2016线代B期末复习题1汇总

1、线性代数B复习资料（2016） （一）单项选择题 B ) (C) BA/=AB (D)= b* 1 若A , B为n阶可逆方阵，且 AB=BA，则下列等式不成立的是（ （A）BA = AB（B）AB=BA 16 2 .若由AB=AC必能推出B=C (A , B, C均为n阶矩阵）贝U A 必须满足（C ） (A)A 丰 O (B)A=O (C)|A H 0 (D) aB HO 3 .设A , B均为n阶矩阵，且满足等式 AB =O,则必有（ A (A ) A=0,或 B=0 (B) A= O ,或 B=O (C) A+B=O A + B =0 4 设A为n X n阶矩阵，如果r(A)n ,则

2、(A) A (B) A (C) A (D) A （C ） 向量的线性组合 的任意一个行（列）向量都是其余行（列） 的各行向量中至少有一个为零向量 的行（列）向量组中必有一个行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合 的行（列）向量组中必有两个行（列）向量对应元素成比例 5.已知向量组a1/x234线性无关则向量组（C (A) + 3,3中4,（/4 +口1线性无关 (B) -叫，口2 *3,3 04,4 Ct 4 线性无关 (C) + 33 + 4,（X4%线性无关 (D) + 33 4, 6 设n元齐次线性方程组 件是（ B ） （A） r= n 7. n元线性方程组 （A）无穷多组解 AX

3、=0的系数矩阵A的秩为 r，则AX=0有非零解的充分必要条 8.设A为3阶矩阵, (A) RP2, (B) r n b) n (D ) (D)不确定 得到矩 阵B,再交换B的第二行与第三 行 彳0 0* I 00 1 1 0 ,P2 = 0 0 1 0 0 b I 1 1 0 将A的第2列加到第一列, 得单位矩阵，记R RP 则A=； ( B ) (B) (C) P2P (D) PF2 9.下列命题正确的是（D ） 若向量组线性相关，则其任意一部分向量也线性相关 线性相关的向量组中必有零向量 向量组中部分向量线性无关，则整个向量组必线性无关 向量组中部分向量线性相关，则整个向量组必线性相关 (

4、A) (B) (C) (D) 10. 设向量组ai,a2,，Gs的秩为r,贝y （ D ） (A) (B) (C) (D) 必定rn的秩为r(A)=mn, g为m阶单位矩阵，下述结论正确的是(C ) (A) A的任意m个列向量必线性无关 (B) A的任意个m阶子式不等于零 (C)A通过初等变换,必可化为(I m ,0)的形式 (D)若矩阵B满足BA =0,则B =0 . 19.已知123是齐次线性方程组 AX=0的基础解系，那么基础解系还可以是( (A) g +k2a2 +k3a3 (B) %+ 22 +口3,(/3 +ai (C) (0)%严1 -冬乜3,叫2, 20.已知Pi沖2是非齐次线

5、性方程组 AX =b的两个不同的解，口1,口2是导出组AX =0的基 本解系，ki,k2为任意常数，则 AX =b的通解是( P -P (A)kPi 02(1 5) + 2 2 (C) kiW +k2(Pi 2 (B) (D) +/神2 栋2(些-生)+_2 2 炉1 +k2(Pi 2 炉1 21 .向量组01,02厂，0线性无关，且可由向量组 3, 02,，0s线性表示，则 r(a1,a2,，)必(D )r( %,弟,，Ps) (A)大于等于(B)大于(C)小于 22.设n元齐次线性方程组 AX=0的通解为k (1, 2,，n) (A) r(A)=1 (B) r(A)=n-1 23.设矩阵

6、n A= 1 I2 A.2 B. 1 (C) r(A)=n s,则(D ) (A)( n )线性无关 (B) ( n )线性相关(C) ( I熾性无关 (D) ( I )线性相关 25. 设1,口2, 叫是n个m维向量，且nm,则此向量组 gy 宀必定( A ) 线性相关 矩阵A适合条件( (A) 26. (A)A中任何r+1列线性相关 (C) A中有r列线性无关 (B)线性无关 (C)含有零向量 (D)有两个向量相等 D )时，它的秩为r (B) A中任何r列线性相关 (D) A中线性无关的列向量最多有r个 则A的秩(C ) 27. 若mx n阶矩阵A中的n个列线性无关 (A)大于m 28.

7、 若矩阵A R (A) ( A (A) A r (B)大于n 中有一个r阶子式 ) (B) r (C) 等于n(D)等于m D工0,且A中有一个含D的r+1阶子式等于零，则一定有 29要断言矩阵A的秩为r，只须条件 (A) A (B) A (C) A (D) A (C)=r (D )满足即可 (D) =r+1 中有r阶子式不等于零 中任何r+1阶子式等于零 中不等于零的子式的阶数小于等于 中不等于零的子式的最高阶数等于 30. R(A)=n是n元线性方程组 AX=b (A)充分必要条件 1 31.矩阵A= 11 (A) 2,2; 1 32. A= 1-1 (A) 2,2; (B)充分条件 -P

8、 的特征值为 (B) 0,6; -r 1J r 有唯一解(C (C)必要条件 (D)无关的条件 0,2,则3A的特征值为 (C) 0,0； ,贝y 2I -2A + A2的特征值为( (B) -,-2； (C) 0,0； (D) 2,6; (D) 4-4； 2 33. A满足关系式 A -2A + E=O，则A的特征值是( C ) (A)兀=2 (B) 若 a =1,(ai,a2,a31 P)】 ,得 P =(2k +1! +(k+ 2)(/2 +ka3,k 为任意常数; 若 a Hlgissl P) (1 0 0 卫 0 1 0 0 0 : 0 ； 1 : 0 ； -1 2 0 0 (三)证

9、明题: 1.设A为mxn矩阵，B为ns矩阵，且 AB = 0, 证明 r(A)+r(B)兰 n. 证 设 B=(P1, P2,川，Ps)，则 AB =(AP1,AP2,川，aPs)，由 AB=0 得 APi =0, i =1,2，川，s，所以矩阵B的列向量都是方程组 Ax=0的解. 设r(A)=r，如r =0，则结论显然成立.如r = n，则方程组 Ax =0仅有零解，故 B =0，从而有 r(A)+r(B)= n. 如0 V r C n，则方程组 Ax = 0的基础解系中有n-r个线性无关解向量.由于B的列都 能由基础解系线性表示，由定理 3.12知，r(B) n-r，所以r(A)+r(B)1。因为A不可逆，则|A|=0，从而aa*=|A|E = 0。由上 题结果知，r(A) +r(A*) n。所以 r(A*) n - r(A) n1，所以 | A*|=0。 3 对于矩阵 A, B，证明：r(A, B)r(A) +r(B). 证 将矩阵A, B按列分块，A =(%,%,，叫)，B =(盯2,，片)，则 (A, B) =(%叫,川，叫，斥 P2,IH, PJ，设 r(A) =r1,r(B) = r2,r(A,B) =r，不妨设向量 组61少2,，叫的一个极大无关组