空间两异面直线距离的 若干求法

1、 存档编号 赣南师范学院科技学院学士学位论文 空间两异面直线距离的 若干求法 系 别 数学与信息科学系 届 别 2014届 专 业 数学与应用数学 学 号 姓 名 刘禹伟 指导老师 陈海莲 完成日期 目 录内容摘要1关键字1Abstract1Key words11、引言22、空间两异面直线的相关概念22.1、空间两异面直线的概念22.2、空间两异面直线间距离的概念23、求异面直线距离的常用方法33.1、直接法33.2、线面距离法43.3、面面距离法43.4、等体积法54、求解异面直线间距离的其他方法64.1、运用极值法64.2、公式法74.3、射影面积法95、分析比较求解方法106、结语11致

2、谢12参考文献13 内容摘要：立体几何中的异面直线间距离( 即两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度) 问题是教材中的一个难点, 学生普遍反映困难, 主要由于学生思维不全面和认识上的不足, 又由于学生由平面几何到立体几何思维上的转化存在着问题, 从而导致解题和学习上困难。本文我们来着重讲解空间两异面直线间的距离的求法，即直接或利用转换和利用体积来求解。在其基础上再深入研究，利用解析几何的思想来探讨求解异面直线间距离。比较各种求法，让学生在求异面直线间距离方面简单。 关键字：异面直线间距离 直接法 转化法 体积法 解析几何 Abstract：The differences betwe

3、en the three-dimensional geometry of the surface linear distance (ie two different male faces straight vertical line in these two segments of different lengths between straight face) problem is a difficult textbook. Students generally reflect difficulties, Mainly due to the students thinking is not

4、comprehensive and lack of understanding, Also due to the transformation of the students from the plane geometry on the three-dimensional geometry of thinking there is a problem, resulting in the problem-solving and learning difficulties. In this paper, we explain the space to focus on the distance b

5、etween the two different method for finding straight face, that directly or using the conversion and use of volume to solve. The basis of its further in-depth study to explore solving linear distance between the different faces of the use of analytic geometry ideas. Comparative method for finding a

6、variety of students in terms of a simple distance between divergent straight face.Key words：The distance between lines in different planes The direct method Volume method Transformation method Analytic geometry1、引言 求异面直线的距离是立体几何的一个难点，主要原因是公垂线段较难找，那么如何求异面直线的距离呢？为帮助同学们克服这一难点，下面介绍异面直线的概念、异面直线间距离的概和异面直线

7、间距离的求法。2、空间两异面直线的相关概念1 在空间上,两条直线的位置关系有平行、相交和异面，下面我们着重来介绍空间两条异面直线的相关概念。2.1、空间两异面直线的概念2定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。特点：既不平行，也不相交。判定方法：（1）定义法：由定义判定两直线永远不可能在同一平面内。（2）定理：经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线，是异面直线。2.2、空间两异面直线间距离的概念3两条异面直线的距离的定义：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段；公垂线段的长度d，叫做两条异面直线的距离。其中，两条异面直线所成的角的

8、定义：直线a，b是异面直线，经过空间一点O，分别引直线A/a,B/b,相交直线A，B所成的锐角（或直角）叫做异面直线a,b所成的角。角可取的范围在(0，/2。两条异面直线垂直的定义：如果两条异面直线所成的角是直角，则称这两条异面直线互相垂直。两条异面直线的公垂线的定义：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线。两条异面直线的公垂线，有且只有一条。理解这些概念，有助于理解异面直线间距离的求法。3、求异面直线距离的常用方法求解异面直线间距离的方法有许多,一般常用的方法有四种，分别为直接法、线面距离法、面面距离法，等体积法，下面详细介绍这四种方法。3.1、直接法 根据定义，直接找出公垂

9、线段，再求其长，这是解题时首先要考虑的方法。例1 （1999广东）如图，已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EAC/D1B，且平面EAC与底面ABCD所成的角为45，AB=a，求异面直线与AC之间的距离。 解：连结DB，设DB交AC于点O 由题设知ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱 则A1A底面ABCD，即A1AAC,而A1AA1B1 所以A1A是异面直线A1B1与AC的公垂线段由题意分析知 DOE为平面EAC与底面 ABCD所成的角则DOE=45又截面EAC/D1B，且平面D1BD与平面EAC的交线为EOD1B/EO，DBD1=DOE=45D1D=DB=AA1=D1

10、D异面直线A1B1与AC之间的距离为3.2、线面距离法选择异面直线中的一条，过它作另一条直线的平行平面，则此直线与平行平面的距离即为异面直线间的距离。例2 （2004江苏）在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=2，AD=3，AA1=4，求异面直线AB与A1C间的距离。解：如图所示，连结A1D 由AB/DC，得AB/平面A1DC故AB到平面A1DC的距离即为AB与A1C间的距离又平面A1D平面A1DC及平面A1DAB故可在平面A1D内过A作AEA1D于点E则AE为AB到平面A1DC的距离即为异面直线AB与A1C间的距离。由AD AA1=A1DAE可得3.3、面面距离法 选择异面直线中的一条，

11、过它作另一条直线的平行平面，再根据所画平面作出另平行面,两异面直线分别在两个平面上,求两平行面间的距离。 例3 （2004广州一模）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线A1D与AC间的距离。 解：A1C、C1D、AB1、B1C,A1D与AC分别在两个相互平行的平面A1DC1和B1CA内，则A1D与AC间的距离就是两个相互平行的平面A1DC1和B1CA之间的距离。连结BD，且交AC于点O，作OO1平面AC交平面A1C1于O1连结DO1，作OEDO1于E可知OE为两平行平面A1DC1和B1CA之间的距离在RtDOO1中，OO1=1，DO= ,DO1= OE=OO1异面直线A

12、1D与AC间的距离为3.4、等体积法在一般情况下，求异面直线间的距离可转化为(1)一异面直线与过另一异面直线且平行于第一条异面直线的平面之间的距离(2)分别过两异面直线的两个平行平面之间的距离上述两种距离总是通过直线上(或平面上)一点到另一平面之间的距离求出，除直接求出外，一般都要通过等积计算再求高的办法来求得的例4 （2004江西）如图4所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，求AC与BC1的距离 解：连接A1C1，A1B，C1A， ACA1C1，AC平面A1BC1，则求AC与BC1的距离 转化为求AC与其平行平面A1BC1的距离也就是三棱锥AA1BC1的高h而 即 由上可知，等积法

13、与作辅助平面法紧密相连，它是以辅助平面为底，与平面平行的另一条异面直线上某一点到该平面的距离为高组成一个三棱锥，若改变三棱锥的底面易于求得三棱锥的体积，便可利用等积法求出以辅助平面为底的三棱锥的高，即异面直线间的距离4、求解异面直线间距离的其他方法一般的解题方法就是上述四种，这些都是基础的，比较容易掌握。下面我们来结合解析几何的思想，利用其求解空间两异面直线间的距离。4.1、运用极值法求异面直线a、b的距离是先在a(或b)上取点A，过A点作ABb，设某一线段为x，列出AB关于x的函数表达式ABf(x)，求出AB的最小值，就是所求异面直线间的距离其理论依据是两异面直线间的距离是连接两直线中最短线

14、段的长例5 （2004浙江）如图5，圆锥底面半径为R，母线长为2R，AC为轴截面SAB的底角A的平分线，又BD为底面的一条弦，它和AB成30的角，求AC与DB之间的距离解：在AC上任取一点E，作EFAB， 垂足为F，则EF底面 设EFxSAB是正三角形(ABSASB2R) CAB=30。，AF=XFB=2R-X在底面内作FG BF，FG=BF sin=（2R-X）EG2=EF2+FG2=X2+(R-X)2=(X-R)2+R2 EGmin= R即为所求。4.2、公式法预备定理设：OA,OB,OC是空间共端点的3条射线AOB=1，BOC=2，AOC= ,(其中1,2均为锐角 ) ,二面角A-OB-

15、C是直二面角，则COS =COS1 .COS2.定理 设A , B是直二面角的棱l上的两点,AC在平面内, BD在平面内,且 CAB=1 ,DBA=2,（其中1,2均为锐角）AB=a。异面直线AC和BD所成的角为，距离为d；则： （1）COS =COS .COS . （2） 例6 （2004江西）已知正三棱锥D-ABC的侧棱与底面的边长相等M, N分别为BD,DC的中点，求：异面直线AM与BN所成角的余弦值。 解 如图，连接NA，取BC的中点E，连接ME交BN与点G，则DC平面ABN MG/DG MG平面ABN 二面角M-AG-N为直二面角 设正四面体ABCD的棱长为a，则 RTAGM中，AM

16、=a,MG=a AG=a cos1=cosMAG=,ANG中，cos2=cosAGN 由定理可知 注：由于易得cot1=，cot2=；若正四面体的棱长为a，则AG=，由定理可得异面直线AM与BN的距离为 4.3、射影面积法凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos= ）求出二面角的大小。ACBP例7 （2004广州）如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，ACB=90。AP=BP=AB，PCAC求二面角B-AP-C的大小；分析：本题要求二面角BAPC的大小，如果利用射影面积法解题，不难想到在平面ABP与平面ACP中建立一对原图形与

17、射影图形并分别求出S原与S射于是得到下面解法。ACBEP解：AC=BC,AP=BP， APCBPC 又PCAC,，PCBC 又ACB=90。，即ACBC， 且ACPC=C， BC平面PAC 取AP中点E连结BE,CE AB=BP BEAP EC是BE在平面PAC内的射影， CEAP ACE是ABE在平面ACP内的射影，于是可求得：AB=BP=AP=，BE=，AE=EC=,则S射=SACE=AECE=1，S射=SABE=AEEB=设二面角B-AP-C的大小为，则cos=二面角B-AP-C的大小为=arccos5、分析比较求解方法中学空间两异面直线间距离的算法和解析几何算法，有相同之处也有不同之处

18、。相同点：都是直接或者间接的利用公垂线的来找出两异面直线间的关系，让其两条线能够联系起来。不同点：中学求解方法都能够在图中找出公垂线，即能够找出实实在在的一条线，说明其为两异面直线的公垂线，而解析几何的方法都是不找出公垂线，而是利用公垂线的性质，没有实实在在的找出来，后者需要有比较好的空间概念，能够想象出公垂线，从而利用其求解。6、结语 本文总结了7种求解空间两异面直线距离的方法，介绍的方法都是从简单开始，从基本的思想开始，所以在求解的时候先掌握前面的基本求法，再逐步深入掌握，利用解析几何的思想，巧妙地求解空间两异面直线距离。熟练的掌握了这些方法，能够帮助学生对理解或者求解空间两异面直线距离方面更易懂。致谢 在论文完成之际，我首先向关心帮助和指导我的指导老师陈海莲表示衷心的感谢并致以崇高的敬意！ 在学校的学习生活即将结束，回顾四年来的学习经历，面对现在的收获，我感到无限欣慰。为此，我向热心帮助过我的所有老师和同学表示由衷的感谢!在论文工作中，遇到了许许多多这样那样的问题，有的是专业上的问题，有的是论文格式上的问题，一直得到陈海莲老师的亲切关怀和悉心指导，使我的论文可以又快又好的完成，陈海莲