数学史与科学史数学梦想与悖论

1、2021/3/10授课：XXX1 罗素 Bertrand Russell 1872-1970 纯数学是这样一门学科， 在其中我们并不知道我们在谈 论什么，或者我们不知道我们 所谈论者是否是真的。 2021/3/102 第第 9 讲讲 真理与定理 Godel Theorem 2021/3/10授课：XXX3 希尔伯特纲领 梦想的破灭 梦想与悖论 2021/3/10授课：XXX4 笛卡尔 Ren Descartes 1596-1650 1596年3月31日生于法国的图伦 1619年11月10 日 Ausonius: Quod vitae sectabor iter 在我的一生中，我该走哪条路？ 1

2、650年2月11日在斯德哥尔摩去世 2021/3/10授课：XXX5 科学中正确运用理性和追求真 理的方法论 1637年6月8日 折光学 气象学 几何学 2021/3/10授课：XXX6 寻求知识的途径 寻求知识的途径 仅接纳自己理解并可以排除疑问的东西 把大的困难拆分成小的困难 从简单到复杂的推理 进行检验 2021/3/10授课：XXX7 笛卡尔之梦 现实问题 数学问题（几何问题） 代数问题（解析几何） 多项式方程组 一元高次方程 2021/3/10授课：XXX8 笛卡尔的梦想：将世界数学化 人类的所有问题，都可以通过逻辑计算， 理性地、系统地加以解决。 数学真理 = 数学定理 2021/

3、3/10授课：XXX9 莱布尼兹（德国） Gottfried Leibniz (1646-1716) 笛卡尔计划的一个具体的实 现方案: 将思维演算化、计算化， 以至于可以计算机化。 解析几何如同一台庞大的绞肉 机，你把问题塞进去，只要摇动曲 柄，就可以得到答案。 2021/3/10授课：XXX10 沙勒(法国） Michel Chasles 17931880 为几何大厦添砖加瓦，从此就 用不着天才那样的人物了。 几何方法的起源和发展的历史概述 2021/3/10授课：XXX11 1900年前后，逻辑悖论的出现 罗素：日常语言和逻辑中可以出现悖论 理发师悖论 村中的理发师只给本村那些不给自己

4、理发的人理发。 谁给理发师理发？ 2021/3/10授课：XXX12 庞伽莱（法国） Henri Poincar （1854-1912） 为了防备 狼，羊群已 用篱笆圈了 起来，但却 不知道圈里 有没有狼。 2021/3/10授课：XXX13 数学的完备性 completeness 一个数学系统是完备的，那么这个系统 中的所有命题都是可以被证明的，每一个 数学真理都对应着一个数学定理。 1930年之前: 两个基本问题 I 每一个明确的数学问题都应该关联一个 明确的判断，或者是给出答案，或者是证 明它不可解。 2021/3/10授课：XXX14 数学的一致性consistency 1930年之前

5、：两个基本问题 II 一致性（相容性、无矛盾、协调性） 如果说一个数学系统是一致的，不 可能得出00的结果。 不能出现这个系统中的一个命题与 它的否定命题都是对的，即不能出现 悖论。 2021/3/10授课：XXX15 如果一个系统是不一致的， 则可以按照我们的喜好来证明一 个论断是真的，或者假的，那样 的话，我们的知识就不会建立在 一个可靠的基础之上了。 2021/3/10授课：XXX16 罗素: 我是教皇 如果我们承认 2+2=5，则有 2=3 或者 2=1 因为教皇和罗素是两个人，且 2=1 于是 1=2 所以，罗素就是教皇。 2021/3/10授课：XXX17 梦想与悖论 梦想的破灭

6、希尔伯特纲领 2021/3/10授课：XXX18 1900年巴黎国际数学家大会 希尔伯特23问题 第二个问题“算术公理的一致性” 数学推理的可靠性：只要按照数学推理的 规则，就不应该得出相互矛盾的陈述。 希尔伯特：一致性是任何类型的公 理化系统的必要条件 2021/3/10授课：XXX19 为什么希尔伯特要操心这样的事情呢？ 2+2=5 真的可以发生吗？ 三角形的内角和180吗？ 2021/3/10授课：XXX20 几何原本几何原本 1482年年 威尼斯威尼斯 2021/3/10授课：XXX21 罗巴切夫斯基（俄国） Nikolai Lobachevski （1792-1856） 波约（匈牙利

7、） Janos Bolyai （1802-1860） 存在着完全一致的、关于点和线的数 学系统，他们不同于欧几里得的系统。 三角形的内角和可以大于180 椭圆几何 三角形的内角和可以小于180 双曲几何 2021/3/10授课：XXX22 三种几何 平面 双曲 (马鞍） 椭圆 （球） 1条平行线 许多平行线 没有平行线 = 180 180 平面宇宙 开放宇宙 封闭宇宙 冷寂 冷寂 大挤压 欧几里得 罗巴切夫斯基 黎曼 2021/3/10授课：XXX23 希尔伯特 David Hilbert 1862年1月23日 生于哥尼斯堡 1943年2月14日 死于哥廷根 希尔伯特纲领建立的动机 罗素悖论产

8、生的原因：自然陈述中语 义的含糊性 铲除悖论：为全部数学构建一种纯句 法的、实质上“无意义”的框架，在其 中可以谈论数学的真或假。 2021/3/10授课：XXX24 将每一个数学真理都形式化，从而 永远排除在数学中出现悖论陈述的可 能性。也不会产生不可判定的命题。 形式系统：形式化了的公理系统。 系统中的符号与符号串（公式）完全 不含意义。 2021/3/10授课：XXX25 形式系统 公式：按照一定的形式规则排列的符号串 公理：一个公式 推理规则：由有限个确定的公式（规则的假设） 得到某一个确定的公式（规则的结论） 定理：公理； 若规则的假设是定理，其结论也是 形式系统的公式是否定理，可以

9、机械地验证 2021/3/10授课：XXX26 希尔伯特纲领 第一步，建立形式系统 第二步，考虑数学结构 将数学对象与形式系统中的符号、 公式相匹配，用不含意义的形式语言 来解释含有意义的数学对象。 2021/3/10授课：XXX27 不使用那些有争议的推论 1920年1930年 希尔伯特、阿克曼、伯奈斯、冯诺伊曼 元数学（或称证明论） 用矛盾去证明存在 超限归纳 实无穷集 非断言性的定义 选择公理 存在性的证明也必须是构造性的 元数学证明的概念与方法是有限性的 2021/3/10授课：XXX28 希尔伯特（1928年）： 利用这种新的数学基础人们完 全可以称之为证明理论，我将可以 解决世界上

10、所有的基础问题。 所有有意义的论述都将被证明或 证伪，那样就不存在悬而未决的命 题了。 2021/3/10授课：XXX29 希尔伯特的梦想 构造一个形式系统，它既是完备的， 又是一致的。 在数学结构的真理与形式系统的定理 之间建立一种完美的一一对应的关系。 把整个数学真理全部形式化，以防止 悖论跨越自然语言与数学语言的界限而 侵入纯洁的数学世界。 2021/3/10授课：XXX30 定理陈述 证明机器 结果：真假 希尔伯特的形式系统 证明机器 2021/3/10授课：XXX31 希尔伯特 1900年 1928年9月波伦亚国际数学家大会 “数学基础问题”（四个问题） 基本问题：可否证明每一个 真

11、的数学陈述。 2021/3/10授课：XXX32 梦想与悖论 希尔伯特纲领 梦想的破灭 2021/3/10授课：XXX33 哥德尔 Kurt Godel (1906-1978) 1906年4月28日出生于捷克的布尔诺Brno 1924年 入维也纳大学，理论物理 1929年获奥地利国籍，完成博士论文 1931年不完备性定理发表 1940年定居普林斯顿 1948年加入美国国籍 1978年1月14日在普林斯顿去世 2021/3/10授课：XXX34 哥德尔和它的父母及哥哥，约1910年 2021/3/10授课：XXX35 哥德尔和阿黛勒德结婚照 维也纳 一九三八年9月30日 2021/3/10授课：

12、XXX36 哥德尔与爱因斯坦，普林斯顿 一九五零年8月 2021/3/10授课：XXX37 2021/3/10授课：XXX38 罗素与怀特海：数学原理 John Kemeny：这是一本“被每个 哲学家所讨论，而实际上又无人读过 的名著。” 2021/3/10授课：XXX39 符号哥德尔数意义 1非 2或 3如果那么 4存在 = 5等于 06零 s 7的直接后继 （8标点符号 ）9标点符号 基本逻辑符号的哥德尔配数（简化本） 2021/3/10授课：XXX40 )(syxx逻辑公式： 存在着一个数x，它是数y的直接后继。 x、y：数值变元; 用大于10的素数来表示。 令 x = 11、y = 1

13、3。 2021/3/10授课：XXX41 )(syxx x = 11、y = 13 8，4，11，9，8，11，5，7，13，9 符号哥德尔数意义 1非 2或 3如果那么 4存在 =5等于 06零 s7的直接后继 （8标点符号 ）9标点符号 2021/3/10授课：XXX42 8，4，11，9，8，11，5，7，13，9 )(syxx 9137511891148 2923191713117532n 2021/3/10授课：XXX43 莱布尼兹、希尔伯特 用数来表示概念或词句 应用“哥德尔配数法”使语法算术 化 数学原理中的每一条陈述，都可以 安排一个唯一的数与之对应。 2021/3/10授课：

14、XXX44 说谎者悖论（Liars paradox） 避开难以捉摸的真与假的概念 用“可证性”的概念代替“真” 利用哥德尔的编码方案，可以编码上述论断 通过46条推理，得到这条陈述，称为哥德尔句G 这个句子是错的 这个陈述是不可证的 2021/3/10授课：XXX45 如果哥德尔陈述G是可证的 由于G是真的，根据论断，它不可证 在这个系统中，陈述G和它的否定都成立 这个陈述G是不可证的 所以，这个系统是不一致的 2021/3/10授课：XXX46 如果哥德尔陈述G是不可证的 这个系统是不完备的 由于陈述G是真的，但是却不可证 这个陈述G是不可证的 2021/3/10授课：XXX47 哥德尔不完备定理: 对于算术 的任何一致的形式化系统，都存 在着一个命题G，在这个系统中 不可证明。 1931： “论数学原理及其有关系 统中的形式不可判定命题 I ” 202