第十四章结构动力学课件配套李廉锟教材

1、 13.1.1 动力计算的特点 13.1 13.1 动力计算的特点和动力自由度动力计算的特点和动力自由度 13.1.2 动力荷载的分类 13.1.3 动力计算的自由度 13.1.1 13.1.1 动力计算的特点动力计算的特点 结构动力学： 研究结构在动力荷载作用下的动力反应。 （1）地震现场录像 （2）地震振动台实验录像 例如地震荷载： 动力荷载：荷载的大小、方向、作用位置 随时间而变化。 （1）Tacoma大桥风毁录像 （2）南浦大桥风洞实验录像 例如风荷载： 13.1.1 动力计算的特点动力计算的特点 荷载的变化周期是结构自振周期5倍以上，则可看成静荷载。 用于教学演示的小型振动台，铝质和

2、有机玻璃模型用于教学演示的小型振动台，铝质和有机玻璃模型 用于教学演示的 小型振动台，小型振动台， 铝质和有机玻璃模型 铝质模型的自由 振动记录 有机玻璃模型的 自由振动记录 用于教学演示的 小型振动台， 铝质和有机玻璃模型 有机玻璃模型的 自由振动记录 铝质模型的自由 振动记录 动力计算与静力计算的区别： 加速度： 可否忽略 动力计算的内容： 1）结构本身的动力特性：自振频率、阻尼、振型 2）荷载的变化规律及其动力反应 （自由振动） （受迫振动） 1）牛顿运动定律 2）惯性力 动静法 （达朗伯原理） 特点：考虑惯性力，形式上瞬间的动平衡！ 建立微分方程， , ,y y y 13.1.1 动力

3、计算的特点 如何考虑 13.1.2 13.1.2 动力荷载的分类动力荷载的分类 1）周期荷载 2）冲击荷载 3）随机荷载 P(t ) t P t 简谐荷载 P(t) t tr P P(t) t tr P P(t) t P P(t) t 爆炸荷载1 爆炸荷载2 突加荷载 地震波 一般周期荷载 求解结构的动力特性；剖析结构动力反应规律，提 出结构在动力反应的分析方法；为结构设计提供可靠的 依据。 本课程主要任务是： 安全性：确定结构在动力荷载作用下可能产生的最大内 力，作为强度设计的依据； 舒适度：满足舒适度条件（位移、速度和加速度不超过 规范的许可值)。 13.1.2 动力荷载的分类 可靠性设计

4、依据：可靠性设计依据： 建筑抗震设计原则 结构“小震不破坏，中震可修复，大震不倒塌。” y 13.1.3 动力计算的自由度 确定全部质量的位置，所需独立几何参数的个数。 动力自由度： 这是因为：惯性力取决于质量分布及其运动方向。 m E、A、I、 R 体系振动自由度为？ 无限自由度 (忽略 ) m 三个自由度 忽略轴向变形 忽略转动惯量 自由度为？ 单自由度 m 0,0mEAR? ? 例：简支梁： m 13.1.3 动力计算的自由度动力计算的自由度 集中质量法： 将分布质量集中到某些位置。 无限 有限 例1： 2EI EI EI y (a)单自由度 y1 y2 (b)两个自由度 例2： (t)

5、 (c)三个自由度 ( )m x (d)无限自由度 ( , )y x t x 13.1.3 动力计算的自由度 例3： u(t) v(t) 例4： 确定体系的振动自由度时，一般忽略梁和刚 架的轴向变形，和集中质量的惯性矩的影响 集中质量法几点注意： 1）体系动力自由度数不一定等于质量数。 一个质点 两个DOF 两个质点 一个DOF 两个质点 三个DOF 2）体系动力自由度与其超静定次数无关。 3）体系动力自由度决定了结构动力计算的精度。 m1 m 2 y x x x 13.1.3 动力计算的自由度 改变 水平振动时的计算体系 3个自由度 4个自由度 m1 m2 m 3 2个自由度 自由度与质量数

6、 不一定相等 y1 y2 y1 y3 y2 y3 y4 y1 y2 13.2.1 单自由度体系自由振动微分方程建立 13.2 13.2 单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由振动 13.2.2 单自由度体系自由振动微分方程解答 13.2.3 结构的自振周期和自振频率 13.2.4 阻尼对自由振动的影响 一、自由振动 （体系在振动过程中没有动荷载的作用，只有惯性力） 1.自由振动产生原因 体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。 静平衡位置 m获得初位移y ? m获得初速度 ? ? y 2.研究单自由度体系的自由振动重要性 （1）它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。 （2）它是分析多

7、自由度体系的基础，包含了许多基本概念。 自由振动反映了体系的固有动力特性 自振频率和振型 13.2.1 单自由度体系自由振动微分方程建立 13.2.1 单自由度体系自由振动微分方程建立 以一悬臂柱为对象： 自由振动 初始位移 初始速度 同时作用 y(t) k m y m my 模型2 隔离体 理解 两模 型中 “k” 含义 my m k y 模型1 “ 弹簧小车” ky ky 建立自由振动的微分方程: : 两种方法： 1）刚度法 力的平衡 2）柔度法 位移协调 1 k 1 P ? 建立方程 1）刚度法：）刚度法： 以质量为隔离体 0 0 X myky ? ? ? 1 k ? ? 模型2 模型1

8、 刚度系数 k 柔度系数 概念理解 my ky y 13.2.1 单自由度体系自由振动微分方程建立 建立自由振动的微分方程: : 两种方法： 1）刚度法 力的平衡 2）柔度法 位移协调 建立方程 2）柔度法：）柔度法： M点位移 y ky myky 13.2.1 单自由度体系自由振动微分方程建立 ymF i ? ? ?ymFy i ? ? 0? ? y y m? ? ? 惯性力 建立方程 1）刚度法： m y ky W 0 y? ? 0kymy W? std yyy? ()()0 stdstd k yym yyW? 0 st st kyW y ? ? 0 dd kymy? 0kymy? 以质量

9、为隔离体 my 13.2.1 单自由度体系自由振动微分方程建立 建立方程 2）柔度法： m ky my W std yyy? () stdstdst yym yyy? ? 0 st y ? 0ymy? 以梁为对象建立位移方程 ( )y tky?kymy W? ? ymyW? ? st Wy? dd ymy? ? ky 13.2.1 单自由度体系自由振动微分方程建立 （1）刚度法 研究作用于被隔离的质量上的力，建立 平衡方程，需要用到刚度系数。 方法小结方法小结 （2）柔度法 研究结构上质点的位移，建立位移协调方程， 需要用到柔度系数。 刚度法 柔度法 （3）方法选择 谁较简单？ 谁较容易求得。

10、 取决于结构的 柔度系数 刚度系数 超静定结构，查表（形常数） 静定结构，图乘法求 顺利求解刚（柔）度系数是自由振动分析的关键！ 0?myky原方程： 0? k yy m 2 ? ()? k m 令： 通解为： 12 ( )sincos?y tCtCt 由初始条件： 020 (0) ? ?yyCy 0 01 (0) ? ? v yvC 0 0 ( )cossin? ? ? v y tytt解为： T 0 y(t) t y0 -y0 T/4 T/4 T/4 T/4 T/4 T/4 T/4 T/4 T 0 y(t) t 0 v ? 0 v ? 13.2.2 单自由度体系自由振动微分方程解答 化成单

11、项三角函数的形式 : 解又可表达为： 将其展开： ( )sincoscossiny tatat? 0 0 ( )cossin v y tytt? ? ? 相比较得： 0 sinya? 0 cos v a? ? ? 2 21 00 0 2 0 tan vy ay v ? ? ? ? ? ( )sin()y tat? 则：振幅 T 0 y(t) t a a? 0 y ? ? 自由振动总位移： 初始相位角 13.2.2 单自由度体系自由振动微分方程解答 13.2.3 结构的自振周期和自振频率 ( )sin()y tat?由式: 可知 时间经 后，质量完成了一个振动周期。 2 T ? ? ? 用T 表

12、示周期， 周期函数的条件: y(t+T )=y(t ) 1 2 f T ? ? ? 1)自振周期计算公式： 2 m T k ?2m? 2 W g ? ?2 st g ? ? ? 2)自振频率计算公式： 1 st kgg mmW ? ? ? ? 秒内的振动次数 2?用 表示圆频率： ? 用 表示频率：每秒钟内的振动次数 f 泛美大厦，6060层 钢结构，南北方向 的基本固有周期为 2.902.90秒， 大坝，400英尺高的混凝土重力坝的 基本固有周期由强迫振动试验测得在蓄 水为310英尺和345英尺十分别为0.288 秒和0.306秒， 金门大桥，金门大桥桥墩跨距1280.2米全桥总 长2737

13、.4米的悬索桥，其横向振动的基本基本固 有周期为18.20秒，竖向振动的基本基本固有周期 为10.90秒，纵向振动的基本基本固有周期为3.81 秒，扭转振动的基本基本固有周期为4.43秒 例13.1 求图示梁结构的自振周期和自振频率。 求图示梁结构的自振周期和自振频率。 m EI l/2 l/2 1 P ? l/4 解：为求柔度系数，在质点 上加单位力1（图乘法） 3 48 l EI ? 3 22 48 ml Tm EI ? 思考 比较图示结构的自振频率 3 48EI l m ? l/2 l/2 l/2 l/2 l/2 l/2 m m m (a) (b) (c) (a)(b)(c) 13.2.

14、3 结构的自振周期和自振频率 例13.5 求图示结构的频率。 解1： 是单自由度体系，作水平振动。求柔度时由于 结构对称，可取半刚架计算。 3 4 2 EI mL ? 3 11212 ()2 2223222324 LLLLLL L EIEI ? L EI EI EI L m m M图 L/2 P=1/2 2 L/2 EI EI EI 13.2.3 结构的自振周期和自振频率 P=1 13.2.4 阻尼对自由振动的影响阻尼对自由振动的影响 m k y 1) 不考虑阻尼 0 y(t) t a a? m k y=0 c 2) 考虑阻尼 阻尼是客观存在的 振幅随时间减小，这表明在振动过 程中要产生能量的

15、损耗，称为 阻尼阻尼。 （1）产生阻尼的原因 1)结构与支承之间的外摩擦 2)材料之间的内摩擦 3)周围介质的阻力 （2）阻尼力的确定 1)与质点速度成正比 2)与质点速度平方成正比 3)与质点速度无关 粘滞阻尼 ( )R tcy? ? y(t) m y ky my k m c cy 有阻尼模型有阻尼模型 建立动平衡方程 0mycyky? 标准化得: k m ? 2 c m ? ? ? 0 ck yyy mm ? 其中: ? 称为阻尼比 二阶常微分方程可变为： 2 20yyy? 设特解为： t yCe ? ? 特征方程为： 22 20? 解为： 2 (1)? 111 ?、 （1） 1 ? 令：

16、 2 1 r ? 则代数方程解： r i? ? 讨论讨论: 13.2.4 13.2.4 阻尼对自由振动的影响阻尼对自由振动的影响 讨论讨论: 111 ?、 小阻尼、临界阻尼、过阻尼的自由振动 则微分方程通解为： ? 12 cossin t rr yeCtCt ? ? ? ? 00 0 cossin t rr r y yeytt ? ? ? ? ? ? ? 2 2000 02 00 () sin() , tr r r vyy yeataytg vy ? ? ? ? ? ? ? ? ， 也可: t y yk t yae ? ? yk+1 tk T 1)是一种衰减振动 2)对自振频率的影响 2 1

17、r ? r ? 当0.2,则 0.96r/1 在工程结构问题中 0.010.1 此时，阻尼的影响可以忽略。 讨论: 实部 初始条件 虚部 13.2.4 13.2.4 阻尼对自由振动的影响阻尼对自由振动的影响 讨论讨论: : 阻尼对自由振动的影响 1)是一种衰减振动是一种衰减振动 讨论: 阻尼对固有振动蘋率的影响 阻尼对自由振动 衰减速率的影响 如图右 2)对自振频率的影响 当0.2,则 0.96r/1 在工程结构问题中 0.01)引起的动力反应 微分冲量 0 1 ( )( )sin() t y tPtd m ? ? ? ? 13.3.3 一般荷载作用下结构的动力反应 一般动荷载的动力反应: 杜

18、哈梅积分 初始位移 y0 和初 始速度 v0 为零 （1）突加荷载 P(t) t P o 0 0 1 ( )sin() t y tPtd m ? ? ? ? 0 2 (1cos)(1 cos) st P tyt m ? ? ? ys t y(t) t 0 2 3 质点围绕静力平衡 位置作简谐振动 yst yst 举例说明 0 00 ( ) 0 t P t Pt ? ? ? ? ? 0 1 ( )( )sin() t y tPtd m ? ? ? ? 13.3.3 13.3.3 一般荷载作用下结构的动力反应一般荷载作用下结构的动力反应 max ( ) 2 st y t y ?动力系数： （2）短

19、时荷载 P(t) t P o u 0 00 ( )0 0 t P tPtu tu ? ? ? ? ? ? ? 1）方法一： 0 00 11 ( )( )sin()() tu y tPtdP Sintd mm ? ? ? ? 2sinsin() 22 st uu yt ? ? 13.3.3 一般荷载作用下结构的动力反应 ( )(1 cos) st y tyt? 阶段 (0t u)同突加荷载： 直接采用 Duhamel 积分 阶段 (t u)： P(t) t P o u 0 00 ( )0 0 t P tPtu tu ? ? ? ? ? ? ? 阶段 (t u)：体系以 作自由振动。 ( ), (

20、 )y uy u 2）方法二： 利用突加荷载结论，分段讨论。 ( )(1 cos) st y tyt? ( )sin st y uyu? ( )cos()cos st y tytut? 2sinsin() 22 st uu yt ? ? 13.3.3 13.3.3 一般荷载作用下结构的动力反应一般荷载作用下结构的动力反应 阶段 (0t u)同突加荷载： ( )(1 cos) st y uyu? 3）方法三： 由两个突加荷载叠加而成。 P(t) t P P(t) t P u ( )(1 cos) st y tyt? ( )1cos() st y tytu? 1)当0 u (cos()cos) s

21、t ytut? 2sinsin() 22 st uu yt ? ? 1cos() st ytu? ( )(1 cos) st y tyt? 13.3.3 一般荷载作用下结构的动力反应 P(t) t P u y(t) t 0 2 3 讨论主要针对u展开 ys t T/2 1）当u T/2，最大动 位移发生在阶段 max ( ) 2 st y t y ? 2）当0u T/2，最大动 位移发生在阶段 ( )2sinsin() 22 st uu y tyt ? ? max ( )2sin 2 st u y ty ? ? max ( ) 2sin 2 st y tu y ? ? u T 1/6 1 1/

22、2 2 动力系数反应谱(T,) 1 2sin 2 1 2 2 uu TT u T ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当 当 13.3.3 一般荷载作用下结构的动力反应 最大动反应的求解： 13.3.4 13.3.4 阻尼对受简谐荷载强迫振动的影响阻尼对受简谐荷载强迫振动的影响 计算简图: 建立平衡方程： ( )mycykyP t? 简谐荷载： 2 2sin F yyyt m ? ( )sinP tFt? 方程的解： 齐次解（ ）特解（ ） r ? ? sin()yat? 振幅： 22 22 22 1 (1)4 st ay ? ? ? ? ? y(t) k m y m 隔离体 (

23、)P t ( )P t my kycy 设特解： 22 22 22 1 (1)4 st a y ? ? ? ? ? ? 动力系数： 1 2 2 2 tan (1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? 相位角： 22 22 22 1 (1)4 st a y ? ? ? ? ? ? 4.0 3.0 2.0 1.0 0 1.0 2.0 3.0 ? ? =0 =0.2 =0.3 =0.5 =1.0 动力系数反应谱 ( , ) ? ? ? 1）当 或 时，可 以不考虑阻尼的影响 1 ? ? 1 ? ? 1?静荷载 0?位移为0 2）当 时，阻尼作用明显 1 ? ? ? 1 1 2 ? ? ? ? ? 共

24、振： max 1 ? ? ? ? ? 0.751.3 ? ? ?共振区 13.3.4 13.3.4 阻尼对受简谐荷载强迫振动的影响阻尼对受简谐荷载强迫振动的影响 例13.10 前提同例13.2，当机器运转产生P0sint， P0=20kN，转速为400r/min，求振幅及地基最大压力。 解: : 由例13.2已求出 1 44.27s? ? ? k = 12103 kN/m W P0sint 1)荷载频率: 1 22400 41.89 6060 n s ? ? ? ? ? 2)动力系数： 22 2 11 9.59 41.89 1 1 44.27 ? ? ? ? ? ? ? ? ? max 3 2

25、0 ( )9.560.0159 12 10 st y tym? ? 3)竖向振动振幅: 0 max 6020 9.5612.56 2020 PW pkPa AA ? ? ? ?4)地基最大压力： 13.3.2 简谐荷载作用下结构的动力反应 41.89 0.946 44.27 ? 在共振区 解: 由例13.2已求出 1 44.27s? ? ? 1)荷载频率: 1 22400 41.89 6060 n s ? ? ? ? ? 2)动力系数： max 3 20 ( )3.315.5 12 10 st y tymm? ? 3)竖向振动振幅: 0 max 6020 3.316.31 2020 PW pk

26、Pa AA ? ? ? ?4)地基最大压力： 例13.14 当机器运转产生P0sint，P0=20kN，转速为 400r/min,考虑阻尼的影响 ,求振幅及地基最大压力。 0.15? (15.9)mm ( 12.56)kPa? 0.15? W P0sint 41.89 0.946 44.27 ? 在共振区 22 2222 22 2222 11 41.8941.89 1414 0.15 44.2744.27 3.31 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 13.3.4 阻尼对受简谐荷载强迫振动的影响 (9.59) 13.4.1 两个自由度体系自由振动微分方程的建立 13.4 13.4 两个自由

27、度体系的自由振动两个自由度体系的自由振动 13.4.2 频率方程和自振频率 13.4.3 主振型及主振型的正交性 13.4.4 两个自由度体系自由振动方程的一般解 13.4.1 13.4.1 两个自由度体系自由振动方程建立两个自由度体系自由振动方程建立 （1）因结构特征必须简化为多自由度体系 多层房屋、 不等高排架等 （2）为满足计算精度的要求 烟囱、 高耸建筑物等 基本方法 刚度法： 柔度法： 按结构的位移协调条件建立运动方程 按质量的力平衡条件建立运动方程 （1）柔度法 y1 y2 （ m1 m2 22 m y?21 ? 11 ? 2 1P ? 22 ? 12 ? 1 2 1 2 建立方程

28、： 111111222 ( )( )( )y tm y tm y t? 221112222 ( )( )( )y tm y tm y t? 13.4.1 两个自由度体系自由振动方程建立两个自由度体系自由振动方程建立 柔度系数： ? 注意 柔度 系数 物理 意义 1 1 P ? 11 m y? （2）刚度法 质量隔离体 m2 m1 2 K 111 ( )0m y tK? 222 ( )0m y tK? 列平衡方程： 1 K 2 K 1 y 1 2 2 y 如何确定？ 13.4.1 两个自由度体系自由振动方程建立 22 m y 11 m y 1 K y1 y2 （ m1 m2 2 K 1 K 弹

29、性 力 惯 性 力 刚度系数:k 1 K 2 K 1 2 2 y 1 y k11 k21 1 1 2 k12 k22 1 1 2 得到运动方程： 11111122 ( )0m y tk yk y? 22211222 ( )0m y tk yk y? 2211222 Kk yk y? 1111122 Kk yk y? 111 ( )0m y tK? 222 ( )0m y tK? 注意 物理意义 ij k 13.4.1 两个自由度体系自由振动方程建立 13.4.2 频率方程和自振频率 111112212 211212222 ( )( )( ) ( )( )( ) y tm y tm y t y

30、tm y tm y t ? ? ? ? ? ? ? ? 设各质点按相同频率和初相角作简谐振动，即： （1）柔度法 微分方程： 2 11 2 22 () () yYSint yYSint ? ? ? ? ? ? （2） 求得： 11 22 () () yYSint yYSint ? ? ? ? （1） 把（1）式、（2）式代入微分方程： 22 111121221 22 121122222 ()()()0 ()()()0 mYSintmYSintYSint mYSintmYSintYSint ? ? ? ? ? ? ? ? 13.4.2 频率方程和自振频率频率方程和自振频率 111121222 1

31、21 122222 1 ()0 1 ()0 mYmY mYmY ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 齐次线性方程组: ? ? 非零解 频率方程 1 11212 121222 0 mm D mm ? ? ? ? ? 关于的二次代数方程 111222121212 ()()0mmmm? 得： 系数行列式 应等于零 1 2 2 1112221112221122122112 ()()4() 2 mmmmmm? ? ? ? ? ? 方程两正根为: 1 1 2 2 1 1 ? ? ? ? ? ? 自振频率 12 ? 13.4.2 频率方程和自振频率 第一频率 （基频） 第二频率 （2）刚度法

32、 11121122 22211222 ( )0 ( )0 m y tk yk y m y tk yk y ? ? ? ? 微分方程： 设解为： 13.4.2 频率方程和自振频率 11 22 () () yYSint yYSint ? ? ? ? （1） 2 11 2 22 () () yYSint yYSint ? ? ? ? ? ? （2） 把（1）式、（2）式代入微分方程： 2 1111 1122 2 2221 1222 ()()()0 ()()()0 mYSintk YSintk YSint mYSintk YSintk YSint ? ? ? ? 可求得： 频率方程： 2 111112

33、2 2 21 12222 ()0 ()0 km Yk Y k Ykm Y ? ? ? ? ? ? ? ? 齐次线性方程组： 自振频率： 2 2 1122112211221221 1,2 121212 4()1 2 kkkkk kk k mmmmmm ? ? ? ? ? 13.4.2 频率方程和自振频率频率方程和自振频率 非零解 2 11112 2 21222 0 kmk D kkm ? ? ? ? ? 较小的 第一频率（基频）， 为第二频率。 1 ? 2 ? 13.4.3 主振型及主振型的正交性 （1）主振型 11112122 2 121 12222 2 1 ()0 1 ()0 mYmY mY

34、mY ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (1) 1212 (1) 2 1 11 2 1 1 Ym Y m ? ? ? ? ? ? Y1(1) Y 2(1) m1 m2 (柔度法) 1212 2 1 112 1 Ym Y m ? ? ? ? ? ? 2222 121 1 m m ? ? ? ? ? 1 ? 1）当 第一主振型 (1) 1 (1) 2 1 Y Y ?若： 13.4.3 主振型及主振型的正交性 m1 m2 （1）主振型 11112122 2 121 12222 2 1 ()0 1 ()0 mYmY mYmY ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 121

35、2 2 1 112 1 Ym Y m ? ? ? ? ? ? (2) 1212 (2) 2 111 2 2 1 Ym Y m ? ? ? ? ? ? (柔度法) 2222 121 1 m m ? ? ? ? ? 2 ? 2）当 第二主振型 (2) 1 (2) 2 1 Y Y ? ?若： Y 1(2) Y 2(2) 2 1111122 2 21 12222 ()0 ()0 km Yk Y k Ykm Y ? ? ? ? ? ? ? ? 则，用刚度系数表示的主振型为： (1) 112 (1)2 21111 (2) 112 (2)2 21121 Yk Ykm Yk Ykm ? ? ? ? ? ? ?

36、 ? 平衡方程： （2）主振型 (刚度法) 13.4.3 主振型及主振型的正交性 2 112222 2 211121 Ykkm Ykmk ? ? ? ? ? ? ? 两种方法是等价的 （3）主振型的正交性 13.4.3 主振型及主振型的正交性 m1 m2 11 m y? 22 m y? 运动方程： 按 振动时： 1 ? 位移与加速度同时达到最大，因此 可以看作 是最大惯性力产生的静位移。 (1)(1) 12 YY 11 22 () () yYSint yYSint ? ? ? ? (1) 111 (1) 221 () () yY Sint yYSint ? ? ? ? 2(1) 1111 2(

37、1) 2121 () () yY Sint yYSint ? ? ? ? ? ? 作自由振动时，体系上承受的是惯性力。 准备1： （3）主振型的正交性 用功的互等定理来证明。 第一主振型 第二主振型 功的互等定理 2(1)(2)2(1)(2)2(2)(1)2(2)(1) 11 11122221 112222 ()()()()mYYm YYmYYm YY? 整理得： 22(1)(2)(1)(2) 121 11222 ()()0mY Ym Y Y? 12 ?第一正交关系 虚功1 虚功2 (1)(2)(1)(2) 111222 0?mY Ym Y Y Y1(1) Y2(1) m1 m2 2(1) 1

38、22 m Y? 2(1) 11 1 mY? m1 m 2 2(2) 21 1 mY? 2(2) 222 mY? 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性 Y1(2) Y 2(2) 如何解释正交性？ 利用第一正交关系 1) 同乘 2 1 ? 2(1)(2)2(1)(2) 11112122 ()()0?mYYmYY 虚功10 2) 同乘 2 2 ? 2(2)(1)2(2)(1) 12112222 ()()0?mYYmYY 虚功20 这表明体系在振动过程中，各主振型的能量不会转移 到其他主振型上，也不会引起其他主振型的振动。因此， 各主振型能单独存在而不相互干扰。 13.4.3 1

39、3.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性 (1)(2)(1)(2) 1 11222 0?m Y Ym Y Y l/3 l/3 l/3 m m 4）主振型 (1) 1122 (1) 11112 1 1 ? ? ? ? ? Ym mY (2) 1122 (2) 11122 1 1 ? ? ? ? ? Ym mY 第一主振型 第二主振型 5）验证主振型的正交性 (1)(2)(1)(2) 111222 0?m YYmYY ? (1)(2)(1)(2) 111222 1(1)1( 1)0?m YYm YYmm即： 故满足正交性条件 13.4.3 主振型及主振型的正交性 利用对称性另解：

40、若结构本身和质量分布都是对称的，则主振型不是 对称就是反对称。故可取半边结构计算。 l/3 l/3 l/3 1 2 m m EI l/3 1 l/9 1 解： 1）简化 2）图乘 3 11 5 162 ? l EI 1 3 11 1 5.69? ? ? EI mml 3 22 486 ? l EI 2 3 22 1 22? ? ? EI mml 3）自振频率 对称 反对称 13.4.3 主振型及主振型的正交性 13.5.1 柔度法 13.5 13.5 两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动 13.5.2 刚度法 13.5.1 13.5.1 柔度法柔度法 简谐荷

41、载作用下的无阻尼受迫振动 柔度法 （1）建立振动微分方程 22 ?m y 11 ?m y P y1 y2 1 m 2 m t P ? sin t P ? sin 1 ? P 2 ? P 位移方程 11 11122121 ()()sin P ymym yt? ? ? ? 21 12122222 ()()sin P ymym yt? ? ? ? 1 1 1122 1211 1 1 2122 2222 sin sin P P mymyyt mymyyt ? ? ? ? ? ? （2）动位移的解答及讨论 齐次解（ ）特解（ ） r ? ? 设特解： 11 22 ( )sin ( )sin y tYt y tYt ? ? ? ? ? ? 22 111121221 22 121122222 (1)0 (1)0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? P P mYmY mYmY 方程的解： 22 111212 0 22 121222 (1) (1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? mm D mm 其中： 2 1212 1 2 2222 (1) ? ? ? ? ? ? ? P P m D m 2 1111 2 2 1212 (1)? ? ? ? ? ? ? P P m D m 讨 论 0