普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)

1、年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）本试卷卷共页，题，其中第、题为选考题。全卷满分分。考试用时分钟。注意事项：答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用铅笔将答题卡上试卷类型后的方框涂黑。选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用铅笔涂黑，再在答题卡上对应的答题区域内答题。写在

2、试卷卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。考试结束后，请将本试卷卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共小题，每小题分，共分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . i 为虚数单位， i607 的共轭 复数为 i i 1我国古代数学名著数书九章有“M 谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来M石，验得 M 内夹谷，抽样取 M 一把，数得粒内夹谷粒，则这批M 内夹谷约为石石石石已知 (1x)n 的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为 212 211 210 29设 X N ( 1,221 ) ，Y N ( 2 ,2 ) ，这两个正态分布密度曲线如图所示下列

3、结论中正确的是 P(Y2 )P(Y1 ) P( X2 )P( X1)对任意正数 t ， P( Xt )P(Yt)对任意正数 t ， P( Xt )P(Yt)1 / 13设 a1, a2 , anR ， n 3 . 若： a1 , a2 , an 成等比数列；： (a12a22an21 )(a22a32an2 )(a1 a2 a2 a3an 1 an )2 ，则是的充分条件，但不是的必要条件是的必要条件，但不是的充分条件是的充分必要条件既不是的充分条件，也不是的必要条件1,x0,已知符号函数 sgn x 0,x0, f (x) 是 R 上的增函数， g( x)f (x) f (ax) (a 1)

4、 ，则1,x0. sgn g (x)sgn x sgn g (x)sgn x sgn g ( x)sgn f ( x) sgn g ( x)sgn f ( x)在区间 0, 1 上随机取两个数x, y ，记 p1 为事件“ xy1 ”的概率， p2 为事件“ | xy |1 ”22的概率， p3 为事件“ xy1 ”的概率，则2 p1p2p3 p2p3p1 p3p1p2 p3p2p1将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b (a b) 同时增加 m (m0) 个单位长度， 得到离心率为 e2 的双曲线 C2 ，则对任意的 a, b ， e1e2当 ab 时， e1e2

5、；当 ab 时， e1e2对任意的 a, b ， e1e2当 ab 时， e1e2 ；当 ab 时， e1e2 已 知 集 合 A ( x, y) x2y21, x, y Z ， B ( x, y) | x | 2 , | y | 2, x, yZ ， 定 义 集 合AB( x1x2 , y1y2 ) (x1, y1 )A, ( x2 , y2 ) B ，则 AB 中元素的个数为C设xR， x 表示不超过 x 的最大整数 . 若存在实数 t ，使得 t 1， t 2 2， t n n 同时成立 ，则正整数 n 的最大值是C二、填空题：本大题共小题，考生需作答小题，每小题分，共分请将答案填在答题

6、卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分（一）必考题（ 题）2 / 13已知向量 OAAB ， | OA |3，则 OA OB2 xx)2sin x | ln( x 1) |的零点个数为函数 f (x) 4coscos(22如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶在西偏北30 的方向上，行驶600m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为30 ，则此山的高度 CD.如图，圆 C 与 x 轴相切于点 T (1,0) ，与 y 轴正半轴交于两点A, B （在的上方），且 AB 2 （）圆 C 的标准 方程为；（）过点 A 任作一条直线

7、与圆O : x2y21相交于 M , N 两点，下列三个结论： NAMA； NBMA2；NBMA2 2 NBMBNAMBNAMB其中正确结论的序号是.（写出所有正确结论的序号）（二）选考题（请考生在第、两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用铅笔涂黑如果全选，则按第题作答结果计分）（选修：几何证明选讲）如图，是圆的切线，为切点，是圆的割线，且BC3PB ，则AB.AC（选修：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线的极坐标方程为3 / 13xt1,(sin3cos ) 0 ，曲线的参数方程为t( 为参数 ) ，与相交于 ,

8、 两点，则yt1t| AB |.三、解答题：本大题共小题，共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本小题满分分）某同学用“五点法”画函数f ( x) A sin( x) (0, |在某一个周期内的图象| )2时，列表并填入了部分数据，如下表：x3222x536A sin( x)5（）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f (x) 的解析式；（）将 y f ( x) 图象上所有点向左平行移动(0) 个单位长度，得到 yg( x) 的图象 . 若 y g( x) 图象的一个对称中心为5 ，求的最小值 .( , 0)12（本小题满分分）设等差数列 an 的公差为，前项和为

9、 Sn ，等比数列 bn 的公比为已知 b1a1 ， b2 2 ， qd ，S10 100 （）求数列 an ， bn 的通项公式；（）当 d 1时，记 cnan ，求数列 cn 的前项和 Tn bn（本小题满分分）九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑 如图，在阳马 P ABCD 中，侧棱 PD 底面 ABCD ，且 PD CD ，过棱 PC 的中点 E ，作 EF PB 交 PB 于点 F ，连接 DE , DF , BD, BE.（）证明： PB平面 DEF 试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，4 / 13若是，写出其每

10、个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（）若面DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为，求 DC 的值3BC（本小题满分分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A, B 两种奶制品生产吨A 产品需鲜牛奶吨，使用设备小时，获利元；生产吨B 产品需鲜牛奶吨，使用设备小时，获利元要求每天B 产品的产量不超过 A 产品产量的倍，设备每天生产A, B 两种产品时间之和不超过小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大， 因此每天的最大获利Z （单位：元）是一个随机变量（）求 Z 的分布列和均值；（）若每天可获取的鲜牛奶数量相

11、互独立，求天中至少有天的最大获利超过元的概率（本小题满分分）一种作图工具如图所示O 是滑槽 AB 的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动，且DNON1， MN3 当栓子在滑槽内作往复运动时，带动绕 O转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为以O 为原点， AB 所在的直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系（）求曲线的方程；（）设动直线 l 与两定直线 l1 : x2y0 和 l 2 : x2 y0 分别交于 P, Q 两点若直线 l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由（本小题满分分）5 /

12、 13已知数列 a 的各项均为正数，1n，为自然对数的底数bnn (1) an (nN )nn（）求函数f ( x)1x ex 的单调区间，并比较(11)n 与的大小；n（）计算b1，b1 b2，b1b2b3，由此推测计算b1 b2bn的公式，并给出证明；a1a1 a2a1a2 a3a1a2an1（）令 cn(a1a2an ) n ，数列 an ， cn 的前 n 项和分别记为 Sn , Tn , 证明： Tn eSn .6 / 13绝密启用前年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）试卷参考答案一、选择题（本大题共小题，每小题分，共分）二、填空题（本大题共小题，考生需作答小题，每

13、小题分，共分） 100 6（） (x 1)2( y2) 22 ；（） 1 2 52三、解答题（本大题共小题，共分）（分）（）根据表中已知数据，解得A5,2,. 数据补全如下表：6x322x75123126A sin( x)5且函数表达式为 f (x)5sin(2 x)6（）由（）知f (x) 5sin(2 x，得 g (x) 5sin(2 x 2) .66因为 ysin x 的对称中心为 ( k,0) ， kZ . 令 2x2k，解得 xk， k Z .62125 由于函数 yg (x) 的图象关于点成中心对称，令k( , 0)21212解得k ， k Z . 由0 可知，当 k 1时，取得最

14、小值23（分）213 125，1267 / 13（）由题意有，10a145d100,2a19d20,a1d2,即a1d2,a11,a19,an2n1,an1 (2n 79),解得或2 .故或9d 2,bn2n 1.2 n 1dbn99( ) .9（）由 d1，知 an2n1 ， bn2n 12n1，于是，故 cn2n135792 n1Tn 12234n1 ，22221135792n1.Tn22345n222222可得121112n132n3Tn222n 2n2n，222故 Tn62n3n 1 .2（分）（解法）（）因为 PD底面 ABCD ，所以 PDBC ，由底面 ABCD 为长方形，有BC

15、CD ，而 PDCDD ，所以 BC平面 PCD . 而 DE 平面 PCD ，所以 BCDE .又因为 PDCD ，点 E 是 PC 的中点，所以DEPC .而 PCBCC ，所以 DE平面 PBC . 而 PB平面 PBC ，所以 PBDE .又 PBEF ， DEEFE ，所以 PB平面 DEF .由 DE平面 PBC ， PB平面 DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体 BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB， DEF， EFB， DFB .（）如图，在面 PBC 内，延长 BC 与 FE 交于点 G ，则 DG 是平面 DEF 与平面 ABCD的交线

16、 . 由（）知， PB平面 DEF ，所以 PBDG .又因为 PD底面 ABCD ，所以 PDDG . 而 PDPB P ，所以 DG平面 PBD .故 BDF 是面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的平面角，设 PDDC1， BC，有 BD12 ，8 / 13在中 ,由 DFPB , 得DPFFDB,3BD12,解得2 .则 tantanDPF33PD所以 DC12 .BC2故当面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为时， DC2 .3BC2（解法）（）如图，以D 为原点，射线DA, DC , DP 分别为 x, y, z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系. 设PDDC1， BC，则

17、 D (0,0,0),(0,01),P (,1,0),B(0,1,0)C， PB ( ,1, 1) ，点 E 是 PC的中点，所以E(0,1,1) ， DE(0,1,1) ，2222于是 PB DE0 ，即 PBDE .又已知 EFPB ，而 DEEFE ，所以 PB平面 DEF .因 PC(0,1,1) ,DEPC0 ,则 DEPC , 所以 DE平面 PBC .由 DE平面 PBC ， PB平面 DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体 BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB， DEF， EFB， DFB .（）由 PD平面 ABCD ，所以 DP(0, 0

18、, 1) 是平面 ABCD 的一个法向量；由（）知，PB平面 DEF ，所以 BP(, 1, 1) 是平面 DEF 的一个法向量 .若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为，39 / 13则 cos BP DP121 ，3| BP | | DP |22解得2 . 所以 DC 12.BC2故当面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为时， DC2 .3BC2（分）（）设每天A, B 两种产品的生产数量分别为2x1.5y W ,x1.5 y12,2xy0,x0, y0.x, y ，相应的获利为z ，则有（）目标函数为z1 0 0 0x1 2 0y 0当 W12 时，（）表示的平面区域如

19、图，三个顶点分别为A(0, 0), B(2.4, 4.8), C(6, 0) 将 z1000 x1200 y 变形为 y5xz，61200当 x2.4, y4.8 时，直线 l ： y5xz在 y 轴上的截距最大，61200最大获利 Zzmax 2.4 10004.812008160 当 W15 时，（）表示的平面区域如图，三个顶点分别为A(0, 0), B(3, 6), C(7.5, 0) 将 z1000 x1200 y 变形为 y5xz，61200当 x3, y6 时，直线 l ： y5 xz在 y 轴上的截距最大，61200最大获利 Zzmax 3 1000 6120010200 当 W

20、18 时，（）表示的平面区域如图，四个顶点分别为 A(0, 0), B(3, 6), C(6, 4),D (9, 0) .将 z1000 x1200 y 变形为 y5xz，6120010 / 13当 x 6, y4 时，直线 l ： y5xz 在 y 轴上的截距最大，61200最大获利 Zzmax6 1000 4120010800故最大获利 Z 的分布列为ZP因此， E (Z ) 8160 0.3102000.5108000.29708.（）由（）知，一天最大获利超过元的概率p1P( Z10000) 0.5 0.2 0.7 ，由二项分布，天中至少有天最大获利超过元的概率为p 1 (1 p1 )

21、31 0.330.973.（分）（）设点 D (t , 0) (| t |2) ， N( x0 , y0 ), M (x, y) ，依题意，MD 2DN ，且| DN | | ON |1，所以 (tx,y)2( x0t,y0 ) ，且(x0 t )2y021,221.x0y0tx2x02t,2 x0 )0.即2 y0 .且 t (ty由于当点D 不动时，点 N 也不动，所以 t不恒等于，于是 t2x0 ，故 x0x , y0y ，代入 x02y021 ，可得 x2y21 ，4216422即所求的曲线C 的方程为 xy1.164（）（）当直线 l 的斜率不存在时，直线l 为 x4或 x4 ，都有

22、 S OPQ14 4 8 .2（）当直线 l的斜率存在时，设直线l : ykxm(k1 ) ，2ykxm,4k 2 ) x28kmx 4 m2160 .由24 y2消去 y ，可得 (1x16,因为直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点，11 / 13所以64k2 m24(14k 2 )(4 m216)0 ，即 m216k 24 .又由ykxm,可得2mm) ；同理可得 Q(2m,m) .x2 y0,P(,2k2k2k12k 111由原点 O 到直线 PQ 的距离为 d| m |和 | PQ |1k 2 | xPxQ |，可得1k2S OPQ1 | PQ | d1 | m | xPxQ |

23、1 | m |2m12m2m22 .22212k2k14k2m221将代入得，S OPQ84k.124k214k当 k21时， S OPQ4k218(12)8 ；48()14k214k 21 时， S OPQ221)当 0k28( 4k8(1122 ) .414k4 k因 0k21 ，则 014k 21 ，222 ，所以 S OPQ8(1122 )8 ，414k4k当且仅当 k0 时取等号 .所以当 k0时， S OPQ 的最小值为 .综合（）（）可知，当直线l 与椭圆 C 在四个顶点处相切时，的面积取得最小值.（分）（） f ( x) 的定义域为 (,) ， f( x)1 ex .当 f(x)0 ，即 x0 时， f (x) 单调递增；当