数值计算方法复习题1

1、习题一1. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，试指出它们有几位有效数字以及它们的绝对误差限、 相对误差限。（ 1）； （2）；（ 3）；（ 4）；（ 5）；（6）；（ 7）；（1）5，；（ 2） 2，；（ 3）4，；（4）5，；（5）1， ；（6）2，（7）6，2. 为使下列各数的近似值的相对误差限不超过，问各近似值分别应取几位有效数字？；3. 设均为第 1 题所给数据，估计下列各近似数的误差限。（ 1）；（2）；（ 3）（1）；（2）；（ 3）4. 计算，取，利用下列等价表达式计算，(3) 的结果最好 .（1）； (2 ）；(3 ）(4 ）15.序列满足递推关系式若（三位有效数字），计算

2、时误差有多大？这个计算过程稳定吗？ 不稳定。从计算到时，误差约为6. 求方程的两个根，使其至少具有四位有效数字 （要求利用。，7. 利用等式变换使下列表达式的计算结果比较精确。1）；2）3）；4）;8.设，求证：1）2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差增大；反向递推时误差函数减小。9. 设 x0,x* 的相对误差为 ，求 f(x)=ln x的误差限。解：求 lnx 的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，有2已 知x* 的 相 对 误 差满 足，而，3故即10. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。4解：直接根据定义得有5 位有效数

3、字，其误差 限，相对误差限5有2位有效数字，6有5位有效数字，11. 下列公式如何才比较准确？（1）（2）7解：要使计算较准确， 主要是避免两相近数相减， 故应变换所给公式。（1）（2）12. 近似数 x*=0.0310, 是位有（ 3 位）有效数字。813.计算取，利用（） 式计算误差最小。9四个选项：习题二1.已 知， 求的 二 次 值 多 项 式 。2.令求的一次插值多项式，并估计插值误差。解：；，介于 x 和 0，1 决定的区间内；，当时。3.给出函数的数表，分别用线性插值与二次插值求的近似值，并估计截断误差。 0.54667 ，0.000470 ；0.54714 ，0.0000290

4、.40.50.60.70.80.389420.479430.564640.644220.717364. 设，试利用拉格朗日余项定理写出以为节点的三次插值多项式。5.已知，求及的值。1，06.根据如下函数值表求四次牛顿插值多项式，并用其计算和的近似值。，10X1.6151.6341.7021.8281.921F ( x)2.414502.464592.652713.030353.340667.已知函数的如下函数值表，解答下列问题（1）试列出相应的差分表；（2）分别写出牛顿向前插值公式和牛顿向后插值公式。X0.00.10.20.30.40.5f ( x)1.001.321.682.082.523.

5、00解：向前插值公式向后插值公式8.下表为概率积分的数据表，试问： 1）时，积分2）为何值时，积分？。X0.460.470.480.49P0.4846550.49374520.50274980.51166839.利用在各点的数据（取五位有效数字），求方程在 0.3 和 0.4 之间的根的近似值。 0.337648910. 依据表 10 中数据，求三次埃尔米特插值多项式。x01y01y3911. 依据数表 11 中数据，利用基函数方法，构造四次埃尔米特插值多项式。X01211Y023y0112. 在上给出的等距节点函数表，用分段线性插值求的近似值，要使截断误差不超过，问函数表的步长h 应怎样选取

6、？13.将区间分成 n 等分，求在上的分段三次埃尔米特插值多项式，并估计截断误差。14 、给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限12解： 仍可使用 n=1 及 n=2 的 Lagrange 插值或 Newton插值 , 并应用误差估计。线性插值时，用 0.5 及 0.6 两点，用 Newton插值13误差限，因，故14二次插值时，用0.5 ，0.6 ，0.7三点，作二次 Newton插值误差限15，故1615、 在- 4x4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过17，函数表的步长h 应取多少 ?解：用误差估计式，1819令因得2016、

7、若，求和21解：由均差与导数关系于是2217、 若互异，求的值，这里 pn+1.23解：，由均差对称性可知当24有而当 Pn1 时25于是得18、 求证解：只要按差分定义直接展开得2619、已知的函数表27求出三次 Newton 均差插值多项式，计算 f(0.23) 的近似值并用均差的余项表达式估计误差 .解：根据给定函数表构造均差表当 n=3 时得 Newton均差插值多项式 N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3)由此可得 f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式可得28由于2920、给定 f(x)=cos

8、x的函数表用 Newton 等距插值公式计算 cos 0.048 及 cos 0.566 的近似值并估计误差 .解：计算，用 n=4 得 Newton 前插公式30误差估计31其中计算时用 Newton后插公式32（ 5.18)误差估计得33这里仍未 0.56521.求一个次数不高于四次的多项式p(x), 使它满足34解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。此处可先造使它满足，显然，再令35p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2由 p(2)=1 求出 A ，于是22.令称为第二类 Chebyshev多项式，试求的表达式，并证36明是 -1,1 上带权的正交多项式序列 .解：因3723、用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它拟合下列数据，并计算均方误差.38解：本题给出拟合曲线，即，故法方程系数39法方程为解得40最小二乘拟合曲线为均方程为411) 满足条件插值多项式p(x)=().422)