第五模块同角三角函数的基本关系式及诱导公式

1、第1页 共 99 页 第十七讲 同角三角函数的基本关系式及诱导公式 第2页 共 99 页 走进高考第一关 基础关 教 材 回 归 第3页 共 99 页 1.同角三角函数基本关系式 平方关系: _; 商数关系:_ . 1. sin 2+cos2=1 ? ? ? ? sin tan cos 第4页 共 99 页 2. 相关角的表示 (1)终边与角的终边关于_对称的角可以表示 为+; (2)终边与角的终边关于_对称的角可以表示 为-(或2-); (3)终边与角的终边关于_对称的角可以表示 为-; (4)终边与角的终边关于_对称的角可以表示 为 -. ? 2 原点 x轴 y轴 直线y=x 第5页 共

2、99 页 3. 诱导公式诱导公式 (1)公式一 sin(+k2)= _,cos(+k2)= _,tan(+k 2)=_,其中kZ.tan sin cos 第6页 共 99 页 (2)公式二公式二 sin(+)= _,cos(+)= _,tan( +)=_.tan - sin -cos 第7页 共 99 页 (3)公式三公式三 sin(-)=_,cos(-)=_,tan(-)= _. -tan - sincos 第8页 共 99 页 (4)公式四公式四 sin( -)=_,cos( -)=_,tan(-)= _.-tan sin-cos 第9页 共 99 页 (5)公式五公式五 ()_,()_.

3、 ? ?sincos 22 sincos 第10页 共 99 页 (6)公式六公式六 ()_,()_. ? ?sincos 22 - sincos 第11页 共 99 页 (), _,_ ;(), _, . ? ? ? ? ? ? ? ? k 2 kZ 2 g 即的三角函数值 等于 的 函数值 前面加上一个把 看成时 原函数值的符号的正弦 余弦 函数值 分别等 于 的函数值 前面加上一个把看成锐角时 原函数值的符号 余弦(正弦) 同名 锐角 第12页 共 99 页 :, (); . ? ? ? ?kkZk 2 g 总口诀为 奇变偶不变 符号看象限 其中“奇?偶” 是指“”中 的奇偶性“符号”是

4、把任 意角 看作锐角时原函数值的符号 第13页 共 99 页 考 点 陪 练 第14页 共 99 页 ?., 43 A. B. 34 34 . 43 ? ? ? 4 1sintan 5 CD 若且 是第二象限角 则的值等于 答案:A 2 :, 43 1, 55 454 . 533 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 cos1 sin sin tan cos Q 解析为第二象限角 第15页 共 99 页 ? ?. 31 A. B. 22 13 C. D. 22 ? ? 2 sin330 等于 答案:B 1 :(). 2 ? ? ? ?sin33

5、0 sin 360 30sin30 解析 第16页 共 99 页 ? ?., 11 A. B. 33 2323 C. D. 33 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 3sincos 336 已知则的值为 :, 3 3 1 . 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 62 coscossin 623 Q 解析 答案:B 第17页 共 99 页 4. 点P(tan2008,cos2800)位于( ) A. 第二象限 B. 第一象限 C. 第四象限 D. 第三象限 解析:2008=6360-152,tan2008=- tan152=tan280, cos2008=cos152

6、 0,点P在第四象限. 答案:C 第18页 共 99 页 ?. , 1 A. B. 2 2 1 C. D. 2 2 ? ? ? 5cos2sin5tan 若则等于 答案:B 第19页 共 99 页 2 5 :( )1, 1 2 5 , 5 .2. 5 5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 22 cos2sin sin5 2sin sincos sin tan cos 解析 第20页 共 99 页 解读高考第二关 热点关 类型一:三角函数式的求值问题 第21页 共 99 页 解题准备解题准备: 1. 解决给角求值问题的

7、一般步骤为: 第22页 共 99 页 2. 解决条件求值问题时,要注意发现所给值式和被求值式的 特点,寻找它们之间的内在联系,特别是角之间的联系,然后恰 当的选择诱导公式求解. 第23页 共 99 页 典例典例1 ? ? ? ()()(). : ; ()(). ? ? ? ? ? ? ? ? 33 2 sincos 32 1 sincos 2 sincos 22 已知 求下列各式的值 第24页 共 99 页 分析：利用诱导公式先化简条件分析：利用诱导公式先化简条件. 2 ()(), 3 2 , 9 7 . 9 ,0. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? sincos 2 sin

8、cos 3 1 2sin cos 2sin cos sin0cos 2 g g 解 由 得 将两边平方 得 故 又 第25页 共 99 页 ? ? ? () 7164 1,. 993 ()() ()() 722 1. 1827 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 3333 2 1 sincos1 2sin cos sincos 2 sincoscossin 22 cossincoscossinsin 4 3 g gg 第26页 共 99 页 此类问题是给值求值.解决这类问题的方法是根据所给值式 和被求式的特点,发现它们之间的内在联系,特别是角之间

9、的 关系,恰当地选择诱导公式. 第27页 共 99 页 类型二:三角函数式的化简问题 第28页 共 99 页 解题准备解题准备: 三角函数的诱导公式为我们进行三角函数的求值提供了有利 的方法及依据,在做题过程中,应熟练掌握“奇变偶不变,符号 看象限”的原则.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为 锐角三角函数的基本步骤是: 第29页 共 99 页 ? ? ()1 2:(Z). 1() ka ka ? ? ? ? ? ? ? sin kcos k sincos k 典例 化简 , . ? ? k k 分析 化简时注意观察题设中的角出现了需 讨论 是奇数还是偶数 第30页 共 99 页 第31页 共

10、 99 页 评析：对角中含有k的三角函数化简时,要对k分为偶数 和奇数进行讨论,k为偶数时,参照2进行化简,k为奇数时, 去掉偶数倍的后,参照进行化简. 第32页 共 99 页 类型三:三角函数式的证明问题 第33页 共 99 页 解题准备: (1)从一边开始,证得它等于另一边,一般由繁到简. (2)左右归一法:即证明左右两边都等于同一个式子. (3)凑合方法:即针对题设与结论间的差异,有针对性地变形,以 消除其差异的方法,简言之,即化异为同的方法. ( ):.?401 左边 比较法 即设法证明“左边右边”或“” 右边 第34页 共 99 页 (5)分析法:从被证明的等式出发,逐步地探求使等式

11、成立的充 分条件,一直到已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等 式成立. 第35页 共 99 页 典例3已知sin(+)=1, 求证:tan(2+)+tan=0. (), (), , . ? ? ? ? ? ? sin1 2kkZ 2 分析 可由出发 得到 将其代入被证式 的左边 然后利用诱导公式进行化简 直至推得右边 (),(Z), (Z). ? ? ? ? ? ? ? sin12kk 2 2kk 2 Q 解 第36页 共 99 页 ()2 2 () () () 0. (). k ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? tan2tantantan 2 tan

12、4k2tan tan4ktan tantan tantan tan2tan 0 得证 第37页 共 99 页 评析：本题是条件等式的证明问题,证明条件等式,一般有两 种方法:一是从被证等式一边推向另一边的适当的时候,将条 件代入,推出被证式的另一边,这种方式称作代入法,二是直接 将条件等式变形,变形为被证的等式,这种方法称作推出法,证 明条件等式不论使用哪种方法都要盯住目标,据果变形. 第38页 共 99 页 笑对高考第三关 成熟关 名 师 纠 错 第39页 共 99 页 误区一:忽视隐含的平方 关系,扩大解的范围而致错 ? ? ? , , 2 . 3,9. (, )3 .0,8.8C mmD

13、m ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? m 34 2m 1sincos m 5m 5 A mB m5 典例 已知其中 则下列结论正确的是 ， 或 ,0, ,B. ? ? ? ? ? ? m 34 2m 0 m 5m 5 m5m 3 错解 由已知有 解得或 选 第40页 共 99 页 剖析：条件给出了含有参数的正余弦的函数值,而参数值要 受到正余弦的平方关系“sin2+cos2=1”的限制,而上述解 法就忽视了这个制约关系,以致扩大了解的范围而错. , m3 ,D. m5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 22 m 34 2m 00 m 5m 5 4 2m 1m8 m 5

14、正解 由已知有 且故选 第41页 共 99 页 , . ? ? 评析 如果在题设条件中出现了正余弦 则要注意利 用它们之间的平方关系 第42页 共 99 页 误区二:忽略角的范围,造成多解而致错 1 2,(, ),. 5 ? ?sincostan 2 典例 已知求 , 24 , 25 120, 3 . 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 1 sincos2sin cos 5 242tan 251 tan 12tan25tan 4 tantan 3 g 解析平方后整理得 所以 所以 解得或 第43页 共 99 页 上面解答忽略了角的范围,扩大了三角函数值的取值范围

15、,造 .,(, ) , , 0,0, ,0. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 sincos 52 sin0cos0 24 2sin cos 25 sinsin cos0cos g 成多解 这是因为由 知且而由平方后等式 而此式中 或 第44页 共 99 页 1 (,),0, 5 4 |,. 3 ? ? ? ? ? ? sincos 2 sincos0tan 因 故所以只有 1 :, 5 12 , 25 14 55 123 255 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? sincos sincos sincossin sincosc

16、os g g 本题也可以这样求解 由 可得 由 第45页 共 99 页 3 , 5 4 , 5 (,),0, 4 ,. 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? sin cos sin0cos 2 43 sincostan 55 或 又由知 所以则 第46页 共 99 页 解答关于含有“sincos,sincos”的问题时,一般都要 利用平方关系sin 2+cos2=1,但必须注意对所求得的结果进 行检验,否则会造成多解. 第47页 共 99 页 解 题 策 略 第48页 共 99 页 根据近几年三角部分的命题特点,复习时宜采用以下策略: (1)学习本讲内

17、容,可以从两个方面入手,一方面是诱导公式的 灵活应用与特殊角的三角函数值的记忆;另一方面是同角三 角函数基本关系式的应用,对于诱导公式的考查,主要是根据 诱导公式将所求三角函数式转化为特殊角的三角函数,从而 求出函数值,对于同角三角函数基本关系式的考查,应做到灵 活运用公式进行化简?求值和证明,且做到对公式的正用?逆 用?变形应用等. 第49页 共 99 页 (2)同角三角函数的基本关系式,正弦?余弦?正切的诱导公式, 常考常新,一般在选择题?填空题中考查,因此在复习时重点复 习基础知识?基本思想?基本方法. 第50页 共 99 页 (3)解决本讲问题,要注意以下两种数学思想的运用. 化归转化

18、思想:化归思想主要体现在将任意角的三角函数 求值问题转化为锐角三角函数问题解决,同时异名化同名,异 角化同角也是转化思想的一个重要应用. 分类讨论思想:分类讨论思想主要体现在应用诱导公式时 对k的讨论及求三角函数值时对角的象限的讨论应做到讨论 合理?自然,分类划分明确?清晰. 第51页 共 99 页 快 速 解 题 第52页 共 99 页 典例 已知(0,),且sin,cos 是方程25x 2-5x-12=0的两个根,求 sin 3+cos3和tan-cot的值. , , ,. ? ? ? ? ? ? ? ? 33 1 sincos 5 12 sin cossincostancot 25 si

19、ncossin cos 解题切入点 由根与系数的关系入手 将与用 表示 第53页 共 99 页 , , ., . ? ? ? ? ? ? ? 33 sincos 1 sincossin cos 5 12 tancot 25 分析思维过程 欲求的值需先分解因式 出现和的形式后 即可代入和 求出值来 而化为正弦 余弦之比后 同样可求出值来 第54页 共 99 页 第55页 共 99 页 第56页 共 99 页 33 43 , 55 43 ( ,), 55 43642737 . 55125125125 43 43 55 34 34 55 7 . 12 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

20、? ? ? ? ? ? 2 33 25x5x12 0 0sin0 cos0sincos sincos sincos tancot cossin Q 快解方程的两根分别为和 则 第57页 共 99 页 方法与技巧：由题目的形式得知,很明确地会利用根与系数 的关系,将所求式表示成sin+cos ?sincos 的形式,求 tan-cot时,必须化为“弦”,否则用不上已求得的值. 由于sin,cos 是方程的根,一般地,很自然的想到根与系数的 关系.其实此题直接求出两根更简单. 第58页 共 99 页 ,. ,. , ( ,). ? ? ? ? ? ? ? ? ? sincossincos0 43

21、sincos 55 0 得分主要步骤 只要求出两根的和与积 分解因式后代入即可 在求的步骤中一定要说明 同样 快解法中 得出也是由 确定的 ,( , ), (). ,( , ), ,. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 sincos0 sincossincos 4 0sin 5 3 cos 5 易丢分原因 求的过程中 若不考虑 将变为是不行的 求方程的根时 若不考虑会求得 其结果也是两个值 第59页 共 99 页 教 师 备 选 第60页 共 99 页 1.诱导公式的记忆 记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”,意思是说角 “,kZ” 的三角函数值:当k为奇数时,正弦变 余弦,余弦变正弦

22、;当 k为偶数时,函数名不变,然后的三角函数值前面加上 当视为锐角时,原函数值的符号. ?k 2 第61页 共 99 页 2.三角函数的三类基本题型 (1)求值题型:已知一个角的某个三角函数值,求该角的 其他三角函数值. 已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限,此 类情况只有一组解; 已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有 给出,解题时首先要根据已知的三角函数值确定这个角 所在象限,然后分不同的情况求解; 第62页 共 99 页 一个角的某一个三角函数值是用字母给出的,这时一般有 两组解. 第63页 共 99 页 (2)化简题型:化简三角函数式的一般要求是:能求出值的要求 出值来;函

23、数种类尽可能少;化简后的式子项数最少,次数最低, 尽可能不含根号等. (3)证明题型:证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子 两端的差异,就是有目标地化简. 第64页 共 99 页 3.利用两类公式求值化简,证明时应注意的几个问题 (1)同角三角函数的基本关系反映了同一个角的不同三角函数 间的必然联系,诱导公式则揭示了不同象限角的三角函数间 的内在规律.它们对三角函数式的求值?化简?证明等具有重 要作用,需要熟练掌握,灵活应用. 第65页 共 99 页 (2)同角三角函数的关系式的基本用途:根据一个角的某一个 三角函数值,求出该角的其他三角函数值(当然用三角函数的 定义求解会更方便);化简同

24、角的三角函数式;证明同角的三角 恒等式. (3)诱导公式可将任意角的三角函数化成某个锐角的三角函数, 因此,常用于求值和化简. 第66页 共 99 页 (4)在已知一个角的一个三角函数值,求这个角的其他三角函 数值时,要注意题设中的角的范围,需要时并就不同象限分别 求出相应的值. (5)在利用同角三角函数的基本关系化简?求值时,要注意用 “是否是同角”来区分和选用公式. (6)在应用诱导公式进行三角函数式的化简?求值时,应注意公 式中符号的选取. 第67页 共 99 页 4. 利用两类公式求值?化简?证明的常用方法 (1)已知角的某一种三角函数值,求角的其余5种三角函数 值时,要注意公式的合理

25、选择,一般思路是按“倒?平?倒?商? 倒”的顺序很易求角,特别要注意开方时的符号选取. 第68页 共 99 页 (2)在进行三角函数化简和三角恒等式的证明时,要细心观察 题目的特征,灵活?恰当地选用公式,一般思路是将切割化弦, 但在某些特殊问题中就不要化切割为弦,只须利用倒数关系 , . ? ? ? ? ? ? tancot cot cot tancot 即可 否则解法较繁 如“求证” 利用倒数关系可得简证 第69页 共 99 页 (3)证明三角恒等式的常用方法为:从一边开始证得它等于 另一边,一般由繁到简;证明左?右两边都等于同一个式子 (或值). (4)学会利用方程思想解三角题,对于 si

26、n+cos,sincos,sin-cos这三个式子,已知其中一个 式子的值,其余二式的值可以求出. 第70页 共 99 页 课时作业十七 同角三角函数的基本关系式及诱导公式 第71页 共 99 页 一?选择题 ?. (,), 15 A. B. 33 15 C. D. 33 ? ? ? ? ? ? ? sin3cos 1tan2 sincos 基础题 易 若则的值是 答案:A 第72页 共 99 页 :,A. ? ? ? ? ? ? ? sin3costan31 tan2 sincostan13 解析 由则选 第73页 共 99 页 ? . (,), ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2x

27、y0 sin1 cos cos 1 sin 基础题 易 若角 的终边落在直线上 则的值为 A. -2 B. 2 C. -2或2 D. 0 答案:C 第74页 共 99 页 :, , , ,C. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? xy0 22 sincossincos 22 2sin sin coscos2 22 解析 因角 的终边在所以当在第一象限时 当 在第三象限时 在第一象限 所以原式 在第三象限 原式或故选 第75页 共 99 页 ? . (,)(), ,() 1212 A. B. 1313 125 . D. 1312 ? ? ? ? ? ? ? 5 3cos 13 s

28、in2 C 基础题 易已知且 是第四象限的 角 则 答案:A 第76页 共 99 页 :(), ,() , A. ? ? ? ? ? ? ? 2 55 coscos 1313 12 sin 2sin1 cos 13 解析 由得而 为第四象限 角 所以选 第77页 共 99 页 4. (基础题,易)设f(x)=a sin(x+)+bcos(x+), 其中a,b,?都是非零实数,若f(2008)=-1,那么f(2009)等于 ( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 答案:C 第78页 共 99 页 解析解析:f(2008)=a sin(2008+)+bcos(2008+)=a sin+b

29、cos= -1, f(2009)=a sin(2009+)+bcos(2009+)= -(a sin+bcos)=1. 第79页 共 99 页 5. (能力题,中)已知sin+cos=1, 则sinn+cos n等于 ( ) A. 1 B. 0 C. D. 不能确定 n 1 1 2 ? 答案:A 第80页 共 99 页 1,1, : ., 0, 1. 1. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 22 nn sincossin cos0sincos1 sin cos sincos 解析 由解得 或 第81页 共 99 页 ? ? ? . (,)0 , . 0., . . ,

30、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 22 61 cos1 sin sincos A2B 2 33 CD2 22 能力题 中 若，2，且 则 的取值范围是 ， ， 答案:B 第82页 共 99 页 : |, (). ,. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2222 1 cos1 sinsincos sincossincossin0cos0 xy 02 2 Q Q 解析 是第二象限角 包括 轴负半轴和 轴正半轴 第83页 共 99 页 二?填空题 7. (基础题,易)已知tan=2,则 ? ? ? ? ? _; _; _. ? ? ? ? ? ? ? ? ?

31、 ? ? ? 22 22 22 2sin3cos 1 4sin9cos 2sin3cos 2 4sin9cos 3 4sin3sin cos5cos 1 1? 5 7 第84页 共 99 页 第85页 共 99 页 第86页 共 99 页 评析: 这是一组在已知tan=m 的条件下,求关于 sin?cos的齐次 式(即次数相同)的问题,解答这类“已知某个三角函数,求其余 三角函数值”的问题的常规思路是:利用同角间的三角函数 关系,求出其余三角函数值,这就需要根据m的取值符号,确定 角所在的象限,再对它进行讨论.这样计算相当繁琐,而在这 里灵活地运用“1” 的代换,将所求值的式子的分子?分母同除

32、 以cos n,用tann表示出来,从而简化了解题过程,我们应熟练 掌握这种解法.更主要的是由此进一步领悟“具体问题?具体 分析”的辩证思想方法. 第87页 共 99 页 ? ? . (,) ()() ()()() _. ? ? ? ? ? ? 22 8 coscos 90 cos 360tan 180cos 270singg 基础题 易 化简 解析:直接利用三角函数的诱导公式进行化简可得原式=-1. 答案:-1 第88页 共 99 页 . ()(,), _. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 9 2010sin 43 cos 4 g 广州模拟 基础题 易已知 则 : 1 .

33、 43 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? coscossin 4244 sin 解析 1 3 ? 答案： 第89页 共 99 页 三?解答题 . (,),(,), 2 ( ,),()2cos(), ()()., ;,. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10 2 0sin 3 2 3cos2cos 经典题 中 是否存在角? 使等式 同时成立 若存在 求出? 的值 若不存在请说明理由 第90页 共 99 页 第91页 共 99 页 11. (能力题,中) :() (). 11 ? ? ? ? ? 1sin1sinsec1sec1 1sin1sinsecsec g 化简 第92页 共