可靠性理论第三章

1、可靠性理论第三章 第三章第三章 系统的可靠性分析系统的可靠性分析 l系统是为了完成某一特定功能，由若干个彼此有联系而且又 能相互协调工作的单元所组成的综合体。 l不可修复系统，是指系统或其组成单元一旦发生失效，不再 修复，系统处于报废状态。不可修复是指技术上不能够修复， 经济上不值得修复，或者一次性使用，不必要进行修复。 l可修复系统 可靠性理论第三章 系统可靠性框图的建立 分析系统可靠性时，要将系统的工程结构图转换成系统的可 靠性框图，根据可靠性框图以及组成系统各单元所具有的可 靠性特征量，计算出系统的可靠性特征量。 l系统的工程结构图是表示组成系统的单元之间的物理关系 和工作关系。 l可靠

2、性框图表示系统的功能与组成系统的单元之间的可靠 性功能关系。 l不能从工程结构上判定系统类型，应从功能上研究系统类 型，分析系统的功能及失效模式，保证功能关系的正确性。 可靠性理论第三章 振荡电路由一个电感L和一个电容C组成，在工程结构图中， L和C是并联连接，但在可靠性框图中，它们却是串联关系。 21 1 2 （b） 可靠性理论第三章 串联系统 l由n个单元组成的串联系统表示当这n个单元都正常 工作时，系统才正常工作，当系统任一单元失效时， 就引起系统失效。 n i i n i i n n tRtXP tXtXtXP tXXXPtXPtR 11 21 21 )()( ),( ),min()(

3、)( 可靠性串联系统中，可靠性最差的单元对系统的可靠性影响最大。 可靠性理论第三章 l系统的失效率为 假定单元寿命服从指数分布，则系统的可靠度为 系统的失效率为 当系统的各单元均服从指数分布时，串联系统也服 从指数分布。 n i i t tR tR t 1 )( )( )( )( )exp()( 11 tetR n i i n i t i n i i 1 可靠性理论第三章 l系统平均寿命为 当 (1)串联系统可靠度低于该系统的每个单元的可靠度， 且随着串联单元数量的增大迅速降低；， (2)串联系统的失效率大于该系统的各单元的失效率； (3)串联系统的各单元寿命服从指数分布，该系统寿命 也服从指

4、数分布。 例如：由10个可靠度为99的单元组成一个串联系统，那么 该系统的可靠度仅为90。要提高系统的可靠度，必须减 少系统中的单元数或提高系统中最低的单元可靠度，即提 高系统中薄弱单元的可靠度。 n i i 1 1 tn etR )( n 1 可靠性理论第三章 并联系统 l并联系统：当这n个单元都失效时，系统才 失效，当系统的任一单元正常工作时，系统 正常工作。 )(1 1 ),max(1 ),max()()( 1 21 21 tR tXXXP tXXXPTXPtR n i i n n )()( 1 tFtF n i i 例如：双工系统 可靠性理论第三章 l假定单元寿命服从参数为的指数分布，

5、系 统的可靠度和平均寿命分别为 l特别当i=时， 1 1)( 1 n i t i etR n i i n nji ji n i i 1 1 11 1 ) 1( 11 nt etF)1 () ( nt etR)1 (1) ( nt ntt e een t )1 (1 )1 ( )( 1 n 1 2 11 可靠性理论第三章 (1)并联系统的失效概率低于各单元的失效概率； (2)并联系统的可靠度高于各单元的可靠度； (3)并联系统的平均寿命高于各单元的平均寿命； (4)并联系统的各单元服从指数寿命分布，该系统不再服从指 数寿命分布。 可靠性理论第三章 mn(G)系统系统 n中取m系统是指由n个单元组

6、成的系统中，至少有m个单 元正常工作系统才正常工作，记为mn(G)。 。 特例：1/n串联系统 n/n并联系统 可靠性理论第三章 假设三个单元相互独立则系统的可靠度为 如单元的寿命服从指数分布， 则有 三个单元都属于同一类型，可靠度相同，则 ) () () () () () () () () () () () () ( 321321321321 tRtRtRtRtRtFtRtFtRtFtRtRtR tttt eeeetR )()()()( 321313221 2) ( )(2)(3)( 3 0 2 0 tRtRtR 可靠性理论第三章 特别，当各单元失效率都相等，有 说明23(G)系统的平均寿命

7、比单个单元的平均寿命还要低， 实际上，23(G)系统的意义在于短时间内可靠性的改善， 而不在于平均寿命的提高。 321313221 1111 tt eetR 32 23) ( 6 5 3 2 2 3 )23 ()( 00 32 dteedttR tt 可靠性理论第三章 lmn(G)系统 设组成的mn(G)系统的n个单元都是同种类型，m n(G)系统的可靠度 若各单元寿命分布都为指数分布，则有 平均寿命 ini n mi i n tFtRCtR )()()( 00 intti n mi i n eeCtR 1 )( nkki n mi 1 ) 1( 111 可靠性理论第三章 l 可靠性理论第三章

8、 例：设某种单元的可靠度为，其中=0.001h，试求出： (1)由这种单元组成的二单元串联系统、二单元并联系统及 2/3(G)系统的平均寿命； (2)当t=l00h、500h、700h、1000h时，一单元、二单元串联、 二单元并联及2/3(G)系统的可靠度，并加以比较。 解：(1)一个单元与系统的平均寿命分别为 (2)t=l00h时，一个单元与系统的可靠度分别为 h100 1 单 h500 2 1 2 串 h1500 2 3 2 并 h G 3 .833 6 5 )(3/2 可靠性理论第三章 (3)t=500h时，一个单元与系统的可靠度分别为 (4)t=700h时，一个单元与系统的可靠度分别

9、为 975. 023 991. 0)1 (1)1 (1 819. 0905. 0 905. 0 32 )(3/2 21 . 02 2 22 2 100001. 0 单单 单并 单串 单 RRR eRR RR eR G 6575. 023 8452. 0)6065. 01 (1)1 (1 3678. 0905. 0 6065. 0 32 )( 3/2 22 2 22 2 500001. 0 单单 单并 单串 单 RRR RR RR eR G 4948. 023 7466. 0)4966. 01 (1)1 (1 2466. 04966. 0 4966. 0 32 )( 3/2 22 2 22 2

10、700001. 0 单单 单并 单串 单 RRR RR RR eR G 可靠性理论第三章 (4)t=1000h时，一个单元与系统的可靠度分别为 从以上计算结果可以明显地看出： l一个单元的可靠度高于二单元串联系统的可靠度，但低 于二单元并联系统的可靠度； l23(G)系统的平均寿命为一个单元的平均寿命的56 倍，显然低于一个单元的平均寿命。 l在工程实践中，对许多要求较高工作可靠度的系统来说， 平均寿命并不是十分重要的可靠性指标，至关重要的可 靠性指标应是达到一定要求的可靠水平r(如r=0.95、 r=0.99、r=0.999等)的可靠寿命。 306. 023 600. 0)1 (1)1 (1

11、 135. 0368. 0 368. 0 32 )(3/2 212 2 22 2 1000001. 0 单单 单并 单串 单 RRR eRR RR eR G 可靠性理论第三章 混联系统混联系统 由串联系统和并联系统混合而成的系统称为混联系统， 最典型的是串并联系统和并串联系统。 可靠性理论第三章 l串并联系统是由一部分单元先串联组成一个子系统， 再由这些子系统组成一个并联系统。 若各单元的可靠度为 ，则第i行子系统 的可靠度为 再用并联系统计算公式得串一并联系统的可靠 (3-1-26) 当 且 时，串并系统的可靠度可简化为 (3-1-27) 有了系统的可靠度，可以依此计算系统的其他可靠性特征量

12、。 iij mjnitR, 2 , 1;, 2 , 1),( )()( 1 tRtR i m j iji )(1 1)( 11 tRtR n i m j ij i mmmm n 21)()( 0 tRtRij nm tRtR)(1 1)( 0 可靠性理论第三章 l并串联系统是由一部分单元先并联组成一些子系统， 再由这些子系统组成一个串联系统。 若各单元的可靠度为 ，则第j列子系统的可 靠度为 ，再用串联系统计算公式得并一串联系 统的可靠度 (3-1-28) 当 ，且 时，并串联系统的可靠度可简化 为 (3-1-29) 可以证明，并串联系统的可靠度高于串并联系统的可靠度。 jij mjnitR,

13、 2 , 1;, 2 , 1),( )(1 1)( 1 tRtR j m i ijj )(1 1 )( 11 tRtR n j m i ij j mmmm n 21 )()( 0 tRtR ij nm tRtR)(1 1)( 0 可靠性理论第三章 3.1.6 旁联系统 l为了提高系统的可靠度，除了多安装一些单元外，还可以 储备一些单元，以便当工作单元失效时，能立即通过转 换开关使储备的单元逐个地去替换，直到所有单元都发生 故障时为止，系统才失效，这种系统称为旁联系统。 l旁联系统与并联系统的区别在于： 并联系统中每个单元一开始就同 时处于工作状态，而旁联系统中 仅用一个单元工作，其余单元处 于

14、待机工作状态。 可靠性理论第三章 旁联系统根据储备单元在储备期内是否失效可分为 两种情况，一是储备单元在储备期内失效率为零， 二是储备单元在储备期内也可能失效。 l储备单元在储备期内失效率为零 若系统由n个单元组成，其中一个单元工作，n1 个单元备用，系统的可靠度为 n i i n i i t n i n ij j j j i e i tR 11 11 1 )( 可靠性理论第三章 如n个单元的失效率均相同，即失效率 ，则 有 当n2，即系统由两个单元组成时，系统的可靠度和平均寿、 命分别为 串联系统的寿命为单元中最小的寿命， 并联系统的寿命为单元中最大的寿命，而转换开关与储备单 元完全可靠的旁

15、联系统的寿命为所有单元寿命之和。 n 21 t n i i e i t tR 1 0 ! )( )( n n i i 1 21 21 1 12 2 11 )( 21 tt eetR 可靠性理论第三章 2储备单元不完全可靠的旁联系统 在实际使用中，储备单元由于受到环境因素的影响，在 储备期间失效率不一定为零，当然这种失效率不同于工作 失效率，一般要小得多。储备单元在储备期可能失效的旁 联系统比储备单元失效率为零的旁联系统要复杂得多。下 面只介绍两个单元组成的旁联系统，其中一个为工作单元， 另一个为备用单元，又假设两个单元工作与否相互独立， 储备单元进入工作状态后的寿命与其经过的储备期长短无 关。

16、 设两个单元的工作寿命分别为X1，X2且相互独立，均 服从指数分布，失效率分别为 ；第二个单元的储备寿 命为Y，服从参数为的指数分布。 21, 可靠性理论第三章 当工作的单元l失效时，储备单元2已经失效，即X1Y，表明 储备无效，系统也失效，此时系统的寿命就是工作单元l的寿 命X1；当工作的单元l失效时，储备单元2未失效，即 X1Y，储备单元2立即接替单元1的工作，直至单元2失效， 系统才失效，此时系统的寿命是X1+X2，根据以上分析，系 统的可靠度为 经推导得系统的可靠度和平均寿命分别为 ),(),() ( 11121 YXtXPYXtXXPtR 1 1 211221 1 1 )( 21 1

17、 11 ) 11 ( 1 )()( 121 ttt eeetR 可靠性理论第三章 特别地，当 时系统的可靠度和平均寿命分别为 (3-1-42) (3-1-43) l当=0时，即储备单元在储备期内不失效时，这就是两单 元在储备期内完全可靠的旁联系统； l当 时，该系统为两单元的并联系统。 21 11 )()( )(ttt eeetR 2 可靠性理论第三章 复杂系统 l系统并非串、并联或混联结构系统，而是一个具 有复杂结构的网络系统，例如一台大型自动机床 上，综合了机械、液压、气动、电子线路等，构 成了一个复杂的网络系统。 l一般网络可靠度的求法，主要有： 状态枚举法 全概率分解法 最小路集法 最

18、小割集法 可靠性理论第三章 1. 状态枚举法 l状态枚举法也称真值表法，实际上就是穷举法。这是一个 最原始的计算系统可靠度的方法。它只适用于对较小的系 统进行可靠性分析。 l状态枚举法的基本思想是：设一个系统由n个单元组成， 每个单元的可靠度和不可靠度分别为pi和qi, i=1,2, ,n。 因为每个单元只有正常和失效两种状态。由n个单元组成 的网络系统总共有种2n不同的状态，而且各种状态之间不 存在交集，那么在这种2n不同的状态中，将能使系统正常 工作的所有状态之可靠度相加，可得系统的可靠度。 l状态枚举法原理简单、容易掌握，但当组成网络的单元数 较大时，计算量较大，状态枚举法实际上是不可行

19、的。 可靠性理论第三章 2全概率分解法 l全概率分解法的基本思想是：将一个复杂的网络系统分解 为若干个相当简单的子系统，先求各子系统的可靠度，再 利用全概率公式计算系统总的可靠度。 l如设系统K中有一个子系统M，先分别假定子系统M处于 正常和失效两种状态，这样就可分别得到两个相应的子系 统K|M，K| ，由全概率公式，根据得到的这两个子系统 能正常工作的概率来确定该系统的可靠度为 (3-1-44) 其中P(M)为子系统M正常的概率， 为子系统M失效的概率； P(K |M)为子系统K | M正常的概率， 为子系统 正常 的概率。 _ M )|()()|()()( _ MKPMPMKPMPKR )

20、( _ MP )|( _ MKP _ | MK 可靠性理论第三章 例3.1.5 利用全概率分解法求图3.12所示的桥式网络系统K 的可靠度。其中5个单元的可靠度分别为 解：将系统K中的A5可看作一个子系统M，分别假定M正常 和失效，得到如图3.12(a)和(b)的子系统K|M， 从图可 看出二者分别是串一并联结构和并一串联结构，因此它们 的可靠度是很容易计算出来的。 9 . 0, 7 . 0, 8 . 0 54231 ppppp _ |MK 可靠性理论第三章 (1)假定M正常，子系统K | M的可靠度 0.8736 (2)假定M失效，子系统 的可靠度 则系统K的可靠度为 R(K)=0.9X*0

21、.8736+0.1*0.8064=0.8688 )1)(1 (1)1)(1 (1 )|( 4231 ppppMKP _ | MK 8064. 0)1)(1 (1)|( 4321 _ ppppMKP 可靠性理论第三章 3最小路集法与最小割集法 (1)网络图、路集、最小路集、割集、最小割集的概念： 网络图：根据系统的可靠性框图，把表示单元的每个框 用弧表示并标明方向，然后在各框的连接处标上节点，就 构成系统的网络图，图3.14所示就是图3.12的桥形网络图 路集：在网络图中，从节点出发，经过一串弧序列可以 到达节点，则称这个弧序列为从到的一个路集或一条路。 一个路集中所有弧对应的单元都正常时，系统

22、就能正常运 行。 最小路集：如果在一条路集的弧序列中，任意除去其中 的一条弧后，它就不再是一条路集，则称该路集为最小路 集。最小路集表示一种可使系统正常工作的最少单元的集 合，即每一个单元都是必不可少的，减少其中任何一个单 元，系统就不能正常工作。 可靠性理论第三章 割集：在网络图中，若存在某弧集，如果截断这些弧时， 就将截断所有从输入点到输出节点的路径，则称该弧集为 一条割集。一条割集中所有弧对应的单元都失效时，系统 就不能正常运行。 最小割集：如果在一条割集的弧序列中，去掉其中任一条 弧后，它就不成为割集，则称该割集为最小割集。若在一 条割集中增加任意一个其他单元，就可使系统正常工作。 图

23、3.14中， 为四个节点； 为五条弧，根据路 集、割集、最小路集、最小割集的定义以及例3.1.5的讨论 可知： 4321 ,vvvv 54321 ,AAAAA 可靠性理论第三章 该系统的路集共16个： A1，A2，A3，A4，A1，A2，A3，A3，A4，A5， A1，A2，A4，A1，A3，A4，A1，A2，A5，A2， A3，A4，A2，A3，A5，A1，A4，A5，A1，A3， A4，A5，A1，A2，A3，A4，A2，A3，A4，A5， A1，A2，A3，A5，A1，A2，A4，A5，A1，A2，A3， A4，A5 最小路集共4个：A1，A2，A3，A4，A1，A4，A5， A2，A3

24、，A5 割集共16个： Al，A3，A2，A4，A1，A4，A5，A2，A3，A5， A1，A3，A5，A1，A2，A3，A1，A3，A4，A1， A2，A4，A2，A3，A4，A2，A4，A5，A1，A3， A4，A5，A1，A2，A3，A4，Ai，A2，A3，A5，A1， A2，A4，A5，A2，A3，A4，A5，A1，A2，A3，A4， A5 最小割集共4个：A1，A3，A2，A4，A1，A4，A5， A2，A3，A5 可靠性理论第三章 (2)最小路集法 l用最小路集法分析一个系统的可靠性的主要思想是：找出 系统中可能存在的所有最小路集 ，系统正常工作 表示至少有一条路集畅通，即系统正常

25、 ，系统的可 靠度为 由概率的加法公式得 (3-1-45) n LLL, 21 n i i LS 1 )()( 1 n i i LPSPR )() 1()()()( 21 1 321 n n kj n kji ij n ji i n i i LLLPLLLPLLPLPR 可靠性理论第三章 4最小割集法 l用最小割集法分析一个系统的可靠性的主要思想是：找出 系统中可能存在的所有最小割集 ，系统失效表示 至少有一条割集中所有弧对应的单元均失效，即系统失 效 ，其中表示 第j条割集中所有弧对应的单元均 失效，则系统的不可靠度为 由概率的加法公式得： (3-1-46) 最后得系统的可靠度为R=1F m

26、 GGG, 21 m j j GS 1 _ _ j G )()( 1 _ m j j GPSPF )() 1()()()( _ 2 _ 1 1 _ 3 _ 2 _ 1 _ m m lk m lkj jk m kj j m j j GGGPGGGPGGPGPF 可靠性理论第三章 3.2 3.2 可修复系统的可靠性分析可修复系统的可靠性分析 l可修复系统是指系统的组成单元（或零部件）发生故障后， 经过修理使系统恢复到正常工作状态。系统发生故障后， 一般要寻找故障部位，对其进行修理或更换，一直到最好 验证系统确已恢复到正常工作状态，这一系列的工作就称 为修复过程。 l由于故障发生的原因、部位、程度不

27、同，系统所处的环境 不同，以及维修设备及维修人员水平不同，因而修复所用 的时间是一个随机变量。需要研究修复时间的变化规律。 l 研究可修复系统的主要数学工具是随机过程理论。当构 成系统的各单元的寿命分布和故障后修复时间的分布都为 指数分布时，这样的系统通常可以用马尔可夫过程来描述。 可靠性理论第三章 3.2.1 马尔可夫过程的基本概念 1马尔可夫过程 在一个随机过程中，如果在某一时刻，由一种状态转移到 另一种状态的转移概率只与现在处于什么状态有关，而与 在这时刻以前所处的状态完全无关，即这种转移概率只与 现在状态有关，与有限次以前的状态完全无关，这种过程 就称为马尔可夫过程。 可靠性理论第三章

28、 用数学式表示为： （3-2-1） 其中 表示处于时刻 的状态 l（3-2-1）式说明时刻的状态X(tn)在以前n-1个时刻的状态 下的条件概率等于在时刻tn-1的状态X(tn-1)下 的条件概率。只要前一个状态X(tn-1)一经决定，则 X(tn)状 态概率就可以决定了。可见，更以前的各状态不影响现在 状态的性质，就是所谓的马氏性，或称为无后效性。 l若X(t)(t时刻时系统的状态)是马尔可夫过程，且X(t)是 离散型随机变量，这种马尔可夫过程称为马尔可夫链。 )(|)( )(,)(,)(|)( 11 112211 nnnn nnnn xtXxtXP xtXxtXxtXxtXP ii xtX

29、)(), 2 , 1(niti )(,),(),( 121n tXtXtX 可靠性理论第三章 l若一个马尔可夫链X(t)，从u时处于状态i，转移到t+u时处 于状态j的转移概率与转移的起始时间u无关，即 （3-2-1） 则称此马尔可夫链是齐次的，pij(t)是齐次马尔可夫链在t这 段时间内从状态i转移到状态j的转移概率。 )() 0(|)( )(|)( tPiXjtXP iuXjutXP ij 可靠性理论第三章 2.计算齐次马尔可夫可修系统可靠性特征量的方法 和步骤 l为了讨论方便，我们作如下假定： (1) 组成系统单元的寿命和维修时间的分布均为指数分布； (2) X(t)表示系统在时刻t的状态； (3) 每个单元处于什么状态是相互独立的。 本假定对本章以后各节均有效。 可靠性理论第三章 l若系统是由一个单元和一组维修人员组成，此时单元工作， 系统亦工作；单元故障，系统也就故障。该系统是最简单 的可修系统。若系统处于修复状态，则当单元修复后，单 元重新开始工作，系统也就处于工作状态了。用1表示系 统的正常状态，2表示故障状态，则 X(t)是一个齐次马尔可夫链。 假定单元的故障率及修复率分别为和，根据状态转移图 3.16，可写出马尔可夫链的矩阵P(t)(称为