高中数学 第一章集合与简易逻辑数学竞赛讲义 苏教版

1、 第一章 集合与简易逻辑 一、基础知识 定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来xxAA，记中，称表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素属于在集合+xx?AAxNZQABQ分别表示自然数集、，否则称。例如，通常用不属于，记作，为，?来表示。集整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用合分有限集和无限集两种。 集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如1，2，3；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例 xx?0分别表示有理数集和正实数集。， 如

2、有理数ABAB中的元素，则2 子集：对于两个集合，如果集合与中的任何一个元素都是集合定义A?BN?ZAABB的子叫做。规定空集是任何集合的子集，如果的子集，记为，例如是BAABABBA，则相等。如果集，的子集，而且也是是的子集，则称中存在元素不属于与AB的真子集。 叫 A?B?xx?A且x?B. 3 交集，定义 A?B?xx?A或x?B. 4 并集，定义 A?I,则CA?xx?I,且x?AAI中的补集。在称为定义5 补集，若1 AB?xx?A,且x?B。差集，6 定义 xa?x?b,x?R,a?b(a,b)，集合集合记作开区间 定义7 xa?x?b,x?R,a?ba,b(?,?). 记作，R记

3、作闭区间ABC，有：， 定理1 集合的性质：对任意集合A?(B?C)?(A?B)?(A?C);A?(B?C)?(A?B)?(A?C)； 2 （）（1）CA?CB?C(A?B);CA?CB?C(A?B). （4）（3） 111111【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。 x?A?(B?C)x?(A?B)x?(A?C)C?Bxx?Ax，或）若1或，且，所以，则（x?(A?B)?(A?C)x?(A?B)?(A?C)x?(A?B)x?(A?C)，或；反之，即，则x?(B?C)x?A?(B?C).A?Cx?xx?A?Bx 即，即或且且，即xCACB?x?CBx?(A?B)BAx?x?AC?

4、x?，或若，所以或所以3（）则，1111x?C(A?B)CA?CB?C(A?B)Ix?，反之也有，即又，所以1111C(A?B)?CA?CB. 111mn种不同的方法，第二类办法中类办法，第一类办法中有定理2 加法原理：做一件事有1mmn种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法，第类办法中有有n2N?m?m?m种不同的方法。 n21mmn种不同的种不同的方法，做一件事分个步骤，第一步有第二步有定理3 乘法原理：21mN?m?m?mn种不同的种不同的方法，那么完成这件事一共有方法，第步有nn12方法。 二、方法与例题 1利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。 22 ?,?a?Maxy

5、xyZ ，求证：设1 例 2k?1?M,(k?Z)；（1） 4k?2?M,(k?Z)； 2）（p?M,q?Mpq?M. ，则3）若（ A?BB?AAB。，则，再证 =2利用子集的定义证明集合相等，先证AB是两个集合，又设集合M，满足例2 设 A?M?B?M?A?B,A?B?M?A?BAB表示）（用，求集合。 M 3分类讨论思想的应用。 222?0xx?mx?20xx?ax?a?1?,C?B2?Axx3x?0,?，若3 例a,m.C,A?C?A?B?A ，求 4计数原理的应用。 A?B?IICAB，求有）若的子集，67，89，0（1，4 例集合，是=12345ABI的非空真子集的个数。 2）的个

6、数；（）求序集合对（， 5配对方法。 A,A,A?,n,I?1,23,k?个子集：的例5 给定集合，满足任何两个子集的交集非空，k12kI的值。 的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求并且再添加 6竞赛常用方法与例问题。 A?B?A?B?A?AB,A 表示集合容斥原理；用定理4 的元素个数，则A?B?C?A?B?C?A?B?A?C?B?C?A?B?C 需要xy此结论可以，?n 个集合的情况，即推广到 nnn? ?1n?.A1A)A?AAA?A?(A? iikiiijjnkj?i1i?ji1?1i?1i?A?A?(1?i,j?n,i?j)I?A?AA?，则这定义，且8 集合的划分：若n12ji

7、nI-划分。的一个 些子集的全集叫定理5 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。 n(n?1)m?11mn?个个抽屉，必有一个抽屉放有不少于6 定理抽屉原理：将个元素放入mn个抽屉必有一个抽屉放个元素；将无穷多个元素放入元素，也必有一个抽屉放有不多于有无穷多个元素。 例6 求1，2，3，100中不能被2，3，5整除的数的个数。 例7 S是集合1，2，2004的子集，S中的任意两个数的差不等于4或7，问S中最多含有多少个元素？ a,a,a)2n(n?，使得存在实数8 求所有自然数例满足： n12n(n?1) .?1,2,?a?a1?i?jn? ji2 ABnAB中取两个数组中取三个数，在

8、=7，8，9，=1，2，34，5，6，例9 设 Ai?1,2,20,AA?2,1?i?j?20.n?，成五个元素的集合的最小值。 求iji nx,y,zx?y?3zn，3个互不相交的三元集合可以划分成，其中例10 集合1，2n. 求满足条件的最小正整数 三、基础训练题 2xx?1,x,x 。的取值范围是，则实数1给定三元集合_ 2a?R?R,x?2x?1?0,?Axaxa 。=_2中只有一个元素，则若集合,3,?12B _个。3集合的非空真子集有 2 MN?0ax,N?x?M?xx1?3x?2?0则由满足条件的实数4若，已知集合，aP=_。 组成的集合 A?B?aB2,?xxA?xx?a的取值

9、范围是_，且，则常数5。 已知S?1,2,3,4,5a?S6?a?S，那么符合要求的集合6若非空集合S满足S，且若，则有_个。 X?2n?1n?Z与Y?4k?1k?Z之间的关系是_7。集合 A?x,xy,xy?1y?Zy?00?Ax?ZA中元素之和是，则，其中8若集合且，若_。 2M?Pm ?0,M?xmx?10xP?xx?6?值构成的集合，则满足条件的，且9集合为_。 2?,?yBRx1x?x?Ay2?,?,?y?x9xR ，则集合10 ?A?B _。1S?21?S;?a?SS?，）且满足1若则如果。，11已知S是由实数构成的集合， a1? S中至少含有多少个元素？说明理由。 B?A?x?a

10、,CaA?(x,y)y?x,B?(x,y)yC为单元素集合，求实12已知，又a 数的取值范围。 四、高考水平训练题 ,yB?0,xA?x,xy,x?y,?y?xBA 。_，且_1=已知集合，则 ,)?1,9?AI,B?I,A?B?2,(CA)?(CB,I?1,23,4,5,6,7,8,9, 211?)BA?(C)?B?4,6,8(CA ，则。_11 2 ?A?Bmm?1?x?2m?A?x10?3x?x1?0,B?x实数，已知集合当3时， 。的取值范围是_?1?xA?a?则?1,aa为常数，且若实数 4_。?21?ax?x?22?1?1,m?m?3,2m?Mm,m?1,?3,N3?N?M，则5集

11、合，若?m 。_ B?A?N?7y?2,ya?5x?3,x?N,B?bbA?a中的最小元素是，则6集合? 。_2222y,x?y,0?x?y,xy,xy,B?x?A?x?yBA _，且，则=7集合。1x? AB?0x4?,B?xpx?0A?p的取值范围是，且8，则已知集合x2? _。设集合9 22 ?bC?(x,y)y?kx,05(A?x?,y)y?x?1?0,B(x,y)4x?2x?2y?，问：?(,b?NA?B)?C?k 是否存在，使得，并证明你的结论。B?ACBA的12个元素，含有410集合个元素，试求同时满足下列条件的集合和各含有?CA?B?A?CC 。且个元素；中含有32个数：1）

12、222)C?(x,yx?yrBA，若对，11判断以下命题是否正确：设是平面上两个点集，rBCCA0r?BA?，都有任何 ，证明你的结论。，则必有rr 五、联赛一试水平训练题 21m?x?z?zxx?0,B,?2B?,且B?AA?,x m已知集合，则实数的取值范1 1?mx 。围是_B?y?B,xx2n,2n?1,y,A?1,23,?,BB中满足：对任意的的子集2集合，则集合 。元素个数的最大值是_2da?2a?,a?d,P?aaq,aq,QRa?0?aQP，则实=已知集合，若，其中，且3?q _数。 B?A yxy?1?x?y?)(?x,yx?ya,a0,B(x,)A是平面，若4已知集合?a

13、_上正八边形的顶点所构成的集合，则。?,4n?12uM?u?m8?lmlnZ ，集合集合5 N?uu?20p?16q?12r,p,q,r?ZN的关系是_。 ，则集合M与A?M1995,3,?,M?1,2x?A15x?AAA中，则，集合，且当6设集合满足：时，元素最多有_个。 A?A?B22x?5,B?x3?A?x2a?1?x?3a成立的所有，则使非空集合7a的集合是_。 A?B?C?1,2,?,n aCAB则满足条件的有序三元（不必相异）的并集已知集合，,8ABC）个数是_，。，组（ 22?1x?yC?(x,y),?1B?(x,y)x?ay?1,A?(x,y)ax?y ，问：9已知集合a(A?

14、B)?C为恰有2个元素的集合？说明理由，若改为当取何值时，3个元素集合，结论如何？ B?C?1,2,?,10CBCB的元素和。的元素乘积等于，使得求集合10，并且和 r?Qr?S,?r?S,r?0a?S,b?SQ，并且若恰有一个成立，11S是，的子集且满足：若则ab?S,a?b?S，试确定集合S。则 12集合S=1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的若干个五元子集满足：S中的任何两个元素至多出现在两个不同的五元子集中，问：至多有多少个五元子集？ 六、联赛二试水平训练题 S,S,Sx?Sk,i,j，如果，是三个非空整数集，已知对于12，31的任意一个排列i312x?y?SS,S,SS?y中必有

15、两个相等。 ，则。求证：31i2jA(i?1,2,?,117)，使，1989可以划分为117个互不相交的子集2求证：集合1，2iAA中各元素之和相同。）每个 17个元素；（）每个得（12恰有iinn个信封，然后将信任意装入信封，问：每封信都装错的情况封信，同时写了3某人写了有多少种？ a?,a,a,a?a1?i?j?20中有是4设20201个两两不同的整数，且整合个不2021ji a?a1?i?j?20中不同元素个数的最小可能值。同的元素，求集合 ji2n个人组成的集合。求证：其中必定有两个人，他们的公共朋友的个数为偶数。S是由 5设m)nf(4n?，集合，求出最小的整数，使得对于任何正整数6对于整数m,m?1,?,m?n?1f(n)元子集中，均有至少的任一个3个两两