2014航班16年竞赛 角动量(教师版)汇总

1、 角动量习题课 2014航班高一物理竞赛 、 1转动时的匀质细杆，绕着过杆的端点且与杆垂直的轴以角速度质量为m，长l ，它的动能和相对端点的角动量大小分别为1122?ml?IE?I?I，L 其中 k32 5-1 今如图所示，将此杆从水平位置静止释放，设此杆能绕着-6的固定光滑水平细轴无摩擦地摆下，当摆角从零A过）i达时，试求：（固定的光滑细轴为杆和角加速度;(2)细杆转动角速度 提供的支持力N。 解（1)因无摩擦，机械能守，有l12?sin?Img 22?ni3gs12?mlI? 代入后，可得将 3l 点角动量均沿轴，细杆各部位相对A以A为坐标原点建立垂直于图平面朝内的z? 轴方向，大小则为L

2、z轴方向，叠加后所得细杆的总角动量也必沿zIL? 点力点力矩为零，细杆重力相对A固定的光滑细轴为细杆提供的支持力N相对A 矩为l?cosmgM? M的大小： 2 z轴方向：沿 由刚体定轴转动时的角动量变化量与冲量矩相同，得到Lt?M?L?I)?(?I 因为 t?tg3?cos? 所以 l2NN，分解为和所示，将(2)如图5-1-7N ?n支持力与重力合成为细杆质心提供加速度，可建立下 述方程?masinN?mg? Cnn?ma?N?mgcos ?Caa心和切向M分别为质心作圆周运动的向和其中?CnC 所以.加速度 l?a 2 Cn2l?a ?C251?cosmgsin?NN?mg 可得， ?n

3、242、 的匀质圆盘，绕着过圆心且与圆盘R质量为M,半径为?，垂直的轴以角速度旋转时的角动量大小为IL?12MRI? 2细绳与圆盘间无.有如图5-1-8所示系统，细绳质量可略相对滑动，定滑轮与中央轴之间光滑接触，有关参量，a.m试求已在图中标出，m 21. 解以转轴上某点为参考点，定滑轮转动角动量方向沿转 轴朝外，大小为? IL?，设左、右绳中张力分别为T1 .它们相对转轴力矩之和，方向沿轴朝外，大小为T2 R)T?TM?(21 又因为?L?I()?M?I t?t， 有方程m对m21 amTmg?111 ammg?T-222 有方程, m2 R: 的关系为 a=与a)?m2(m21ga? 可解

4、得 M)?2(mm21 、3的物体拴在穿过小孔的轻绳的一m质量为 端，在光滑的水平台面以角速度作半径为r的圆周运动，自t=0时刻开始，手00拉着绳的另一端以匀速v向下运动，使半径逐渐减小.试求：（1）角速度与时间?(t); (2)绳中的张力与时间关系关系. 解：（1）物体m在水平方向仅受绳子拉力作用，它相对小孔的角动量守恒。当质点与小孔的距离为r时，设其角速度为，则有 22? 或 rmvr?mvrrmm?00002r?0 所以 ? 02r按题意，代入上式得 vt?r?r02r?0 ? 02)vt(r?0 (2)根据牛顿运动定律v?2?r)?F?m(r t? 是常量，所以由于 vv?r42?rv

5、?2?00r ， mmr?F?0? 3)r?vt(t?0 、4 两个质量为m的小球，用长为l的绳子连结起来，放在一光滑的水平桌面上.给其， v中一个小球以垂直于绳子方向的速度0如图5-4-2所示.求此系统的运动规律和绳中的张力大小. 解 对整个系统来说，在水平方向不受外力作用，故系统在水平方向动量守恒。按质心运动规律，有 mv?2mv c0 v为质心的速度，由此得式中c1vv? 0c21- 的速度作匀速直线运动方向与v相同，所以系统的质心以v0 02 由于整个系统对质心没有外力矩作用，故系统对质心的角动量守恒，即lll22?)(mv?m?()m 0222v?0，为两小球对质心的角速度，于是式中

6、? l 即两小球绕质心作匀速圆周运动，同时 绳中的张力2mvl2?0?T?m)( l22、5的两小球系于轻弹簧的两端，并置于光滑水平桌面上5-4-4所示，质量为m如图，a，其倔强系数为k，当弹簧处于自然状态时，长为今两球同时受冲力作用，各获得与连线垂直的等值反向的 b 初速度，若在以后运动过程中弹簧的最大长度 v。=2a,求两球的初速度0 为定点来考察，以初始时刻两球连线中点0解 体系的角动量守恒。 弹簧达到最大伸长时，小球无径向速度。bbaamv?mv?mv?mv 002222 体系机械能也守恒1111122222)a?k(bmvmv?mv?mv 0022222 v由，式消去，即得 )?ak

7、(b b?v0)a(b?2mk2?va 代入，得以b=2a0m3位于桌面上的光滑小槽中，两滑块B位于光滑的水平桌面上，小滑块、小滑块A6的开所示.、不可伸长的、无弹性的轻绳相连，如图质量都是m,并用长为l5-4-3(a)l、，间的距离为、始时ABA 2 B间的连线与小槽垂直，如图5-4-3(a)所示.今给滑块A一冲击，使其获得平行于槽的速度v，求滑块B开始运动时的速度。 0 解相A.在绳拉紧时，滑块v，滑块B的速度为v设绳拉紧的瞬时，滑块A的速度为BA, ，与绳垂直为中心的圆周运动，其相对运动速度设为v对于滑块B的运动是以B ，则有的速度取坐标系如图5-4-3(b)如图5-4-3(b)所示，因

8、而，此时滑块A?vvv? BA? sinvv?v?xAx? v?v?vcos?vvBByAy 由图中的几何关系知0?60? 方向系统不受外力，动量守恒滑块在运动过程中，在ymv?mvmv B0y B原所在的位置的角动量守恒：滑块A对滑块l?cos?mvmv?mvlsinl AyAx023vv? 联立以上五式解得 0B7 、7 高处以的圆锥面内壁离锥顶h在半顶角为 一的小定初速度沿内壁水平射出一质量为m为使小球在1)球，设锥面内壁是光滑的.（高度的水平面上做匀速圆周运动，则初h，求小球在v=2为多少？（速v2)若初速v010 运动过程中的最大高度和最小高度。 作用N和锥壁支撑力mg物体在重力1)

9、解（ .因有下做圆周运动 2vgmm? ?Rtan 代人上式，得.以R = htanR是圆周半径 gh?v0时，小球不可能维持在原来水平面上做圆周运动，因为这样不(2)当初速大于v0小球必上升；但又不可能停留在某一个高一些的水平面上做匀速圆周满足式.为求这两运动，这样小球必在一定的上、下高度间往返地做类似螺旋状的运动. 极限高度，我们来寻找小球运动的守恒量，首先，机械能守恒，因为小球在重力场中运动，支不做功；其次，小球在做转动，如果还有守恒量，另一个守恒量必然是撑力N .不角动量或其分量方向分量，即轴的平面内，故外力矩无zmg都在过z难发现，由于外力N和?表示极限高度，注意到在极限高度上，小球

10、速度必h+x用因而为常量.,L0?zz 是可列出以下两个守恒方程：.于 沿水平方向 1122mgh?)?mvmg(h?mvx? 能量守恒： 122 ? 角动量分量守恒: tanx)tanmv?mv(h?1 的三次方程由，式可得x2223 0?(vghx2gx?(4gh?v)?2h11这是合理的，因为射出速度沿水平方向，该高度必为一个解.由式可见，x=0 的二次方程：x后，得x必为一极值.消去222 0?gh)?(?(4ghv)x?2hv2gx?11 解之得2222)16gh(vgh)?ghv?4?(v4gh?111 g48、 的两所示，在光滑水平面上，质量均为M如图5-2-6v的小球以另一质量

11、为m的轻杆相连小球由一长为l.0发M的速率向着与杆成角的方向运动，并与某一试求碰撞.以生碰撞，碰后mv的速率沿原路线反弹0 . 后轻杆系统绕其质心转动的角速度 系统水平方向动量守恒：解 mvMv?mv?2f0c 机械能守恒： 11111?2222? )）?(cos?2?M（v?lsinlmv?mv? c01f22222? 系统绕轻杆系统质心的角动量守恒lll2?sinmvf?2mvsin?M?() 02221vv? 其中 0f2?sin3mv?0? 解之得 Ml2 、90的速率与连在杆v。.当运动小球以若上题中三球的质量相同，均为m，且=450所示。5-2-6上的某一球发生弹性碰撞后，即沿垂直

12、于原速度的方向运动，如图 ）试求：（1. ；(2)碰撞后，轻杆系统绕其质心转动的角速度碰撞后，运动小球的速度v f 系统水平方向动量守恒 解 （1） mv?2mv/0cmvmv?2 ） （2 cf? 机械能守恒：l111122222?)m(?2m(v?v)2?mvmv? ） （3 /ccf?022222 系统绕轻杆系统质心的角动量守恒lll200?2?m?(mvsin45?mvcos45) ） （4 f0222vv2?2223?1?000.32?v,550?v.v 2）（14）（）（3）由（ 0f0ll77 所示，在水平的光滑桌面上开有一小、如图5-2-710 .m的物体孔，一条绳穿过小孔，其两端各系一质量为开始时，用手握住下面的物体，桌上的物体则以3gr2?v。（即桌上部分的绳长r的速率作半径为002求以后的运动中桌