 路程为4005=2000(米),即2千米,C、D选项均符合;第二段,休息时间为 6分钟,速度为0千米/分,A、B选项中第二段函数图象均不符合;第三段, 从休息地返回出发地,速度为500米/分

8、,故用时为=4分,则回到出发 地时为第15分,此时距出发地的距离为0千米,D选项中第三段函数图象 不符合,故选C. 2000 500 答案答案C 题型二题型二 图象读取信息图象读取信息 例例2一菜农带了若干千克土豆进城销售,为了方便,他带了一些零钱备 用,按市场价售出一些后,又降价出售,售出土豆的质量与他手中持有的 钱数(含备用零钱)的关系如图19-1-2-4所示,结合图象回答下列问题: 图19-1-2-4 (1)菜农自带的备用零钱是多少? (2)降价前每千克土豆出售的价格(即市场价格)是多少? (3)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中的钱(含备用零 钱)是26元,请问他一共带

9、了多少千克土豆? 分析分析观察图象,发现卖0千克土豆时手中有5元钱,30千克土豆卖了20- 5=15元钱,故降价前土豆价格为=0.5(元/千克).降价后卖了26-20=6元, 则降价后卖了土豆=15千克,故共带了30+15=45千克土豆. 15 30 6 0.4 解析解析(1)由图象可得,当出售土豆0千克时,手中持有钱数为5元,故菜农 自带的备用零钱为5元. (2)当出售土豆30千克时,钱数为20元,故降价前价格为=0.5(元/千 克). (3)降价后出售的土豆为=15(千克),共带土豆30+15=45(千克). 所以菜农一共带了45千克土豆. 点拨点拨在解决有关函数图象的应用探究及开放型题时

10、,正确识图、合理 判断、深刻理解是解题的关键. 205 30 2620 0.4 例例3某商店零售一种商品,其质量x(千克)与总价y(元)之间的关系如下 表: 根据销售经验可知,在此处购买这种商品的顾客所买商品均未超过8千克. (1)由上表求出总价y(元)关于质量x(千克)的函数解析式,并画出函数的 图象; (2)李大婶购买这种商品5.5千克,应付多少元钱? x/千克12345678 y/元2.44.87.29.61214.416.819.2 题型三题型三 函数三种表示方法的相互转化函数三种表示方法的相互转化 解析解析(1)观察题表可知质量每增加1千克,总价就增加2.4元,这样的变 化规律可以表

11、示为y=2.4x(0 x8). 这个函数的图象如图19-1-2-5所示. 图19-1-2-5 (2)将x=5.5代入解析式,得y=2.45.5=13.2. 所以李大婶购买这种商品5.5千克,应付13.2元钱. 点拨点拨表示函数时,要根据具体情况选择适当的方法,有时为了全面地 认识问题,需要几种方法同时使用,本题涉及列表法、图象法、解析式法. 例例一根蜡烛长12cm,小明对蜡烛长度l(cm)和燃烧时间t(h)做了记录, 列成表格如下: (1)用解析式法表示l(cm)与t(h)之间的函数关系; (2)用图象法表示这一函数关系. t/h0123456 l/cm121086420 易错点易错点 忽略实

12、际问题中自变量的取值范围忽略实际问题中自变量的取值范围,致使画图象时出错致使画图象时出错 图19-1-2-6 正解正解(1)观察表格可知,开始时蜡烛长12cm,以后每隔1h,蜡烛长度减 少2cm,这样的变化规律可以表示为l=12-2t(0t6). (2)画出函数图象如图19-1-2-6所示. 错解错解(1)观察表格可知,开始时蜡烛长12cm,以后每隔1h,蜡烛长度减 少2cm,这样的变化规律可以表示为l=12-2t. (2)图象如图19-1-2-7. 图19-1-2-7 错解警示错解警示在这个实际问题中,忽视了自变量的取值范围为0t6,从 而将图象画成了直线.在涉及实际问题的函数解析式时,一定

13、要注意自 变量的取值范围,画实际问题的函数图象时,图象一定是在自变量取值 范围内的图象. 1.(2018内蒙古通辽中考)小刚从家去学校,先匀速步行到车站,等了几分 钟后坐上了公交车,公交车匀速行驶一段时间后到达学校,小刚从家到 学校的路程s(单位:m)与时间t(单位:min)之间函数关系的大致图象是 () 知识点一知识点一 函数的图象函数的图象 答案答案 B小刚从家到学校的路程s(m)应随他行走的时间t(min)的增大 而增大,因而选项A一定错误;而在等车的时候离家的路程不变,因此C、 D错误;所以能反映小刚从家到学校行走路程s(单位:m)与时间t(单位: min)之间函数关系的大致图象是B,

14、故选B. 2.某日上午,静怡同学接到通知,她的作文通过了我的中国梦征文选 拔,需尽快上交该作文的电子文稿.接到通知后,静怡立即在电脑上打字 录入这篇文稿,录入一段时间后因事暂停,过了一会儿,静怡继续录入并 加快了录入速度,直至录入完成.设从录入文稿开始所经过的时间为x,录 入字数为y,下面能反映y与x的函数关系的大致图象是() 答案答案C接到通知后,静怡立即在电脑上打字录入这篇文稿,所以函数 图象平缓上升;录入一段时间后因事暂停,录入字数不变,函数图象保持 水平;过了一会儿,静怡继续录入并加快了录入速度,函数图象上升,且比 开始时上升得快.综合这些信息可知答案为C. 3.星期天,小明与小刚骑自

15、行车去距家50千米的某地旅游,匀速骑行1.5 小时后,其中一辆自行车出现故障,因此二人在自行车修理点修车,用了 半小时,然后以原速继续前行,骑行1小时后到达目的地.请在如图19-1-2- 1所示的平面直角坐标系中画出符合他们骑行的路程s(千米)与骑行时 间t(小时)之间的函数图象. 图19-1-2-1 知识点二知识点二 函数图象的画法函数图象的画法 解析解析由题意可知,共骑行2.5小时走完全程50千米,所以前1.5小时走了 30千米,修车用了0.5小时后继续骑行1小时,走了20千米,由此作图如图 所示. 4.已知两个变量x和y,它们之间的3组对应值如下表所示: 则y与x对应的函数关系可能是()

16、 A.y=xB.y=2x+1 C.y=x2+x+1D.y= x-101 y-113 3 x 知识点三知识点三 函数的三种表示方法函数的三种表示方法 答案答案 B将3组x、y的对应值分别代入A、B、C、D四个选项中的函 数关系式,都成立的是选项B. 5.商场进了一批花布,出售时要在进价(进货价格)的基础上加一定的利 润,其数量x(米)与售价y(元)如下表: 下列用数量x(米)表示售价y(元)的关系式中,正确的是() A.y=8x+0.3B.y=(8+0.3)x C.y=8+0.3xD.y=8+0.3+x 数量x(米)1234 售价y(元)8+0.316+0.624+0.932+1.2 答案答案

17、B依题意得y=(8+0.3)x.故选B. “六一”儿童节期间,学校用花盆装饰校园,爱动脑筋的王文看着各 种各样美丽的图案(如图),思考了这样一个有趣的问题: 按照这样的规律摆下去,如果每边有10个花盆,那么摆出三角形的图案 需要几个花盆?如果每边有n(n1且n为整数)个花盆,那么摆出三角形的 图案需要几个花盆?王文列出了一个表格,用来找出每边花盆数n与花盆 总数S之间的函数关系式,请你填表. 每边花盆数n23456 花盆总数S 解析解析题表中依次填3,6,9,12,15. 当每边有10个花盆时,摆出三角形的图案需要27个花盆.当每边有n个花 盆时,摆出三角形的图案需要(3n-3)个花盆.故n与

18、S之间的函数关系式为 S=3n-3(n1且n为整数). 1.(2018湖北随州中考)“龟兔赛跑”这则寓言故事讲述的是比赛中兔 子开始时领先,但它因为骄傲在途中睡觉,而乌龟一直坚持爬行,最终赢 得比赛,下列函数图象可以体现这一故事过程的是() 答案答案 B乌龟匀速爬行,兔子因在比赛中间睡觉,导致开始时领先,最 后输掉比赛,所以线段表示乌龟比赛中路程与时间的关系,折线表示兔 子比赛中路程与时间的关系,跑到终点兔子用的时间多于乌龟所用的时 间.A中,乌龟用时多,不合题意;C中,兔子和乌龟用时相同,不合题意;D中, 乌龟虽然用时少,但图象显示比赛一开始,乌龟就领先,不合题意,只有B 选项符合题意. 2

19、.(2018湖南长沙中考)小明家、食堂、图书馆在同一条直线上.小明从 家去食堂吃早餐,接着去图书馆读报,然后回家.如图19-1-2-2反映了这个 过程中,小明离家的距离y与时间x之间的对应关系.根据图象,下列说法 正确的是() 图19-1-2-2 A.小明吃早餐用了25min B.小明读报用了30min C.食堂到图书馆的距离为0.8km D.小明从图书馆回家的速度为0.8km/min 答案答案 B吃早餐用的时间为25-8=17min,故选项A错误;食堂到图书馆 距离应为0.8-0.6=0.2km,故选项C错误;小明从图书馆回家的速度应为 =0.08km/min,故选项D错误.故选B. 0.8

20、 10 3.(2016北京中考)已知y是x的函数,自变量x的取值范围是x0,下表是y与 x的几组对应值. 小腾根据学习函数的经验,利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规 律,对该函数的图象与性质进行了探究. 下面是小腾的探究过程,请补充完整: (1)如图19-1-2-3,在平面直角坐标系xOy中,描出了以表中各组对应值为 坐标的点,根据描出的点,画出该函数的图象; x123579 y1.983.952.631.581.130.88 图19-1-2-3 (2)根据画出的函数图象,写出: x=4对应的函数值y约为; 该函数的一条性质:. 解析解析本题答案不唯一. 画出的函数图象需符合表格中所反映

21、出的y与x之间的变化规律,写出的 函数值和函数性质需符合所画出的函数图象.如: (1) (2)1.98. 当x2时,y随x的增大而减小. 1.某电视台“走基层”栏目的一位记者乘汽车赴360km外的农村采访, 全程的前一部分为高速公路,后一部分为乡村公路.若汽车在高速公路 和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶,汽车行驶的路程y(单位:km)与 时间x(单位:h)之间的关系如图所示,则下列结论正确的是() A.汽车在高速公路上的行驶速度为100km/h B.乡村公路总长为90km C.汽车在乡村公路上的行驶速度为60km/h D.该记者在出发后4.5h到达采访地 答案答案 C在函数图象中,直线的倾斜

22、度越大,说明汽车的速度越快.由 图象可得:高速公路总长为180km,汽车在高速公路上行驶了2小时,则 汽车在高速公路上的速度应为90km/h,故A错.在高速公路上行驶了180 km,全程为360km,所以乡村公路总长也应该为180km,故B错.从图象中 可以明显地看出,汽车在乡村公路上行驶90km用了1.5h,故汽车在乡村 公路上的速度为60km/h,故C正确.3.5h行驶了270km,后边还剩90km, 以60km/h的速度行驶还需要1.5h,故记者在出发后5h到达采访地,所以 D选项也是错误的.故选C. 2.如图所示,用长为20的铁丝焊接成一个长方形,设长方形的一边为x,面 积为y,随着x

23、的变化,y的值也随之变化. (1)写出y与x之间的关系式,并指出在这个变化中,哪个是自变量?哪个是 因变量? (2)用表格表示当x从1变化到9时(每次增加1),y的相应值; x123456789 y (3)当x为何值时,y的值最大? 解析解析 (1)y=(202-x)x=(10-x)x=10 x-x2(0 xy且2x10,解得2.5x5,故选D. 2.(2018四川内江中考,10,)在物理实验课上,老师用弹簧秤将铁块 悬于盛有水的水槽中,然后匀速向上提起,直到铁块完全露出水面一定 的高度,如图19-1-2-7所示,则下列选项能反映弹簧秤的读数y(单位:N)与 铁块被提起的高度x(单位:cm)之

24、间的函数关系的大致图象是() 图19-1-2-7 答案答案 C因为铁块在水中受到浮力的影响,所以铁块上底面离开水面 前读数y不变,铁块上底面离开水面后y逐渐增大,铁块下底面离开水面 后y不变. 3.(2018江苏镇江中考,16,)甲、乙两地相距80km,一辆汽车上午 9:00从甲地出发驶往乙地,匀速行驶了一半的路程后将速度提高了20 km/h,并继续匀速行驶至乙地,汽车行驶的路程y(km)与时间x(h)之间的 函数关系如图19-1-2-8所示,该车到达乙地的时间是当天上午() 图19-1-2-8 A.10:35B.10:40 C.10:45D.10:50 答案答案 B由图象知,汽车行驶前一半路

25、程(40km)所用的时间是1h,所 以速度为401=40(km/h),故行驶后一半路程的速度是40+20=60(km/h), 所以行驶后一半路程所用的时间为4060=(h),因为h=60=40min, 所以该车一共行驶了1小时40分钟到达乙地,故到达乙地的时间是当天 上午10:40. 2 3 2 3 2 3 4.(2018湖北咸宁中考,8,)甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起 点、同终点、同方向匀速步行2400米,先到终点的人原地休息.已知甲 先出发4分钟,在整个步行过程中,甲、乙两人的距离y(米)与甲出发的时 间t(分)之间的关系如图19-1-2-9所示,下列结论: 甲步行的速度为60米/分;

26、乙走完全程用了32分钟; 乙用16分钟追上甲;乙到达终点时,甲离终点还有300米.其中正确的 结论有() 图19-1-2-9 A.1个B.2个C.3个D.4个 答案答案 A由图象知,甲4分钟步行了240米,甲步行的速度为=60 (米/分),结论正确;乙用了16-4=12分钟追上甲,乙步行的速度比甲 快=20(米/分),乙步行的速度为60+20=80米/分,结论不正确; 甲走完全程需要=40分钟,乙走完全程需要=30分钟,结 论不正确;乙到达终点时,甲用了34分钟,甲还有40-34=6分钟到达终 点,离终点还有606=360米,结论不正确.故选A. 240 4 240 12 2400 60 24

27、00 80 二、填空题二、填空题 5.(2018重庆中考B卷,17,)一天早晨,小玲从家出发匀速步行到学 校.小玲出发一段时间后,她的妈妈发现小玲忘带了一件必需的学习用 品,于是立即下楼骑自行车,沿小玲行进的路线,匀速去追小玲.妈妈追上 小玲将学习用品交给小玲后,立即沿原路线匀速返回家里,但由于路上 行人渐多,妈妈返回时骑车的速度只是原来的一半.小玲继续以原速度 步行前往学校.妈妈与小玲之间的距离y(米)与小玲从家出发后步行的 时间x(分)之间的函数关系如图19-1-2-10所示(小玲和妈妈上、下楼以 及妈妈将学习用品交给小玲耽搁的时间忽略不计).当妈妈刚回到家时, 小玲离学校的距离为米. 图

28、19-1-2-10 答案答案200 解析解析 由图可知,小玲用30分钟从家里步行到距家1200米的学校,因此 小玲的速度为40米/分;妈妈在小玲步行10分钟后从家时出发,用5分钟 追上小玲,因此妈妈的速度为40155=120米/分,故妈妈返回家时的速 度为1202=60米/分.设妈妈用x分钟返回到家里,则60 x=4015,解得x=1 0,此时小玲已行走了25分钟,共步行了2540=1000米,所以距离学校还 有1200-1000=200(米). 1.(2018山东滨州中考,12,)如果规定x表示不大于x的最大整数, 例如2.3=2,那么函数y=x-x的图象为() 答案答案 A当-1x0,x=

29、-1,y=x+1; 当0 x1时,x=0,y=x; 当1x2时,x=1,y=x-1; . 故选A. 2.(2018四川广安中考,10,)已知点P为某个封闭图形边界上一定 点,动点M从点P出发,沿其边界顺时针匀速运动一周,设点M的运动时间 为x,线段PM的长度为y,y与x的函数图象大致如图所示,则该封闭图形可 能是() 答案答案 A选项B中的图形是菱形,在每边上运动所需的时间相等;选项 C中的图形是等腰梯形,当P点在其上运动时,y与x的图象不对称;选项D 中的图形是圆,当P点在其上运动时,y与x的图象只有两部分.它们均不符 合题意.故选A. 3.(2017北京中考,9,)小苏和小林在如图所示的跑

30、道上进行45 0m折返跑.在整个过程中,跑步者距起跑线的距离y(单位:m)与跑步时间 t(单位:s)的对应关系如图所示.下列叙述正确的是() 图 图 A.两人从起跑线同时出发,同时到达终点 B.小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度 C.小苏前15s跑过的路程大于小林前15s跑过的路程 D.小林在跑最后100m的过程中,与小苏相遇2次 答案答案 D由题图可知,小林和小苏同时出发,小林先到达终点,因此 小林跑全程的平均速度大于小苏跑全程的平均速度,选项A、B错误;当t =15时,两人在往回跑,所以函数值越小表示跑的路程越多,选项C错误;由 题图可知,小林在跑最后100m的过程中,与小苏相遇

31、2次,选项D正确. 故选D. 1.(2018北京中考)2017年,部分国家及经济体在全球的创新综合排名、 创新产出排名和创新效率排名情况如图19-1-2-11所示,中国创新综合排 名全球第22,创新效率排名全球第. 图19-1-2-11 答案答案3 解析解析从图可知,创新综合排名全球第22,对应创新产出排名全球第1 1;从图可知,创新产出排名全球第11,对应创新效率排名全球第3. 图 图 2.(2018浙江舟山中考)小红帮弟弟荡秋千(如图19-1-2-12a),秋千离地面 的高度h(m)与摆动时间t(s)之间的关系如图19-1-2-12b所示. (1)根据函数的定义,请判断变量h是不是关于t的函数. (2)结合图象回答:当t=0.7s时,h的值是多少?并说明它的实际意义; 秋千摆动第一个来回需多少时间? 图19-1-2-12 解析解析(1)对于每一个摆动时间t,都有唯一一个确定的h值与其对应, 变量h是关于t的函数. (