昌平区2018年高三年级第二次统一练习

1、昌平区年高三年级第二次统一练习数学试卷 (理科 )本试卷共页，共分考试时长分钟考生务必将答案作答在答题卡上，在试卷上作答无效第一部分 （选择题共分）一、选择题共小题，每小题分，共分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项已知全集 U = ，集合 ，则 eU A (,1) U (1,) (, 1 U 1,) (1,1) 1,1若复数 zcosisin，当= 4 时，则复数 z 在复平面内对应的点位于3第一象限第二象限第三象限第四象限已知等比数列 an 中， a1 = 27, a4= a3a5 ，则 a7 111 3279310.2设 a， blog 2 3 ， c20.3 ，则2 b c

2、 a a b c b a c a c bxy0若满足条件xy10 的整点 ( x, y) 恰有个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，ya则整数 a 的值为321 0设 x, yR ，则2+y2是的“ x2” “|x| 1且|y| 1”充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的所有面中最大面的面积是 4 5 2主视图左视图1 / 11 2俯视图年月执行的中华人民共和国个人所得税法规定：公民全月工资、薪金所得不超过元的部分不必纳税，超过元的部分为全月应纳税所得额此项税款按下表分段累进计算：全月应纳税所得额（含税级距）税率 ()不超过元超过元至元

3、的部分超过元至元的部分某调研机构数据显示，纳税人希望将个税免征额从元上调至元若个税免征额上调至元（其它不变），某人当月少交纳此项税款元，则他的当月工资、薪金所得介于元元元元第二部分（非选择题共分）二、 填空题共小题，每小题分，共分在二项式 (x 1)6的展开式中，第四项的系数是（用数字作答）在 ABC 中， S ABC33 ， AC1，则 BC4， AB已知双曲线C ： x2y21(a0) 的渐近线方程为y1 x ，则双曲线C 的离心率a22是执行如图所示的程序框图，若输入值满足 2x4 ，开始则输出值的取值范围是输入 x是x2否向量，在边长为的正方形网格中的位置如图所示，则向量，所成角的余弦

4、值是;向量，所张成的平行四边形的 y x23ylog 2 x面积是 .输出结束2 / 11x22ax , x1?已知函数fxaln x ?x1.x 当 x 1时，若函数 fx 有且只有一个极值点，则实数a 的取值范围是； 若函数fx 的最大值为，则a三、解答题共小题，共分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（本小题分）已知函数 f ( x) 2sin( x)cos( x)3sin 2x 44（）求函数f ( x) 的最小正周期；（）求函数f ( x) 在区间 0, 上的最值及相应的值2.（本小题分）为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从， 两地区一年的数据中随机抽取了相同

5、天的观测数据，得到，两地区的空气质量指数（AQI ）如下图所示：B地区 (AQI)250根 据 空 气 质(201,248)量指数，(150,222)将空气质量状况(88,216)分 为 200以下三个等级：150(97,144)(153,145)(120,115)(158,120)100(40,77)(51,77)(90,78)(53,65)(45,54)(30,48)(54,49)50(29,30)(60,42)(27,27)(40,38)(21,22)(25,25)A 地区 (AQI)O501001502002503 / 11空气质量指数 AQI(0,100)100,200)200,30

6、0)空气质量状况优良轻中度污染重度污染（）试估计地区当年（天）的空气质量状况“优良”的天数；（）假设两地区空气质量状况相互独立，记事件C：“地区空气质量等级优于地区空气质量等级” . 根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C 的概率 .（）若从空气质量角度选择生活地区居住，你建议选择，两地区哪个地区. （只需写出结论）（本小题分）如图，在边长为的菱形ABCD 中， BAD 60，DEAB 于点 E ，将ADE 沿 DE折起到 A1 DE 的位置，使A1DBE ，如图（）求证： A1E平面BCDE ；（）求二面角 E A1DB 的余弦值；（）在线段 BD 上是否存在点P ，

7、使平面 A1 EP平面 A1BD ？若存在， 求出 BP 的值；BD若不存在，说明理由图图（本小题分）已知椭圆 E : x2y21 ab 0 经过点 (0,1) ，且离心率为2 a2b22（）求椭圆的标准方程；（）过右焦点的直线l （与轴不重合）与椭圆交于A, B 两点，线段的垂直平分线交轴于点 M (0, m) ，求实数的取值范围（本小题分）已知函数 f ( x)2xaxax xe , a 1（）若曲线 f (x) 在点 (0, f (0) 处的切线方程为 yx ，求的值；() 证明：当 x0 时，函数 f ( x) 存在唯一的极小值点为x0 ，且10 x024 / 11( 本小题分 )已知

8、正项数列 an 中，若存在正实数 p ，使得对数列 an 中的任意一项 ak ，p也是ak数列 an 中的一项，称数列 an 为“倒置数列” ， p 是它的“倒置系数” （）若数列： 1,4,9, x ( x 9) 是 “倒置系数 ”为 p 的 “倒置数列 ”，求 x 和 p 的值；（）若等比数列 a 的项数是 m ，数列 a 所有项之积是T，求证：数列 a 是 “倒nnn置数列 ”，并用 m 和 T 表示它的 “倒置系数 ”p ；（）是否存在各项均为整数的递增数列 an ，使得它既是等差数列，又是“倒置数列 ”,如果存在，请写出一个满足条件的数列，如果不存在，请说明理由昌平区年高三年级第二次

9、统一练习数学试卷 (理科 )参考答案一、选择题 (共小题，每小题分，共分)题号答案二、填空题 (共小题，每小题分，共分)或752 3,2 4 ; a 1 ； 15三、解答题 (共小题，共分 )（共分）解：（） f ( x)sin( 2x)3sin 2x2cos2x3sin 2 x2sin(2 x+)6所以 f ( x) 的最小正周期是.分（）因为0x,所以 02x,2所以2 x+ 7,6665 / 11当 x时， f ( x)max2 .6当 x时， f ( x)m in-1 .分2（共分）解：（）从地区选出的天中随机选出一天，这一天空气质量状况为“优良”的频率为150.75 ，地区当年（天）

10、0.75 ，估计地区当年（天）的空气质量状况“优良”的频率为20的空气质量状况“优良”的天数约为365 0.75274 天 . 分（）记 A1 表示事件：“地区空气质量等级为优良”；A2 表示事件：“地区空气质量等级为轻中度污染”；B1 表示事件：“地区空气质量等级为轻中度污染”；B2 表示事件：“地区空气质量等级为重度污染”，则 A1 与 B1 独立， A2 与 B2 独立， B1 与 B2 互斥， CA1B1A1B2A2 B2 .所以 P(C )P( A1 B1A1B2A2 B2 )P(A1B1 )P( A1 B2 )P( A2 B2 )P( A1 ) P( B1 )P(A1 ) P(B2

11、 ) P( A2 )P( B2 ) .由所给数据得A1 ， A2 ， B1 ， B2 发生的频率分别为3 ， 1 ， 1 ， 3 .45520故 P( A1 )3 ， P( A2 )1 ， P(B1 )1 ， P(B2 )3，45520所以 P(C)313)130.2925.分(5520420（）从空气质量角度，建议选择地区居住.分（共分）证明：（）因为 DEAB，所以 BEDE 又因为 BEA1D ， DEA1DD ,所以 BE平面 A1 DE 因为 A1E平面 A1DE ，所以 A1EBE 又因为 A1EDE , BEDEE ,所以 A1E平面 BCDE 分6 / 11（）因为 A1E平面

12、 BCDE ， BEDE ，所以以为原点，分别以，为，轴，建立空间直角坐标系，则B(1,0,0) ，D(0,3,0) ， A1 (0,0,1) 所以 BA1( 1,0,1) , BD(1, 3,0)设平面 A1BD 的法向量 n( x, y, z) ，由 n BA1xz0，得xzn BDx3y0x3 y令 y1 ，得 n(3,1,3) 因为 BEuur平面 A1 DE ，所以平面 A1DE 的法向量 EB(1,0,0) ，所以 cos n, EBn EB321 nEB77因为所求二面角为锐角，所以二面角 EA1DB 的余弦值为21 分7（）假设在线段BD 上存在一点 P ，使得平面 A1 EP

13、平面 A1BD 设 P(x, y, z) ， BPBD (01) ，则 ( x 1, y, z)( 1, 3,0) 所以 P(1, 3,0) 所以 EA1(0,0,1) ， EP(1,3,0) 设平面 A1EP 的法向量 m( x, y, z) ，由 m EA1z0，得z 0m EP (1)x3 y 0(1 ) x3 y，令 x3，得 m(3,1,0) 因为平面 A1EP平面 A1BD ，7 / 11所以 m n 310 ，解得10,1 ，4BP1所以在线段 BD 上存在点 P ，使得平面A1EP平面 A1BD ，且BD4分（共分）b1（）由题意，得ec2，解得a2 a2b1a2b 2c2所以

14、椭圆的标准方程是x221分2y（）（）当直线x 轴时，符合题意（）当直线与轴不垂直时，设直线AB 的方程为 yk x 1 ，yk( x1)，得 1 2k 2 x24k 2 x 2 k 21 0 ，由2 y22x20由( 4k 2 )28(12k2 )(k 21)0，得 k设x1 , y1，x2 , y2 ，则 x1x24k2， x1 x212k 2所以 y1 y2k (x1x22)12k，2k 2所以线段中点的坐标为2k 22 ,k12k12k2由题意可知， k0 ，故直线 M C 的方程为 yk1 2k2令，k，即 mky12k 22k 21当 时，得0mk= 112 ，当且仅当 k12k

15、22k4k2(k21)12k 212k 2，x1 2k 2k2 时“”成立2同理，当 时， 0 mk122k 2=4112kk当且仅当 k2 时“”成立，28 / 11综上所述，实数的取值范围为2 ,2分44（共分）解：（）因为 f (x)ax2axxex ，得 f ( x)2axaexxex ，所以 f(0)a1因为曲线在点 (0, f (0) 处的切线方程为yx ，所以f (0)a11分，即 a 2 () 设 h( x)2axaexxex ，则 h ( x)2a2exxex2a (x 2)e x 因为 x0，所以 x22 ， ex1.又因为 a1,所以h ( x)0 ，故 h(x)a(2

16、x1)ex (1x) 在 (,0) 上为增函数又 因h( 0) a 1，110 h()e22x010 ( ,0) ，有 h( x0 )2120 ， 由 零 点 存 在 性 定 理 ， 存 在 唯 一 的当 x( , x0 ) 时， h( x)f(x)0 ，即 f (x) 在 (, x0 ) 上为减函数，当 x( x0 ,0)时， h( x)f ( x)0 ，即 f ( x) 在 (, x0 ) 上为增函数，所以 x0 为函数 f (x) 的极小值点分( 共分 )解：（）因为数列： 1,4,9, x( x9) 是“倒置系数”为p 的“倒置数列” .所以 p , p , p , p 也是该数列的项，且pppp .x 9 4x94故 p1, p4，x9即 xp 36.分（）因为数列 an 是项数为 m项的有穷正项等比数列，取pa1 am 0 ，9 / 11对数列 an中的任意一项 ai (1im) ，pa1amai am 1 ia也是数列 an中的一项，aiaiaim 1 i由“倒置数列”的定义可知，数列 an 是“倒置数列” ；又因为数列 an 所有项之积是 T ，所以 T 2(a1a2 a3 am )( amam 1am 2 a1 ) (a1 am )mpm2即 p T m .分（）假设存在这样的等差数列 a为“倒置数列” ，设它的公差为 d (d0